EL MÁXIMO COMÚN
DIVISOR
Se presenta el siguiente problema:
“Un alcalde establece colocar postes
igualmente distanciados alrededor de un terreno rectangular cuyas dimensiones
son: 560 metros de largo y 240 metros de ancho. Además debe colocarse un poste en
cada esquina y el número de postes debe ser el menor posible; con estos datos,
¿cuántos postes deberá mandar a colocar el alcalde alrededor del terreno?”
Al analizar el problema consideremos algunas condiciones
importantes para encontrar la solución.
Primero: “…postes igualmente distanciados...” significa que es una
longitud que divide exactamente al largo como al ancho del terreno, es decir,
es “divisor de 560m. y 240m. al mismo
tiempo (común)”.
Segundo: “…debe colocarse un poste en cada esquina…” esto es importante
para el conteo final de postes, para no contar dos veces, sobre todo aquellos
que están en las esquinas.
Tercero: “…el número de postes debe ser el menor posible…” este es el
dato final, si queremos usar el menor número de postes alrededor del terreno,
entonces el distanciamiento entre dos postes, debe ser el mayor posible, en
otras palabras: “el máximo”.
Conclusión: la
longitud entre poste y poste divide exactamente al largo y ancho del terreno,
es decir, es un divisor común, además es
máximo, finalmente lo que debemos calcular es el Máximo Común Divisor de 560 y 240: MCD (560;240)
- MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD:
A)
Considerando los divisores de cada número:
560:
1;2;4;5;7;8;10;14;16;20;28;35;40;56;70;80;112;140;280;560
240:
1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;16;20;24;30;40;48;60;80;120;240
Divisores comunes: 1;2;4;5;8;10;16;20;40 y 80
El Mayor de ellos es: 80, entonces el MCD (560;
280) = 80
B)
Descomposición Individual:
Se descompone canónicamente cada número, es decir, en base a sus factores
primos:
560 =24x5x7
240= 24x3x5
Ahora consideramos solo los factores que son comunes, con sus menores
exponentes (si hay factores primos, comunes, pero con diferentes exponentes):
MCD (560;240) = 24x5 = 80
C)
Descomposición Simultánea:
Se descomponen los números al mismo tiempo, pero solo consideramos los
divisores que dividen exactamente a los números simultáneamente.
MCD (560;240) =
2x2x2x2x5= 80
D)
Algoritmo de Euclides:
Se
usa cuando es difícil saber qué factores comunes tienen los números y se basa
en dividir los números en cuestión, hasta obtener un residuo igual a cero,
colocando los cocientes y residuos de la siguiente forma:
MCD
(560;240) = 80
¿pero qué es el Máximo Común Divisor?, es
un número, no un método ni un procedimiento, simplemente un número, que divide
exactamente a otros al mismo tiempo y es el de mayor valor posible.
Finalmente, al resolver el problema:
Cada poste debe estar distanciado del otro,
80 metros, por lo tanto, en el largo del terreno hay 560:80 = 7 espacios y entre cada espacio hay dos postes,
finalmente en cada largo, considerando las esquinas, tenemos 8 postes, en total 16.
En el ancho algo similar: 240:80 = 3 espacios, por lo tanto,
habría 4 postes, pero estamos considerando los que están en las esquinas, que
ya han sido contados; como son dos esquinas restamos dos postes y nos quedamos
con solo dos para cada ancho, en total 4.
Sumando todo tendríamos: 20 postes en total.
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Tenemos el siguiente problema:
“Se tiene cierta cantidad de
ladrillos de dimensiones: 0,3m de largo, 0,05 m de grosor y 0,08m de alto; con
la menor cantidad de ellos, se quiere construir un cubo de este material,
¿cuántos ladrillos serán necesarios teniendo en cuenta las dimensiones de los
ladrillos?”
Analicemos el problema:
Primero: el cubo
tiene sus tres dimensiones iguales (largo, ancho y altura) entonces la longitud
del lado del cubo (arista) es el mismo en cada dimensión.
Segundo: La
longitud de la arista del cubo se forma con cada dimensión del lado del
ladrillo, en otras palabras, esta longitud debe contener exactamente a cada
dimensión del ladrillo, es decir, debe ser “un
múltiplo” de cada longitud del ladrillo.
Tercero: Se debe
usar el menor número de ladrillos, y eso significa que la longitud de la arista
del cubo es la menor posible, “mínimo”.
Conclusión: La
longitud de la arista del cubo “deber
mínima y un múltiplo de las dimensiones del ladrillo” por lo tanto el Mínimo Común Múltiplo de: 0,3m de
largo, 0,05 m de grosor y 0,08m de alto en centímetros: 30 cm.,5 cm. y 8 cm.
(solo se multiplica por 100 a cada uno) :
MCM (30;5;8)
- MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCM:
A)
Descomposición Individual:
Se descompone canónicamente cada número, es decir, en base a sus factores
primos:
30 = 2x3x5
5 = 5
8 = 23
Ahora consideramos todos los factores comunes y no comunes con sus
mayores exponentes:
MCM (30;5;8) = 23x3x5 =
120 cm.
B)
Descomposición Simultánea:
Se
descomponen los números al mismo tiempo, y consideramos factores primos comunes
y no comunes hasta llegar a 1.
Finalmente,
al resolver el problema:
La
longitud de la arista del cubo debe ser 120 cm. para calcular el número de
ladrillos se realiza la siguiente operación:
