DESCOMPOSICIÓN DE UN
NÚMERO COMPUESTO EN FACTORES PRIMOS Y CANTIDAD DE DIVISORES
Los números primos son aquellos que solo son divisibles
entre 1 y él mismo número, esto sucede en el campo de los números naturales.
Pero hay números que tienen más de dos divisores y estos son los números
compuestos; también hay que considerar al uno, que escapa de éstas dos ideas.
Entonces la clasificación más común es la siguiente:
Los números primos: 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97;101;103;
107; …
La importancia de los números primos es que nos permiten
expresar un número compuesto, es decir, podemos representar un número compuesto
en función de sus factores primos.
Esta forma de expresar los números compuestos tiene como
base dos aspectos importantes que hay que conocer: los criterios de divisibilidad y leyes de exponentes.
Por ejemplo:
Para descomponer el
número 360 y expresarlo en sus factores primos, tenemos que considerar los
criterios de divisibilidad por dos (porque la última cifra es cero), por tres
(porque la suma de sus cifras es múltiplo de tres) y por cinco (porque la
última cifra es cero).
Ya tenemos expresado a 360 en función de sus factores primos
con esta descomposición podemos determinar la cantidad de divisores que tiene y
cuáles son:
TABLA DE DIVISORES
Para construir la tabla de divisores primero tomamos las
potencias sucesivas del factor con mayor exponente obtenido en la
descomposición, en el ejemplo sería 23 y se haría lo siguiente:
20;
21 ;22 ;23 y
los otros factores de la misma forma, pero sin el exponente cero, luego lo
disponemos de la siguiente forma: se colocan líneas divisorias para cada
sucesión de potencias de cada factor primo diferente
Se multiplican los números que están en el lado vertical con
cada fila, pero considerando solo las filas por encima de la línea divisoria:
En el ejemplo las potencias del tres solo se multiplicarán
con las potencias del factor 2 y las potencias del factor 5 se van a
multiplicar con las tres filas que se encuentran por encima de su línea
divisoria, así como indica los gráficos anteriores.
Podemos
ver fácilmente que la cantidad de divisores de 360 es 24, es decir, que hay 24
números que dividen exactamente a 360, pero existe otra forma para calcular la
cantidad de divisores de 360, sin usar la tabla de divisores:
· ¿Cuántos divisores pares, tiene 360?
Viendo la tabla de divisores contamos 18 divisores pares:
2;4;6;8;10;12;18;20,24;30;36;40;60;72;90;120;180 y 360
La otra forma sería la siguiente:
360= 2x2x2x3x3x5=
2(22x 32x
51) colocamos
el 2 delante de los
otros factores para obtener todos los divisores múltiplos de dos (o sea pares)
ahora aplicamos la fórmula a los factores dentro del paréntesis: (2+1) (2+1) (1+1) = 3x3x2 =18 divisores
·
¿Cuántos divisores múltiplos de 5,
tiene 360?
Mirando la tabla tenemos: 5;10;15;20;30;40;45;60;90;120;180
y 360 en total 12 divisores múltiplos de 5. Ahora:
360= 2x2x2x3x3x5=
5(23x 32)
aplicamos la fórmula para los términos dentro del paréntesis: (3+1) (2+1) = 4x3=12
·
¿Cuántos divisores cuadrados
perfectos, tiene 360?
En la tabla: 1;4;9 y 36 son cuatro divisores cuadrados
perfectos. Aplicando la fórmula sería así: se expresan los factores primos de
la descomposición con exponentes 2 (aquellos que se puedan)
·
¿Cuántos divisores impares, tiene
360?
Esto se resuelve considerando el total de divisores y la
cantidad de divisores pares:
