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MATEMÁTICA PARA TODOS
martes, 5 de agosto de 2014
ILUSIÓN ÓPTICA N° 1
TOMADO DE:http://www.taringa.net/posts/imagenes/2133835/Ilusion-optica-muy-bueno.html
El problema del convento
El problema del convento. Por Sam Loyd.
El convento, tal como lo muestra la ilustración, era una estructura cuadrada de tres pisos, con seis ventanas en cada fachada correspondientes a los dos pisos superiores. Se ve claramente que hay ocho cuartos con ventanas al exterior en cada uno de los dos pisos, lo que coincide con los requerimientos de la antigua historia. Según la leyenda los dos pisos superiores eran utilizados como dormitorios. El segundo piso, que tenía camas en cada una de las habitaciones, albergaba el doble de ocupantes que el primer piso.
La Madre Superiora, de acuerdo con la vieja regla de los fundadores, insistía en que las ocupantes debían repartirse de tal manera que ocupasen todas las habitaciones. Además, el segundo piso debía albergar el doble de ocupantes que el primero y debía haber siempre exactamente once monjas en total en las seis habitaciones (tres habitaciones por cada piso) de cada uno de los cuatro costados del convento.
El problema se refiere tan sólo a los dos pisos superiores así que no es necesario tener en cuenta la planta baja.
Ocurrió que tras la retirada del ejército francés a través del paso de los Pirineos se descubrió que habían desaparecido nueve monjas de las más jóvenes y atractivas. Siempre se creyó que habían sido capturadas por los soldados. Sin embargo para no preocupar a la Madre Superiora, las monjas que advirtieron la desaparición se las arreglaron para ocultar el hecho por medio de una inteligente manipulación o cambio de las ocupantes de las habitaciones.
Así, las monjas lograron reacomodarse de tal modo que cuando la Madre Superiora hacía sus rondas nocturnas encontraba todos los cuartos ocupados, once monjas en cada uno de los cuatro costados del convento, el doble de monjas en el segundo piso que en el primero y no obstante faltaban nueve monjas. ¿Cuántas monjas había y cómo se dispusieron?
Antes del rapto de las monjas la disposición de las habitaciones era la siguiente:
En el primer piso:
| En el segundo piso:
|
Cada costado se representa por un color distinto por lo que si sumamos las monjas de cada costado para ambos pisos tendremos 11 monjas en cada costado. También podemos comprobar que hay el doble de monjas en el piso superior que en el inferior. Tenemos 36 monjas en total.
Después del rapto la distribución quedó de la siguiente manera:
En el primer piso:
| En el segundo piso:
|
Si sumamos las monjas de cada costado continuamos teniendo 11 monjas en cada uno. También podemos ver que continua habiendo el doble de monjas en el piso superior que en el inferior. Tenemos 27 monjas en total, 9 menos que antes del rapto.
Herencia con infinitas monedas
Desafiar la intuición, ése tendría que ser el título de este capítulo.
Todos tenemos ciertas ideas sobre las cosas: opiniones, juicios formados. Eso, en principio, tranquiliza, porque nos evita la ansiedad de enfrentar lo desconocido. Por supuesto, uno querría extrapolar los conocimientos que tiene –muchos o pocos – y utilizarlos en todas las situaciones en las que podamos encontrarnos.
Pero es algo claramente imposible. Sin embargo, hay ciertos momentos en los que tenemos confianza en que lo que intuimos está bien. A veces funciona. Otras veces, no.
Le propongo pensar el siguiente ejemplo (ficticio, claro), que involucra conjuntosinfinitos .
Aquí va: un señor tenía dos hijos. Era una persona muy rica… tan rica, que su capital era infinito
Como sabía que estaba por morirse, convoca a sus hijos y antes de retirarse de este mundo les dice: “Yo los quiero a los dos por igual. No tengo otros herederos más que ustedes, de modo que les voy a dejar mi herencia en monedas de un peso”. (Es decir que les dejaba infinitas monedas de un peso.) “Eso sí, quiero que hagan unarepartición justa de la herencia. Aspiro a que ninguno de los dos trate de sacar ventaja sobre el otro”. Y murió.
Llamemos a los hijos A y B para fijar las ideas. Los dos, después de pasar por un lógico período de duelo, deciden sentarse a pensar en cómo repartir la herencia respetando el pedido del padre. Luego de un rato, A dice tener una idea y se la propone a B.
–Hagamos una cosa –dice A –. Numeremos las monedas. Pongámosle 1, 2, 3, 4, 5… etcétera. Una vez hecho esto, te propongo el siguiente procedimiento: vos elegís primero dos monedas cualesquiera. Después, me toca a mí. Yo, entonces, elijoalguna de las monedas que vos elegiste, y te toca a vos otra vez. Elegís otra vez dos monedas de la herencia, y yo elijo una de las que seleccionaste, y así sucesivamente. Vos vas eligiendo dos por vez, y yo me quedo con una de las que ya apartaste.
B se queda pensando. Mientras piensa, le propongo que haga lo mismo (antes de mirar o leer la respuesta): ¿es justa la propuesta de A? ¿Es equitativa? ¿Reparte la herencia en cantidades iguales? ¿Respeta la voluntad del padre? Como estoy seguro de que le sucede a veces, uno siente la tentación de ir más abajo en la página y leer la solución, pero, en ese caso, se privará de la posibilidad de desafiarse a sí mismo. Nadie lo mira. Nadie lo controla. Y de paso, uno desafía la intuición.
SOLUCIÓN
Este problema es interesante porque no tiene una solución única. Es decir: no se puede afirmar que la propuesta es justa ni injusta. Veamos:
CASO 1. Supongamos que lo que propone A se lleva a cabo de la siguiente manera:
Creo que está claro el patrón que están siguiendo. B elige dos monedas consecutivas, una impar y otra par, y A se queda con la moneda par. ¿Es justo este proceso? Uno puede decir que sí, porque B se va a quedar con todas las monedas impares y A con todas las pares. Si ésa va a ser la forma de distribuir la herencia, la voluntad del padre se verá satisfecha y ninguno de los dos sacará ninguna ventaja.
CASO 2. Supongamos que ahora el proceso se lleva a cabo de la siguiente manera:
¿Le parece que la distribución es justa? No siga leyendo; piénselo. Si este proceso continúa, y obviamente debería continuar porque las monedas son infinitas, A se estaría quedando con todas las monedas, mientras que a B no le quedaría nada. Es decir que esta repartición no es justa ni respeta la voluntad paterna.
Sin embargo, la propuesta original que A le había hecho a su hermano B no está bien ni mal. Depende de la forma en que sean elegidas las monedas… y eso desafía la intuición. Lo invito a que piense: si en lugar de tratarse de una herencia infinita, se tratara de una herencia normal, como la que podría dejar cualquier persona al morir, la pongan en monedas o no, ¿la distribución que propuso A está siempre bien ?
CASO 3. Otra propuesta es el siguiente reparto: en cada paso, a A se le permite sacar cualquier número (pero finito ) de monedas, y B elige sólo una de las que eligió A. ¿Sería una repartición justa? Lo dejo pensar en soledad.
Ahora sí, agrego la solución: No importa qué número de monedas extraiga A, en la medida que B se lleve primero la moneda número 1. En el segundo paso, cuando A vuelva a hacer su selección, B le “sacará” la moneda número 2. Luego A sigue llevándose monedas en forma consecutiva, y cuando termina, B le “saca” la moneda número 3, y así sucesivamente. Como el proceso es infinito, B se quedará con todaslas monedas de A, independientemente de la cantidad que A se lleve en cada oportunidad que le toca elegir.
Este ejemplo muestra una vez más que los conjuntos infinitos tienen propiedades que atentan contra la intuición. De hecho, la moraleja que uno saca de estos ejemplos es que las leyes con las que estamos acostumbrados a pensar con los conjuntos finitosno necesariamente son aplicables a los conjuntos infinitos , y por lo tanto hay que aprender a pensar distinto y a entrenar la intuición.
TOMADO DE:http://www.librosmaravillosos.com/matestahi02/capitulo03.html#3
Todos tenemos ciertas ideas sobre las cosas: opiniones, juicios formados. Eso, en principio, tranquiliza, porque nos evita la ansiedad de enfrentar lo desconocido. Por supuesto, uno querría extrapolar los conocimientos que tiene –muchos o pocos – y utilizarlos en todas las situaciones en las que podamos encontrarnos.
Pero es algo claramente imposible. Sin embargo, hay ciertos momentos en los que tenemos confianza en que lo que intuimos está bien. A veces funciona. Otras veces, no.
Le propongo pensar el siguiente ejemplo (ficticio, claro), que involucra conjuntosinfinitos .
Aquí va: un señor tenía dos hijos. Era una persona muy rica… tan rica, que su capital era infinito
Como sabía que estaba por morirse, convoca a sus hijos y antes de retirarse de este mundo les dice: “Yo los quiero a los dos por igual. No tengo otros herederos más que ustedes, de modo que les voy a dejar mi herencia en monedas de un peso”. (Es decir que les dejaba infinitas monedas de un peso.) “Eso sí, quiero que hagan unarepartición justa de la herencia. Aspiro a que ninguno de los dos trate de sacar ventaja sobre el otro”. Y murió.
Llamemos a los hijos A y B para fijar las ideas. Los dos, después de pasar por un lógico período de duelo, deciden sentarse a pensar en cómo repartir la herencia respetando el pedido del padre. Luego de un rato, A dice tener una idea y se la propone a B.
–Hagamos una cosa –dice A –. Numeremos las monedas. Pongámosle 1, 2, 3, 4, 5… etcétera. Una vez hecho esto, te propongo el siguiente procedimiento: vos elegís primero dos monedas cualesquiera. Después, me toca a mí. Yo, entonces, elijoalguna de las monedas que vos elegiste, y te toca a vos otra vez. Elegís otra vez dos monedas de la herencia, y yo elijo una de las que seleccionaste, y así sucesivamente. Vos vas eligiendo dos por vez, y yo me quedo con una de las que ya apartaste.
B se queda pensando. Mientras piensa, le propongo que haga lo mismo (antes de mirar o leer la respuesta): ¿es justa la propuesta de A? ¿Es equitativa? ¿Reparte la herencia en cantidades iguales? ¿Respeta la voluntad del padre? Como estoy seguro de que le sucede a veces, uno siente la tentación de ir más abajo en la página y leer la solución, pero, en ese caso, se privará de la posibilidad de desafiarse a sí mismo. Nadie lo mira. Nadie lo controla. Y de paso, uno desafía la intuición.
SOLUCIÓN
Este problema es interesante porque no tiene una solución única. Es decir: no se puede afirmar que la propuesta es justa ni injusta. Veamos:
CASO 1. Supongamos que lo que propone A se lleva a cabo de la siguiente manera:
- B elige las monedas 1 y 2.
- A saca entonces la moneda 2.
- B elige las monedas 3 y 4.
- A se queda con la 4.
- B elige las monedas 5 y 6.
- A se queda con la 6.
Creo que está claro el patrón que están siguiendo. B elige dos monedas consecutivas, una impar y otra par, y A se queda con la moneda par. ¿Es justo este proceso? Uno puede decir que sí, porque B se va a quedar con todas las monedas impares y A con todas las pares. Si ésa va a ser la forma de distribuir la herencia, la voluntad del padre se verá satisfecha y ninguno de los dos sacará ninguna ventaja.
CASO 2. Supongamos que ahora el proceso se lleva a cabo de la siguiente manera:
- B elige las monedas 1 y 2.
- A elige la moneda 1.
- B elige las monedas 3 y 4.
- A elige la moneda 2 (que había elegido B en la primera vuelta).
- B elige las monedas 5 y 6.
- A elige la moneda 3.
- B elige las monedas 7 y 8.
- A elige la moneda 4…
¿Le parece que la distribución es justa? No siga leyendo; piénselo. Si este proceso continúa, y obviamente debería continuar porque las monedas son infinitas, A se estaría quedando con todas las monedas, mientras que a B no le quedaría nada. Es decir que esta repartición no es justa ni respeta la voluntad paterna.
Sin embargo, la propuesta original que A le había hecho a su hermano B no está bien ni mal. Depende de la forma en que sean elegidas las monedas… y eso desafía la intuición. Lo invito a que piense: si en lugar de tratarse de una herencia infinita, se tratara de una herencia normal, como la que podría dejar cualquier persona al morir, la pongan en monedas o no, ¿la distribución que propuso A está siempre bien ?
CASO 3. Otra propuesta es el siguiente reparto: en cada paso, a A se le permite sacar cualquier número (pero finito ) de monedas, y B elige sólo una de las que eligió A. ¿Sería una repartición justa? Lo dejo pensar en soledad.
Ahora sí, agrego la solución: No importa qué número de monedas extraiga A, en la medida que B se lleve primero la moneda número 1. En el segundo paso, cuando A vuelva a hacer su selección, B le “sacará” la moneda número 2. Luego A sigue llevándose monedas en forma consecutiva, y cuando termina, B le “saca” la moneda número 3, y así sucesivamente. Como el proceso es infinito, B se quedará con todaslas monedas de A, independientemente de la cantidad que A se lleve en cada oportunidad que le toca elegir.
Este ejemplo muestra una vez más que los conjuntos infinitos tienen propiedades que atentan contra la intuición. De hecho, la moraleja que uno saca de estos ejemplos es que las leyes con las que estamos acostumbrados a pensar con los conjuntos finitosno necesariamente son aplicables a los conjuntos infinitos , y por lo tanto hay que aprender a pensar distinto y a entrenar la intuición.
TOMADO DE:http://www.librosmaravillosos.com/matestahi02/capitulo03.html#3
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