TOMADO DE:http://poesiaabierta.blogspot.com/2011_05_01_archive.html
MATEMÁTICA PARA TODOS
sábado, 23 de agosto de 2014
Ecuación diofántica kilométrica.
Hallar los valores de a, b, c, d, e, f, g en la siguiente ecuación:
a + 7b + 49c + 343d + 2401e + 16807f + 117649g = 506878
SOLUCIÓN:
Los números pedidos son simplemente los cocientes de las sucesivas divisiones enteras del número 506878 por 7, es decir, 1, 3, 5, 7, 0, 2 y 4. Los coeficientes son simplemente las potencias de 7, así que las incógnitas son la expresión del número dado expresado en esa base.
TOMADO DE: http://www.mensa.es/juegosmensa/s076080.html#SOLU079
Una curiosa propiedad cuadrática.
De antiguo es conocido el triángulo pitagórico: 3 2 + 4 2 = 5 2
Para algunos resultarán una sorpresa las siguientes generalizaciones de esa igualdad cuadrática: 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 = 365
21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 + 27 2
Es inevitable preguntarse si estas igualdades son casuales u obedecen a alguna ley. ¿Es así?
SOLUCIÓN:
Para algunos resultarán una sorpresa las siguientes generalizaciones de esa igualdad cuadrática: 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 = 365
21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 + 27 2
Es inevitable preguntarse si estas igualdades son casuales u obedecen a alguna ley. ¿Es así?
SOLUCIÓN:
Si existe una ley, la correspondiente ecuación tomará la forma:
Desarrollando y simplificando se llega a:
O sea, finalmente:
n = 2p(p + 1)
De donde salen fácilmente los siguientes términos:
36 2 + 37 2 + 38 2 + 39 2 + 40 2 = 41 2 + 42 2 + 43 2 + 44 2
55 2 + 56 2 + 57 2 + 58 2 + 59 2 + 60 2 = 61 2 + 62 2 + 63 2 + 64 2 + 65 2
Obsérvese que la base del último cuadrado del término de la izquierda es siempre el
cuádruple de un número triangular.
Estas series presentan una analogía trivial con las del tipo:
1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
que es también muy fácil generalizar.
O sea, finalmente:n = 2p(p + 1)
De donde salen fácilmente los siguientes términos:
36 2 + 37 2 + 38 2 + 39 2 + 40 2 = 41 2 + 42 2 + 43 2 + 44 2
55 2 + 56 2 + 57 2 + 58 2 + 59 2 + 60 2 = 61 2 + 62 2 + 63 2 + 64 2 + 65 2
Obsérvese que la base del último cuadrado del término de la izquierda es siempre el
cuádruple de un número triangular.
Estas series presentan una analogía trivial con las del tipo:
1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
que es también muy fácil generalizar.
TOMADO DE:http://www.mensa.es/juegosmensa/s151155.html#SOLU152
UNA NUEVA PROPIEDAD DEL NÚMERO ÁUREO
En los libros de geometría de bachillerato es frecuente el siguiente problema:
hallar un triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión aritmética. El planteamiento conduce fácilmente al famoso triángulo de lados 3, 4, 5 o a todos sus semejantes, entre los que podemos tomar, por facilidad de comparación, el de hipotenusa igual a la unidad, con lo que los catetos son el coseno y el
seno de uno de los ángulos agudos. Los lados del triángulo resultan ser (0,6; 0,8; 1) y ángulo agudo menor B = 36,87º.
Siempre me sorprendió que no se plantee el obvio correlato: hallar el triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión geométrica. Unas fáciles ecuaciones conducen a que, para la hipotenusa unidad, los catetos valen 1/√φ y 1/φ respectivamente, siendo φ el conocido número áureo, o sea φ = (1+√5)/2 = 1,618...
El triángulo es el de lados (0,618; 0,786; 1), y el ángulo agudo vale 38,18º.
COMPLEMENTO. Podríamos preguntarnos por el triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión armónica. Cálculos no muy difíciles conducen est vez a una ecuación de cuarto grado, cuya solución es el triángulo de lados (0,632; 0,775; 1), y el ángulo, B = 39,22º.
Josep M. Albaigès i Olivart
Barcelona, noviembre 1999
TOMADO DE:http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf
hallar un triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión aritmética. El planteamiento conduce fácilmente al famoso triángulo de lados 3, 4, 5 o a todos sus semejantes, entre los que podemos tomar, por facilidad de comparación, el de hipotenusa igual a la unidad, con lo que los catetos son el coseno y el
seno de uno de los ángulos agudos. Los lados del triángulo resultan ser (0,6; 0,8; 1) y ángulo agudo menor B = 36,87º.
Siempre me sorprendió que no se plantee el obvio correlato: hallar el triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión geométrica. Unas fáciles ecuaciones conducen a que, para la hipotenusa unidad, los catetos valen 1/√φ y 1/φ respectivamente, siendo φ el conocido número áureo, o sea φ = (1+√5)/2 = 1,618...
El triángulo es el de lados (0,618; 0,786; 1), y el ángulo agudo vale 38,18º.
COMPLEMENTO. Podríamos preguntarnos por el triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión armónica. Cálculos no muy difíciles conducen est vez a una ecuación de cuarto grado, cuya solución es el triángulo de lados (0,632; 0,775; 1), y el ángulo, B = 39,22º.
Josep M. Albaigès i Olivart
Barcelona, noviembre 1999
TOMADO DE:http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf
EL NÚMERO 63
63 Los antiguos atribuían una especial significación de los años múltiplos de 7 ó 9, a los que llamaban “ climatéricos” .
Entre ellos ocupaba un lugar destacado el 63, múltiplo de ambos.
En efecto, 7 y 9 son los primeros números geométricamente rebeldes, ya que los polígonos de 7 y 9 lados son los primeros que no es posible construir con regla y compás. 63 posee otras significaciones místicas: es la distancia de la Tierra a la Luna, medida en radios terrestres. También es familiar a los niños: es el número de casillas en el juego de la Oca. En loterías es denominado, ignoro, por qué motivos, “ el arroz” , “ la paella” y “ el farolito” .
El algoritmo de Kaprekar consiste en invertir un número, hallar la diferencia entre ambos y reiterar el
proceso. Aplicado a los de 2 dígitos, acaba conduciendo al ciclo 63-27-45-9-81-63... (9 debe ser leído como el número de 2 dígitos 09).
Y ahí va otro simbolismo algo abstruso: existen 63 tipos de pavimentaciones normales isoédricas del plano con ayuda respecto a los dominios convexos (una pavimentación Ti es isoédrica si su grupo de simetrías se mueve transitivamente sobre los dominios Ti).
TOMADO DE: http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf
Entre ellos ocupaba un lugar destacado el 63, múltiplo de ambos.
En efecto, 7 y 9 son los primeros números geométricamente rebeldes, ya que los polígonos de 7 y 9 lados son los primeros que no es posible construir con regla y compás. 63 posee otras significaciones místicas: es la distancia de la Tierra a la Luna, medida en radios terrestres. También es familiar a los niños: es el número de casillas en el juego de la Oca. En loterías es denominado, ignoro, por qué motivos, “ el arroz” , “ la paella” y “ el farolito” .
El algoritmo de Kaprekar consiste en invertir un número, hallar la diferencia entre ambos y reiterar el
proceso. Aplicado a los de 2 dígitos, acaba conduciendo al ciclo 63-27-45-9-81-63... (9 debe ser leído como el número de 2 dígitos 09).
Y ahí va otro simbolismo algo abstruso: existen 63 tipos de pavimentaciones normales isoédricas del plano con ayuda respecto a los dominios convexos (una pavimentación Ti es isoédrica si su grupo de simetrías se mueve transitivamente sobre los dominios Ti).
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