CUATRO PROBLEMAS INTERESANTES 6

1. Raymond Smullyan, matemático de la City Univeristy of New York, es el responsable de estos acertijos lógicos con "Buenos" y "Malos", y tal vez algunas personas más. En todos, el "Bueno" siempre dice la verdad y el "Malo" siempre miente. En el último problema cada uno de los personajes es o Bueno o Malo. 

1. A dice "B es bueno" y B dice "A no es bueno". Pruébese que uno dice la verdad pero no es bueno.
2. A dice  "B es bueno" y B dice "A es malo". Pruébese que, o bien uno de ellos dice la verdad pero no es bueno, o bien uno miente pero no es malo.
3. C dice: "B es malo" y B dice "A y C son del mismo tipo (ambos buenos o ambos malos)". ¿Qué es A?

SOLUCIÓN:

Para los dos primeros hay tres clases de personas: los buenos (siempre dicen la verdad), los malos (siempre mienten) y los demás. Llamaré "Normales" a los que no son ni buenos ni malos. 
Antes de empezar quiero aclarar que el lenguaje natural es muy traicionero y que hay problemas de interpretación en los dos primeros acertijos, sobre todo en lo referente a los que se quiere decir con "uno". Es bastante diferente interpretarlo como "al menos uno" o como "exactamente" uno. También es opinable como debe interpretarse en términos lógicos "pero". 

Primer acertijo: A dice "B es bueno", B dice "A no es bueno". Pruébese que uno dice la verdad pero no es bueno. 

Tomemos el caso en que A es "Normal" y que le ha dado por decir la verdad y que B es bueno. En esta situación ambos dicen la verdad. Es cierto que uno de los que dice la verdad no es bueno, pero la equivalencia de esto con lo que se proponía probar es cuestionable. Creo que sería más preciso pedir que se probase que uno es "Normal" que dice la verdad.
 

Segundo acertijo: A dice "B es bueno", B dice "A es malo". Pruébese que, o bien uno de ellos dice la verdad pero no es bueno, o bien uno miente pero no es malo.

Hay dos casos comprometedores:

a) A es un "Normal" que miente y B un "Malo"
b) A y B son dos "Normales" que mienten

Si se interpreta "uno" como "al menos uno" y "pero" como "y" lo que se pide probar es cierto.
 

Tercer acertijo: C dice "B es malo", B dice "A y C son del mismo tipo (ambos buenos o ambos malos)". ¿Qué es A?

Si C es bueno -> B es malo -> A y C diferentes -> A es malo
Si C es malo -> B es bueno -> A y C son iguales -> A es malo

Luego A es malo.

2. El señor y la señora Winter han ahorrado para comprar regalos navideños. Al romper la hucha calculan que los regalos de este año no deben costar, en media, más de 60 coronas. Merced a la buena suerte, los Winter encontraron una auténtica ganga: un encantador reno en nylon de color rosa que canta "Jingle Bells". Los Winter creen que el regalo gustará a gran parte de la familia, así que se gastan la mitad de sus ahorros en renos de color rosa. ¿Cuantos regalos más pueden comprar, sabiendo que cada reno cuesta 30 coronas y que cada miembro de la familia recibirá un sólo regalo?

SOLUCIÓN:

Ninguno. El matrimonio Winter había planeado gastarse 60 coronas en regalos para cada miembro de la familia. Puesto que sólo usaron la mitad de esa cantidad por regalo, pudieron comprar la misma cantidad de regalos por la mitad de dinero que habían reservado. Así que no tuvieron que comprar ni un regalo más.

3. Santa Claus se puso de muy mal humor cuando descubrió que alguien había pegado papel de lija en los esquíes de su trineo. Dos de los elfos dijeron la verdad en la investigación que llevó a descubrir al elfo bromista: 

Silly: Fue Puk el que lo hizo.
Stump: No, fuí yo.
Pip: No fue Puk.
Puk: Pip miente.
Roly: El culpable sólo pudo ser Stump o Jollly.
Poly: Fue Stump.
Jolly: No fuimos ni Stump ni yo.
Nick: Jolly dice la verdad y tampoco fue Puk.
 

¿Cuál de ellos le gastó tan pesada bromita a Santa Claus?

SOLUCIÓN:

Esto es lo que declararon los elfos: 

Silly -> Puk
Stump - > Stump
Pip -> NO Puk
Puk -> Puk
Roly -> Stump O Jolly
Poly -> Stump
Jolly -> NO Stump Y NO Jolly
Nick -> NO Stump y NO Jolly y NO Puk
La última proposción es falsa, porque de la información que dan los elfos es evidente que el culpable es Stump, Jolly o Puk.
Nick miente y como miente, lo que ha dicho Jolly no es cierto, de modo que el culpable es Stump o Jolly.
Silly y Puk también han mentido, porque Puk no puede ser el culpable y sabemos que Pip y Roly están diciendo la verdad (no puedo ser Puk y el culpable está entre Stump o Jolly). Como sólo hay dos elfos veraces Stump y Poly están mintiendo, así que Stump no ha podido ser culpable.
El culpable es Jolly.

4. El elfo encargado de empaquetar los regalos había envuelto 8 regalos para los niños de Villa Reno en cajas idénticas y con el mismo papel. ¡Pero se olvidó de poner las etiquetas!. Menos mal que sabe cuanto pesa el regalo de cada niño: 100 g, 200g, 400 g, 800 g, 1600 g, 3200 g, 6400 g y 12800 g. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas que debe hacer con una balanza para identificar cada uno de los paquetes (entiéndase número de pesadas para cada uno de ellos)?

SOLUCIÓN:

Son necesarias tres pesadas. Como el paquete más pesado, pesa más que la suma de todos los demás, se forman dos grupos al azar. Se descartan los cuatro paquetes del platillo menos pesado y se repite la operación con dos y dos. Se descartan los menos pesados y ya solo quedan dos con lo cual el elfo de inmediato sabe cual es el más pesado de todos. 

A continuación repite la operación (dejando el paquete ya identificado aparte), para conocer cuál es el segundo más pesado. 

Cuando sólo queden cuatro paquetes por identificar bastará con hacer dos pesadas, mientras que para los dos últimos, lógicamente bastará una.

TOMADO DE: http://www.mensa.es/juegosmensa/e061065.html