PILOGE: GEOMETRÌA

viernes, 17 de abril de 2015

Ángulo recto focal

En los Elementos de Euclides (proposición VI.3) se demuestra que, si D está en el segmento BC, AD es bisectriz del ángulo BAC si y solo si BD/CD = BA/CA.

La recta AE, perpendicular a AD, será entonces bisectriz del ángulo externo en A y como AB,AC,AD,AE son una cuaterna armónica de rectas, su sección B,C,D,E será una cuaterna armónica de puntos y por tanto BD/CD = BE/CE, y AE es bisectriz del angulo externo en A si y solo si BE/CE= BA/CA.

Si P es un punto de una cónica (definida como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco F y a una directriz están en una razón dada) y R es la intersección de la tangente a la cónica en P con la directriz, entonces el ángulo PFR es recto.

Porque si PQ es una cuerda de una cónica y R su intersección con la directriz, por la definición foco-directriz PF/QF = PR/QR y por tanto FR es, por la proposición anterior, bisectriz externa del ángulo PFQ.
Como la bisectriz interna del ángulo es perpendicular a la externa, cuando Q coincide con P la cuerda PQ se convierte en la tangente, y el ángulo RFP será recto.

Como consecuencia, las tangentes a una cónica en los extremos de una cuerda que pasa por el foco se cortan en la directriz, y por tanto la directriz es la polar del foco respecto a la cónica.

TOMADO DE:http://apolonio.es/guirnalda/angulo-recto-focal/

miércoles, 24 de septiembre de 2014

La fórmula de Herón según Boscovich

Presentamos aquí la demostración por Ruder Boscovich de la que desde el siglo XX se conoce como fórmula de Herón. La demostración aparece en Opera pertinentia ad opticam, et astronomiam, maxima ex parte nova, et omnia hucusque inedita, (1785), tomo V, Opúsculo 14, que comienza así:

Opúsculo XIV.- Demostraciones simples de algunos bellos teoremas sobre triángulos.
Los teoremas que se demuestran en este pequeño opúsculo son elementales y muy conocidos. Tratan de la manera de encontrar, dados los tres lados, un ángulo cualquiera, el radio del círculo inscrito y el área. Las demostraciones que se dan habitualmente en las obras elementales son bastante complicadas. Habiendo encontrado una demostración del primer teorema de una gran simplicidad y tal que, con la misma figura y las mismas palabras se aplica al triángulo plano y al esférico y viendo que las dos otras para el triángulo plano surgen por sí mismas y que para el área del triángulo esférico hay una determinación tan simple y elegante, creo poder proponer todo esto como un objeto muy útil para los redactores de elementos, para ahorrar a los jóvenes alumnos mucha pena, y para inspirarles cierto gusto por la nitidez, la claridad y la elegancia, que deben tener lugar principalmente en las verdades elementales por
las cuales se empieza a desarrollar las ideas y se abre un camino a los conocimientos más complicados y más sublimes.

A continuación Boscovich enuncia el siguiente teorema, que, modernizando la notación y limitándonos al caso plano (el original en este enlace), dice:
Si $a,b,c$ son los lados del triángulo, $s$ el semíperímetro y $\alpha$ el ángulo opuesto al lado $a$ , entonces $\dfrac {1}{\sin^2(\alpha/2)} = \dfrac {b c}{(s-b)(s-c)}$ .

Para la demostración usamos la figura siguiente, donde $I$ es el punto de intersección de las bisectrices, $s_a, s_b, s_c$ son los segmentos entre los vértices y los puntos de tangencia con el incírculo

y $BH, \ CF$ son perpendiculares a la bisectriz $AI$ : $s_a + s_b + s_c$ es igual al semiperímetro $s$ , y por tanto $s_a = s-a$ , $s_b = s-b$ y $s_c = s-c$ .
$\angle CIF = \frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}$ , porque es ángulo externo de $\triangle AIC$ y $\angle BIE = \frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}$ , porque, por $\triangle BIE$ , es complementario del $\angle IBE = \frac{\beta}{2}$
y $\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}$ suman un recto.
Por tanto $\angle BIE = \angle CIF$ y $\angle BIF = \angle CIE$ .

Por la definición de seno, $s_b = BI \sin \angle BIE$ , $BH = BI \sin \angle BIH$ , $s_c = CI \sin \angle CIE$ , $CF = CI \sin \angle CIF$ .
Por tanto $s_b \cdot s_c = BH \cdot CF$ .
Pero $BH=c \sin(\alpha/2)$ y $CF=b \sin(\alpha/2)$
Entonces $s_b s_c = bc \sin^2(\alpha/2)$ y como $s_b = s-b$ y $s_c = s-c$ , tenemos demostrado el teorema, que nos da el ángulo a partir de los lados.

Boscovich obtiene como corolario las fórmulas para el radio del íncirculo y el área:
Como $bc=(s_a+s_c)(s_a+s_b) = s_a(s_a+s_b+s_c) + s_bs_c = s_as + s_bs_c$ ,

la fórmula demostrada se puede escribir $\dfrac {1}{\sin^2(\alpha/2)} = \dfrac {s_as+ s_bs_c}{s_bs_c} = \dfrac {s_as}{s_bs_c} + 1$ .
En el $\triangle AIG$ tenemos $r^2 = AI^2 \sin^2(\alpha/2)$ ,
$\dfrac {1}{\sin^2(\alpha/2)} = \dfrac {AI^2}{r^2}= \dfrac {s_a^2+r^2}{r^2} = \dfrac {s_a^2}{r^2}+1$ .
De donde $\dfrac {s}{s_bs_c} = \dfrac {s_a}{r^2}$ , es decir $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ .
Y como el área de $\triangle ABC$ es la suma de las áreas de $\triangle AIB,\triangle BIC,\triangle AIC$ , que es $rs$ , el cuadrado del área será $r^2s^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ .

TOMADO DE: http://apolonio.es/guirnalda/la-formula-de-heron-segun-boscovich/

viernes, 17 de abril de 2015

Ángulo recto focal

miércoles, 24 de septiembre de 2014

La fórmula de Herón según Boscovich

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