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MATEMÁTICA PARA TODOS
miércoles, 22 de octubre de 2014
HIPÉRBOLA TEORÍA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 yF2) es constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).
La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del conoy un plano cuyo ángulo es menor que el de su generatriz.
Elementos de la hipérbola
Los elementos de la hipérbola son:
- Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
- Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
- Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
- Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
- Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
- Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).
- Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
- Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
- Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
- Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
- Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
- Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
- Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
- Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 yA2).
Hipérbola equilátera
La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.
Relación entre semiejes de la hipérbola
Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:
Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).
De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):
Ecuación de la hipérbola
La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:
Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:
Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:
siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.
Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.
Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.
La excentricidad es mayor o igual a 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida. Cuando laexcentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más abiertas.
La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:
Construcción de la hipérbola por puntos
Veamos una forma sencilla para la construcción geométrica de la hipérbola, conociendo el eje real (V1V2=2a) y la distancia focal (F1F2=2c).
- Dibujamos la línea del eje focal E, sobre la que marcamos los dos vértices V1 y V2 y su centro O, equidistante de ellos una distancia a. Marcamos también los dos focos, equidistantes del centro O una distancia c.
- Ahora, sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera, supongamos que cuatro: P1, P2, P3, P4.
- Con un compás, en cada uno de ellos tomamos dos radios, r=P1V1 y r’=P1V2.
- Con esos radios y centros en los dos focos F1 y F2 trazamos arcos. Los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
- Repetimos el proceso con P2, P3 y P4.
- Si unimos los puntos obtenidos, apoyándonos sobre las asíntotas, obtendremos la hipérbola.
- Vemos que cada uno de esos puntos cumple ri – ri’ = d1 – d2 = 2a, que, como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la definición de la hipérbola.
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