LOGARITMOS

LOGARITMOS

    Donde:

     b  = BASE

     a   = LOGARITMO

      N  = ANTILOGARÍTMO 

   Restricciones:

    1) b > 0 y b ≠ 1

    2) N > 0

    v En el campo de los reales no existe el logaritmo para       número negativo

     Ejemplo

    3) a  є IR

    vEl logaritmo si puede ser negativo ya que a є IR ó a є       <+∞, -∞>

   Entonces:

Calculando logaritmo

Transformación de  logaritmos a números

IDENTIDADES FUNDAMENTALES  DE LOGARITMOS

Super útiles

El logaritmo está determinada por el cociente de los exponentes de las bases comunes

Ejemplos

Si el logaritmo de un número se encuentra como potencia de su propia base, entonces es igual a dicho número.

Ejemplos

 Si elevamos a la base y al número de un  logaritmo a un mismo exponente, el logaritmo sigue siendo el mismo.
Ejemplos

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. LOGARITMO DE UN PRODUCTO

Nos da la suma de los logaritmos de los factores en la misma base

2. LOGARITMO DE UN COCIENTE

Nos da la diferencia de los logaritmos del dividendo y divisor en la misma base 

3. LOGARITMO DE UNA POTENCIA

 Nos da el producto del exponente por el logaritmo

4. LOGARITMO DE UNA RAIZ

Nos da la división del logaritmo radicando por el índice de la raíz

CAMBIO DE BASE

El número e

Hablemos ahora de los intereses que produce una cantidad de dinero colocada en un banco. La práctica usual es que los intereses se contabilizan y acumulan al final de cada año.
Así, si se pone 1 euro al interés anual de i por unidad ¿En qué se convierte después de t años?
Durante el primer año, el euro se convierte en 1+i.Durante el segundo año, cada euro se convierte en 1+i. Como al principio de este año, había 1+i, éstos se convierten en (1+i)^2
Repitiendo este proceso , a los t años el euro inicial se ha convertido en (1+i)^t
Supongamos ahora que el interés anual es del 1 por unidad y los períodos de capitalización son los trimestres; es decir, los intereses generados en el primer trimestre se acumulan al capital para producir en adelante nuevos intereses, y así sucesivamente en cada trimestre. El interés por unidad en cada período es ahora i/4 y durante un año hay 4 períodos de acumulación. Por tanto, al cabo de un año 1 euro se habrá convertido en (1+i/4)^4.
Razonando análogamente, si el período de acumulación de intereses fuera un mes, entonces 1 euro se convierte al final de un año en (1+i/12)^12.
Si el período de acumulación fuera un día, entonces 1 euro se convierte al final de año en (1+i/360)^360.
Como cabía esperar , cuanto más breve es el período de acumulación , más beneficio produce el capital inicial
( antes empiezan los interesados generados a producir nuevos intereses ).
Siguiendo este razonamiento, surge de forma natural la siguiente pregunta ¿ Y si el período de acumulación es un instante ? es decir ¿ y si el interés desde el mismo instante en que es generado, empieza a su vez a generar nuevos intereses ? Estamos entonces ante lo que se llama un interés continuo. El concepto de instante y su relación con la idea de límite se analizarán con más profundidad en el capítulo de las derivadas.
La estrategia del límite nos da de nuevo la solución a este problema. Nos permite dar el salto de un proceso discreto a otro continuo. Buscamos un proceso en el que cada vez obtengamos aproximaciones mejores al valor buscado y además estas aproximaciones se acerquen al valor tanto como se quiera .
Si utilizamos n períodos iguales de acumulación durante el año, argumentando como antes , 1 euro se convierte al final del año en (1+1/n)^n.
Cuanto mayor sea n, menor será el período de acumulación, de modo que éste tenderá a 0 ( será un instante ) cuando n tienda a infinito.
Así, con un interés continuo del 100 %, 1 euro se convierte , al final de un año, en el valor  lim (1+1/n)^n . Sabemos que este límite es el número e. Su nombre se debe al gran matemático Euler, quien descubrió la relación existente entre los tres números más famosos de la matemática .
Si es famoso el número e, no es por el interés continuo , que nunca se da en la práctica habitual en los términos anteriores ( ninguna entidad financiera ofrece un interés continuo, y menos al 100 % anual ). Pero el interés continuo simboliza muy bien el modelo que siguen todos los procesos de crecimiento y decrecimiento continuos , tan frecuentes en la naturaleza.
El crecimiento de la masa forestal de un extenso bosque, el crecimiento de una colonia de insectos o virus, la desintegración radiactiva ,....son procesos continuos, en los que la acumulación o el decrecimiento se producen instantáneamente ( no hay un período de tiempo en el que los elementos generados permanecen inactivos esperando una señal para incorporarse al proceso , sino que ,desde el mismo instante en que son generados, participan como el resto en el proceso de crecimiento) . Por eso, en las ecuaciones que rigen estos modelos aparece siempre el número e

TOMADO DE:http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nanagonza/limite.htm

LOGARITMOS

Definición, propiedades, representación gráfica.

En la expresión a^b =c "a" es la base y "b" es el exponente.

    En la expresión log_a c= b, "a" se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a>0, b>0 y a ¹1.     

     La base de la potencia ha pasado a ser la base del logaritmo, y el exponente el resultado del logaritmo; el argumento era el resultado de la potenciación, parece complicado, pero con un ejemplo es más fácil de ver.

2^x= 32

esto es algo incómodo de calcular, así que se recurre a los logaritmos

 log₂32=x

En otras palabras, el resultado del logaritmo en base x de un número es el exponente al que hay que elevar la base x para obtener el número.

Cualquier número real positivo se puede expresar con logaritmos.

log₁₀5=0.6 , porque 10^0.6=5

Un número negativo no puede ser el resultado de una potencia.

Propiedades:

Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente. Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 , son los más comunes para operar, y se representan como log x=y

Logaritmos neperianos

Después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:

 

Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log _e x 

Cambios de base de logaritmos

Para intercambiar logaritmos en base 10 con logaritmos neperianos podemos aplicar esta fórmula:

ln x = log x / log e

En general para intercambiar bases podemos utilizar esta fórmula:

Función logarítmica:

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

• Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
• Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
• Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

EJERCICIOS:

1 

2 

3

4

5 

TOMADO DE:http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html  

http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/logaritmos/def.html

El logaritmo. Ese gran desconocido.

Los logaritmos son quizás una de las herramientas matemáticas mas desaprovechadas en la educación escolar, ya que no se le da un fundamento real a dicha función. Ésta, fuera de cálculos técnicos presenta utilidades como se remarca a continuación:

 Los logaritmos como normalizadores.

Los logaritmos entre otras cosas, se utilizan para la escritura de los números que se encuentran en potencias de 10, determinados por su exponente o logaritmo. Si representas en una recta en vez de los números, su logaritmo, se dice que utilizas la escala logarítmica. Por ejemplo, puedes representar en una recta los 16 órdenes (logaritmos) que hemos indicado para comparar los pesos de los distintos animales.

Animales	Características	Logaritmo	Orden
ballena	El mayor de todos los animales	8,08	8
Cachalote Braquiosaurio Tiburón gifante Alosaurio Beluchiterio Tiburón blanco	El mayor de los carnívoros El mayor animal terrestre (extinguido) El mayor de los peces El mayor carnívoro terrestre (exting.) El mayor mamífero terrestre (exting.) El mayor pez carnívoro	7.83 7.83 7.61 7.26 7.26 7.03	7
Elefante Calamar gigante Cocodrilo Pez Rueda	El mayor animal terrestre El mayor invertebrado El mayor reptil El mayor pez de huesos grandes	6.99 6.26 6.25 6.13	6
Tortuga marina Oso de Kodiak Aepyornis Almeja gigante Galápago Pitón reticulada Avestruz Verano de Cómodo	La mayor tortuga El mayor carnívoro terrestre La mayor de las aves El mayor gasterópodo El mayor reptil terrestre La mayor serpiente La mayor ave El mayor lagarto	5.93 5.87 5.66 5.50 5.42 5.32 5.20 5.05	5
Hombre	De unos 80 kg	4.96	4
Salamandra gigante Albatros Langosta	El mayor batracio El mayor ave voladora El mayor artrópodo	4.60 4.26 4.19	4
Escarabajo gigante	El mayor insecto	2.00	2
Pájaro mosca Musaraña	La menor ave El menor mamífero	0.30 0.18	0
Gobio	El menor de los peces vertebrados	-2.70	-2
Mosca duende	El menor de los insectos	-5.30	-5
Rotífero	El menor animal pluricelular	-8.22	-8

También podría utilizarse para distancias, como es el caso de la astrofísica.

 Los logaritmos "hacia las estrellas"

Al observar las estrellas vemos que no todas son igualmente brillantes. Vamos a asociar a cada estrella un número que nos da idea de la cantidad de energía que recibimos de la estrella y a este número le llamaremos magnitud de la estrella. Para ello, tenemos que fijar una escala y una unidad.

Ya desde la antigüedad existía una escala que clasificaba a simple vista desde las estrellas más luminosas (primera magnitud) hasta las estrellas menos luminosos ( sexta magnitud).

Cuando en el siglo pasado se intentó una clasificación racional, se quiso adaptar lo más posible a la anterior. Para hacerlo se basaron en la ley de Weber-Feschner: "Cuando una causa produce una sensación, si la causa varía en progresión geométrica la sensación lo hace en progresión geométrica".

En nuestro caso, la causa es la intensidad y la sensación es la magnitud. Se mantuvo la costumbre de llamar estrellas de primera magnitud a las más brillantes y se vio experimentalmente que la intensidad de las estrellas de primera magnitud era 100 veces mayor que la de la sexta magnitud:

Intensidad	100	40	16	6,4	2,5	1
Log 2.5	5	4	3	2	1	0
Magnitud	1	2	3	4	5	6

Las intensidades forman una progresión geométrica de razón 2.5. En la tabla se han aproximado los valores para seis primeras magnitudes conocidas.

Las magnitudes de las estrellas están ligadas también a las intensidades o brillos de las mismas por la sencilla fórmula de Pogson:

M1 - M2 = 2.5 Log (I1/I2)

Siendo 1 y 2. dos estrellas de magnitudes M, respectivas, y brillos Im.

Es fácil comprender que la magnitud de una estrella no es otra cosa que el logaritmo de su luminosidad física. En otras palabras, el astrónomo al establecer la luminosidad visible de una estrella opera con logaritmos en base 2.5.

 Los logaritmos y los seismos.

La magnitud M de un seísmo en la escala de Richter es:

M = 0.67 log (0.37E) + 1.46

Donde E, es la energía del seísmo en kw/hora.

 Logaritmos y decibelios.

La sensación sonora, se mide en decibelios en honor a Alexander Graham Bell, inventor del teléfono.

Si la variación de la presión es P libras por pulgada cuadrada, la intensidad L en decibelios es:

L = 20 log (121,3P)

 Logaritmos y la cosmética.

La utilización de los logaritmos es frecuente y útiles tanto en la misma matemática, como en otras ciencias.
En química, se utiliza, por ejemplo, para expresar el carácter ácido, básico o neutro de las disoluciones. Expresar concentraciones de iones con exponente negativo resulta en la práctica incómodo; por esta razón en el año 1909, el químico danés Soren P. L. Sorensen introdujo el concepto de pH, como logaritmo decimal del inverso de la concentración de inones expresada en moles/ litro:

PH = log[1/[H+]]

Aplicando ahora el logaritmo de un cociente, la expresión anterior puede escribirse como la conocemos:

PH = log 1 - log [H+] = - log [H+]

La concentración de una disolución neutra, es aquella en la que [ H+] =10-7 moles/litro, luego un pH inferior a 7 es el de las disoluciones ácidas, y uno superior básicas.

Una señora en una tienda pide un champú neutro, ¿qué significa esto? El pH de este champú es 7, y se adapta mejor al proceso biológico de limpieza del cabello, que si es ácido o básico. Los champús suaves, tiene pH = 7.

Nótese que éste es uno de los casos raros, en el que pedimos una sustancia por su logaritmo.

TOMADO DE: http://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0898/index.htm

Logaritmos: definición, propiedades y ejercicios resueltos

TOMADO DE: http://www.ejerciciosweb.com/logaritmos/ejercicios-resueltos.html