CHISTE N°23

JIJIJIJIJI

TOMADO DE:poesiaabierta.blogspot.com

John Lennon y su inexplicable relación con el número 9

El nueve de octubre John Lennon habría cumplido 72 años. En su caso y al igual que sucede con el resto de sus compañeros Beatles, una serie de mitos y leyendas urbanas rondan por Internet.

Fue un 11 de mayo de 2011 memorable e inolvidable para muchos de nosotros. En un Estadio Nacional repleto se presentaba nada menos que Paul McCartney, pero para muchos quien cantaba clásicos eternos de The Beatles no era nadie más que William Campbell, un imitador del otrora bajista de la banda sesentera.

Así como el insostenible mito de que Sir Paul McCartney está muerto desde 1966, existen otras muchas leyendas en torno a los integrantes de la banda más importante del siglo XX. Cierta relación con lo anterior tiene una serie de coincidencias en torno al número nueve, el favorito de John Lennon.

Muchas cosas llaman la atención cuando uno visita la casa de infancia de John Lennon en Liverpool, sin embargo, uno de los objetos más llamativos es un pequeño cuadro colgado en alguna pared del segundo piso, en donde se describe la extraña relación y presencia del número nueve a lo largo de toda la vida del líder de The Beatles.

John Lennon nació a las 6:30pm (6+3=9) del9 de octubre de 1940. 35 años después, el mismo día 9 de octubre, nace su hijo Sean.

Brian Epstein, famoso y legendario mánager de The Beatles, vio a John Lennon y al resto de la banda en el Cavern Club un nueve de noviembre de 1961, y él mismo aseguró el contrato de grabación con EMI el nueve de mayo del año siguiente.

John Lennon conoció a Yoko Ono el nuevede noviembre de 1966.

El bus que debía tomar Lennon todas las mañanas para asistir a clases en Liverpool era el 72 (7+2=9). En el colegio él debió rendir nueve exámenes para conseguir su certificado final. Los reprobó todos.

Quizás en el evento más traumático de la vida de John Lennon, la muerte de su madre, el número nueve también se hace presente: la patente del automóvil que atropelló a su madre era la LKF 630 (6+3+0=9) e iba conducida por el policía cuya placa era número 126 (1+2+6=9).

En 1974, Lennon lanza su álbum solista “Walls and Bridges”, este disco tiene una carátula muy particular ya que en ella aparece un dibujo realizado por John a la edad de 11 años, donde aparecen varios jugadores de fútbol pero un solo número, por supuesto, el número nueve. Además, el dibujo tiene otra gran particularidad, y es que uno de los jugadores dibujados por Lennon es el chileno Jorge Robledo.

Varias canciones de Lennon incluían el número nueve, por ejemplo, “Revolution 9”, #9 Dream”, entre otras.

Finalmente y en ese fatídico 8 de diciembre de 1980 las coincidencias no se detuvieron. Las cinco horas de diferencia horaria resultaron en que en Inglaterra ya era nueve de diciembre. Además, su cuerpo fue llevado al hotel Roosevelt, en la novena avenida de Manhattan, donde fue declarado muerto a las 11:07 pm (1+1+7=9).

TOMADO DE:http://www.guioteca.com/musica-pop/john-lennon-y-su-inexplicable-relacion-con-el-numero-9/

La multiplicación de los campesinos rusos: demostración

Algunos de nuestros lectores reclaman la demostración matemática del algoritmo de los campesinos rusos que publicamos ayer.

En realidad, lo que estamos haciendo es descomponer el número de la derecha en potencias de dos. En el ejemplo de ayer, teníamos 105×68. Si descomponemos 68 en potencias de dos, tenemos que 68 = 64 + 4 = 2^6 + 2^2. Como la multiplicación es distributiva, está claro que 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4.

¿Cómo se conecta esto con el algoritmo? Comencemos por la columna de la derecha. En la primera fila, si el número de la derecha es par, quiere decir que a la hora de descomponerlo en potencias de dos, no aparecerá 2^0 = 1, por eso lo tachamos. (En caso de que el número de la derecha fuese impar, sí que aparecería el 1 en su descomposición. Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0).

Ahora pasamos a la segunda fila. A la derecha, hemos dividido todo por 2. Sigamos con nuestro ejemplo: si 68 = 2^6 + 2^2, al dividir por dos tenemos 34 = 2^5 + 2. Ahora llega el paso clave: si el sumando 2^0 = 1 apareciese al descomponer el número de la segunda fila, equivaldría a que el sumando 2^1 = 2 apareciese en la primera fila (donde tenemos el número original).

En nuestro ejemplo, 34 vuelve a ser par. Esto quiere decir que 2^0 no aparece al descomponer 34 en potencias de dos. Si multiplicamos por dos, equivale a decir que 2^1 no aparece al descomponer 68 (nuestro número original) en potencias de dos.

¿Seguís el hilo? bien, pasemos a la tercera fila. En este caso tenemos 17 = 2^4 + 2^0. Si deshacemos el camino andado y multiplicamos por 4, tenemos que 68 = 2^6 + 2^2. Es decir, como el sumando 1 aparece al descomponer 17, esto equivale a que el sumando 4 aparezca al descomponer 68 = 17×4.

A la hora de dividir por dos nuevamente, como ya hemos contado la influencia del sumando 1, lo restamos: 17 – 1 = 16, 16 / 2 = 8. Por eso se redondea a la baja. 8 vuelve a ser par, tachamos la fila. En la siguiente iteración, 4 es par, tachamos la fila. Una vez más, 2 es par, tachamos la fila. Al final del todo, en la sexta iteración, obtenemos 1, que es impar, lo cual quiere decir que en nuestro número original aparecerá 2^6 en su descomposición.

Ya hemos acabado con la columna de la derecha. En ella, hemos visto como 68 se descompone en 2^6 + 2^2, y por tanto nuestra multiplicación original se descompone de la siguiente forma: 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4 = 105×(2^6) + 105×(2^2).

¿Y qué hemos hecho en la columna de la izquierda? Pues precisamente ir multiplicando nuestro número original (105) sucesivamente por 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, etc. De modo que al final, cuando hemos descartado las filas que no nos interesan, precisamente nos ha quedado 105×(2^2) y 105×(2^6). Haciendo la suma, obtenemos el valor de la multiplicación original 105×68.

Demostración genérica

Para los que queráis una demostración matemática estricta, usaremos el principio de inducción (si no sabes lo que es, puedes dejar de leer aquí ;)). Denotemos A×B el producto de dos números naturales A y B usando el algoritmo habitual (la multiplicación de toda la vida con todas sus propiedades asociadas), y A*B el producto de dos números A y B usando el método de los campesinos rusos (sobre el cual a priori conocemos su ‘mecanismo’, pero no sus propiedades). Para B = 1, comprobamos que se cumple A×B = A*B, independientemente de cual sea el número A. Vamos a aplicar el principio de inducción sobre la variable B.

Supongamos la hipótesis de que para un B natural cualquiera se cumple 2A×[B/2] = 2A*[B/2]. ([n] denota la parte entera redondeando a la baja). Entonces, aplicando el algoritmo de los campesinos rusos, tenemos que

A*B = 2A*[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es impar (!!).

Por otro lado, por las propias características de la multiplicación habitual, es inmediato que

A×B = 2A×[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es par.

Como hemos supuesto 2A×[B/2] = 2A*[B/2], podemos extender nuestra hipótesis a que A×B = A*B.

Veamos ahora que si nuestra hipótesis es cierta para B, también lo es para B+1:

A*(B+1) = 2A*[(B+1)/2] + x, siendo x = A si B+1 es impar (es decir, si B es par) y x = 0 si B+1 es par (es decir, si B es impar).

Y aquí hemos hecho una pirueta muy interesante, atención: si B es par, resulta que al hacer A*B tenemos que x = 0, de modo que A*B = 2A*[B/2]. Ahora, al hacer A*(B+1) tenemos que x = A… ¡pero [(B+1)/2] = [B/2]! (ya que estamos redondeando a la baja). Es decir, que

A*(B+1) = A*B + A.

Por otro lado,

A×(B+1) = A×B + A.

Aquí no tenemos que demostrar nada ya que en la multiplicación tradicional damos por sentada la propiedad distributiva. Como en un principio hicimos la hipótesis A×B = A*B, resulta que

A*(B+1) = A*B + A = A×B + A = A×(B+1).

Aplicando el principio de inducción, hemos demostrado que para cualquier número natural par B, A×B = A*B, es decir, el algoritmo ruso es totalmente equivalente al tradicional. Para los B impares, la demostración es totalmente análoga, a partir de la ‘pirueta’ simplemente hay que considerar B impar y los resultados salen igual. Os lo dejo como ejercicio ;)

Y como no hemos impuesto restricciones sobre A, queda demostrado que para cualquier pareja de números naturales, el algoritmo de los campesinos rusos (al que hemos denotado como A*B) es totalmente equivalente a la operación tradicional de multiplicación, denotada por A×B.

Actualización: me acabo de dar cuenta de que la igualdad marcada con (!!) no es ni mucho menos inmediata y también requiere una explicación, ¿alguien se anima?. Recordad que el asterisco (*) no denota el producto habitual, sino el producto dado por el algoritmo de los campesinos rusos, de la que a priori no sabemos sus propiedades (precisamente el objetivo de la demostración es probar que en realidad la operación que hemos denotado como (*) equivale al producto de toda la vida).

TOMADO DE:http://www.xatakaciencia.com/matematicas/la-multiplicacion-de-los-campesinos-rusos-demostracion