PROBLEMA DEL aceite y el vinagre

Un astuto especulador se inicia en los negocios con un lote de barriles de aceite y vinagre. No sabemos cuantos barriles hay de cada uno pero sabemos que su primer cliente pagó $14 por cierta cantidad de galones de aceite y $14 por cierta cantidad de galones de vinagre y que pagó el doble por el galón de aceite que por el de vinagre, finalmente le dejó un solo barril.

¿qué barril deja?

Solución

El cliente compró los barriles de aceite de 13 y 15 galones a 50 centavos por galón, y los barriles de vinagre de 31, 17 y 8 galones a veinticinco centavos por galón. Esto deja al barril de 19 galones, que puede contener tanto aceite como vinagre. 


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PROBLEMA INTERESANTE

¿Qué pasaría si...

... cortáramos un cubo con un plano? ¿Podríamos obtener un triángulo semejante a cualquier triángulo dado?

SOLUCIÒN

Recordemos en primer lugar que dos triángulos son semejantes si los cocientes de los lados correspondientes son todos iguales a un número fijo. Por ejemplo, la Figura 1 muestra dos triángulos semejantes:

Figura 1.

Estos dos triángulos satisfacen las relaciones

Una vez hecha esta aclaración, la respuesta a la pregunta es que no es posible obtener un triángulo semejante a cualquier triángulo dado. Por ejemplo, veamos que este proceso de cortar el cubo con un plano no nos puede dar un triángulo recto. En la Figura 2 se ve un posible corte.

Figura 2.

Los tres triángulos que aparecen en otras tantas caras del cubo son rectos, por lo cual sabemos que se cumplen las siguientes relaciones:

Si además queremos que se cumpla, digamos, la relación , usando las tres relaciones anteriores podemos escribir:

de donde resulta , lo cual está claro que no puede ser. Desde luego, llegaríamos a una contradicción semejante si supusiéramos que el lado    ó el   es la hipotenusa del triángulo.

En este tema de cortar un cubo con un plano se pueden hacer muchas otras preguntas. Por ejemplo, ¿es posible obtener triángulos isósceles o equiláteros?, ¿es posible obtener un cuadrado o un rectángulo?, ¿se puede tener una sección pentagonal o hexagonal?, ¿qué polígonos regulares se pueden obtener?

Una manera divertida de experimentar es cortando patatas en forma de cubos y luego cortando los cubos de diferentes maneras. Los cortes, sumergidos en pintura, se convierten en sellos que pueden forman efectos interesantes sobre una hoja de papel.

	Sobre la autora
	Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la dirección de A.P. Calderón TOMADO DE: http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=452&Itemid=275