Historia del método del límite

¿cuándo surge por primera vez el método del límite? ¿ qué problemas trataba de resolver?
Como la mayoría de los conceptos y métodos matemáticos ( así como las principales cuestiones filosóficas y de interés vital que se ha planteado la humanidad), nos debemos remontar a los griegos de la antigüedad.

En el siglo V a.c. se atribuye al sofista Antifonte el primer intento por calcular la cuadratura del círculo. Éste inscribe un cuadrado en el círculo.

En cada segmento circular formado, inscribe un triángulo isósceles, y va repitiendo este proceso sucesivamente de modo que “en algún momento se agotaría el círculo, inscribiendo de ese modo un polígono cuyos lados, por su pequeñez, coincidirán con la circunferencia. Y dado que podemos cuadrar cualquier polígono, estaríamos en disposición de construir un cuadrado igual al círculo”.
Este primer intento de cuadratura adolece de falta de rigor, pero Antifonte ya considera una sucesión de polígonos inscritos que tienden a agotar el círculo. Sin embargo, no ofrece ningún criterio riguroso para razonar por qué se va a agotar el círculo en este proceso.
Un siglo más tarde Eudoxo retoma esta cuestión y , en su línea habitual de trabajo serio y profundo, aporta el rigor suficiente para responder a este interrogante y fundamentar un método que posteriormente en el siglo XVII será denominado de exhausción. Eudoxo se basa en el siguiente lema:
“Si se ponen dos magnitudes desiguales y de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad, y de la restante se quita una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada”
Eudoxo tiene por primera vez la genialidad de evaluar con un criterio claro y nítido cuándo una magnitud tiende a anularse : cuando en el proceso llega a valer menos que cualquier otra magnitud dada.
Si partimos de una magnitud M , y la sometemos a un proceso como el anterior de eliminar sucesivamente una parte mayor que su mitad , ¿ llegará a valer menos que una cantidad cualquiera C?
Después del primer paso, M se habrá convertido en M-rM = M*(1-r),      (1/2)Después del segundo paso, se habrá convertido en M*(1-r) – M*(1-r)*r = M*(1-r)^2
...............
Después del paso n-ésimo , se habrá convertido en M* (1-r)^n
¿ Para algún valor de n, conseguiremos que M*(1-r)^n < C ?
Tomando logaritmos neperianos en esta expresión y despejando n, obtenemos que n > (lnC-lnN)/ln(1-r).
Luego basta con aplicar un número de pasos n, superior a este cociente , para asegurarnos que M se ha convertido en un valor inferior a C.
En este razonamiento realizado con terminología actual se observa que no es necesario que eliminemos en cada paso más de la mitad de la magnitud, como indica Eudoxo. No es necesario que r>(1/2). Basta simplemente que 0
Con este criterio de Eudoxo sí se puede garantizar que los polígonos mencionados de Antifonte agotan todo el círculo, pues , como se ve fácilmente en la figura, el área del triángulo quitado en cada segmento circular es mayor que la mitad del área de éste.

En efecto, consideremos un rectángulo, trazando la tangente por el punto medio del segmento. El área del triángulo es la mitad del rectángulo; pero este rectángulo tiene mayor área que el segmento. Luego, el área del triángulo es mayor que la mitad del segmento circular.

 

Aunque la exigencia de Eudoxo de eliminar en cada paso más de la mitad no sea necesaria, su razonamiento es impecable y genial. Descubre un criterio para demostrar cuándo una sucesión de polígonos tendrá como límite una figura ( “agotará esa figura”).
Arquímedes utiliza este método establecido por Eudoxo para cuadrar un segmento de parábola. Aporta otra novedad: además de inscribir polígonos , circunscribe otra sucesión de polígonos; de este modo, consigue que la diferencia entre los polígonos circunscritos e inscritos sea menor que cualquier número dado. El método de “exhausción” se ha transformado en el método de “ compresión” ; la figura queda comprimida entre ambas sucesiones de polígonos.
Aunque los griegos nunca utilizaron la palabra límite, hemos visto cómo Eudoxo y Arquímedes conocieron y usaron las ideas principales que configuran este método. Sin embargo no disponían de un simbolismo adecuado algebraico que facilitara su definición y, por otra parte, su planteamiento se limitaba sólo a figuras geométricas.
Hubo de esperar muchos siglos para que estas ideas fecundas de los griegos fructificaran. En el siglo XVI I, con motivo del estudio del movimiento iniciado antes por Galileo, algunos matemáticos insignes como Fermat, Descartes, Newton y Leibniz empezaron a vislumbrar las posibilidades del método de los límites.
Posteriormente en el siglo XVIII Euler consiguió relacionar todas las ideas y métodos de sus predecesores y englobarlos en una teoría más general que desde entonces se llama análisis infinitesimal, análisis de los procesos infinitos. Por último Cauchy definió por fin el concepto de límite tal y como actualmente se estudia en cualquier centro de enseñanza.

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Estiramiento de un muelle

Analicemos ahora un último ejemplo , extraído de la física, que se resuelve de forma sencilla con la estrategia del límite.
La mayoría de las fuerzas que actúan en la naturaleza son variables, no permanecen constantes : así, al estirar un muelle , el esfuerzo de alargarlo el primer decímetro es menor que el del segundo decímetro. Cuanto más estirado está el muelle, más fuerza tenemos que emplear para mantenerlo en dicha posición.La fuerza que tiende a recuperar su posición es cada vez mayor, de modo proporcional a la longitud estirada ( F = -kx , la constante k depende de cada muelle). Cuanto más estirado está el muelle, más nos cuesta alargarlo. La constante k depende de cada muelle.

¿Cómo calcular el trabajo que se emplea para estirar un muelle ,de constante k, una longitud L ?

Sabemos que el trabajo es el producto escalar de la fuerza que actúa sobre unn objeto por sudesplazamiento . Pero en nuestro caso la fuerza es variable, como hemos indicado antes. ¿Qué valor asignamos a la fuerza durante todo el proceso de alargamiento? ¿La que actúa al principio del proceso? ¿La que actúa en un punto intermedio?
Está claro que en todos estos casos cometemos un error significativo. La estrategia del límite nos da la solución de nuevo a este problema....
Dividimos en 4 partes iguales el desplazamiento y suponemos que la fuerza es constante en cada una de éstas, eligiendo en cada intervalo la fuerza que actúa en su extremo derecha:

Con estas hipótesis ¿ cuál es el trabajo para estirar la longitud L ?
En el primer tramo la fuerza F= -k* L/4,y el desplazamiento es L/4. El trabajo es , por tanto, -k*L/4 *L/4 = -k*L^2/4^2.

En el segundo tramo, el trabajo es -k*(2L)/4*L/4

..............
El trabajo total es la suma de estos trabajos : -k*(L^2/4^2) *(1+2+3+4)

Como antes, si ahora dividimos el trayecto en 8 partes , la aproximación al valor buscado es mejor:

-k*(L^2/8^2)*(1+2+....+8)

Por último, dividiendo el trayecto en n partes,

-k*(L^2/n^2)*(1+2+.....+n)= -k*(L^2/2)*(1+1/n)

El trabajo total es el límite de esta expresión cuando el número n de intervalos iguales tienda a ( de esta forma, la longitud de cada intervalo es infinitamente pequeña y no hay error al considerar constante la fuerza en él).

Por tanto, el trabajo de estirar el muelle de constante k una longitud L es
-k*(L^2)/2

El límite y los infinitésimos

El método del límite proporciona un modo de fundamentar con rigor el cálculo diferencial sin recurrir a los infinitésimos , que , aunque eficaces en la resolución de problemas, resultaban conceptos muy oscuros y difusos tal y como los concibieron inicialmente Newton y Leibniz.
Supongamos que un coche parte del reposo y alcanza una velocidad de 110 km/h. Está claro , por la continuidad de la velocidad, que al menos en un instante este coche iba a 100 Km/h, según marcaba su cronómetro. Esta velocidad no es una cuestión simplemente teórica , sino que tiene un significado real y práctico: si el coche en ese instante tuviera un accidente, sus consecuencia dependen de esta velocidad. Del mismo modo, el alcance y altura de un proyectil lanzado por un cañón depende de la velocidad instantánea de salida por el tubo de éste.
Pero analicemos detenidamente este concepto que en principio parece evidente y sencillo. ¿Qué significa que en un instante la velocidad es de 100 Km/h? Suponemos que el coche no se ha mantenido con esa velocidad durante una hora en la que habría recorrido 100 kms. Está claro que para el cálculo de la velocidad no necesitamos que el coche esté en marcha durante una hora. Si la velocidad es constante, es suficiente con medir la distancia recorrida durante un tiempo determinado y calcular el cociente de esta distancia entre el tiempo empleado.
Si la velocidad no se ha mantenido constante en ningún período de tiempo ¿ cómo calcular ésta en un instante dado, que es distinta a la de un instante anterior y posterior? Si el tiempo de un instante es 0, también lo es la distancia recorrida en ese tiempo.¿Cómo calcular entonces la velocidad instantánea como un cociente 0/0?
Newton y Leibniz suponen la existencia de cantidades muy pequeñas, próximas a 0, a las que denominan infinitésimos, que aparecen y se desvanecen en el cálculo de su cociente, que sí es distinto de 0. Se trata evidentemente de un proceso nada riguroso: se sacan de la manga cantidades que apenas se diferencian de 0 y después desaparecen cuando han cumplido su misión como numerador o denominador. Sin embargo, los resultados obtenidos por estos dos grandes matemáticos no eran nada triviales y solucionaban problemas que durante siglos habían permanecido sin ser resueltos ( cálculo de velocidades, de máximos y mínimos, de cálculo de tangentes a curvas,...).
La estrategia del límite resuelve esta dificultad sin recurrir a los difusos infinitésimos. La noción de límite se aplica a distancias y tiempos pequeños, pero no infinitesimales.
Si conocemos el espacio recorrido en cada período de tiempo, calculamos las velocidades del coche en los intervalos previos al instante t:
(t -1,t ), (t -1/2,t ), ......(t -1/n,t)).....
Estas velocidades forman una sucesión cuyo límite , cuando n se hace tan grande como se quiera, coincide con la velocidad v en el instante .
Si analizamos este ejemplo, observamos que el método del límite no sólo permite calcular algunos valores exactamente, sino que es además una herramienta adecuada para definir conceptos y magnitudes físicas. ¿Cómo, si no, podemos definir la velocidad instantánea?
Como veremos en los capítulos de la derivada e integral, la mayoría de los conceptos de la física se definen mediante la estrategia del límite.

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El número e

Hablemos ahora de los intereses que produce una cantidad de dinero colocada en un banco. La práctica usual es que los intereses se contabilizan y acumulan al final de cada año.
Así, si se pone 1 euro al interés anual de i por unidad ¿En qué se convierte después de t años?
Durante el primer año, el euro se convierte en 1+i.Durante el segundo año, cada euro se convierte en 1+i. Como al principio de este año, había 1+i, éstos se convierten en (1+i)^2
Repitiendo este proceso , a los t años el euro inicial se ha convertido en (1+i)^t
Supongamos ahora que el interés anual es del 1 por unidad y los períodos de capitalización son los trimestres; es decir, los intereses generados en el primer trimestre se acumulan al capital para producir en adelante nuevos intereses, y así sucesivamente en cada trimestre. El interés por unidad en cada período es ahora i/4 y durante un año hay 4 períodos de acumulación. Por tanto, al cabo de un año 1 euro se habrá convertido en (1+i/4)^4.
Razonando análogamente, si el período de acumulación de intereses fuera un mes, entonces 1 euro se convierte al final de un año en (1+i/12)^12.
Si el período de acumulación fuera un día, entonces 1 euro se convierte al final de año en (1+i/360)^360.
Como cabía esperar , cuanto más breve es el período de acumulación , más beneficio produce el capital inicial
( antes empiezan los interesados generados a producir nuevos intereses ).
Siguiendo este razonamiento, surge de forma natural la siguiente pregunta ¿ Y si el período de acumulación es un instante ? es decir ¿ y si el interés desde el mismo instante en que es generado, empieza a su vez a generar nuevos intereses ? Estamos entonces ante lo que se llama un interés continuo. El concepto de instante y su relación con la idea de límite se analizarán con más profundidad en el capítulo de las derivadas.
La estrategia del límite nos da de nuevo la solución a este problema. Nos permite dar el salto de un proceso discreto a otro continuo. Buscamos un proceso en el que cada vez obtengamos aproximaciones mejores al valor buscado y además estas aproximaciones se acerquen al valor tanto como se quiera .
Si utilizamos n períodos iguales de acumulación durante el año, argumentando como antes , 1 euro se convierte al final del año en (1+1/n)^n.
Cuanto mayor sea n, menor será el período de acumulación, de modo que éste tenderá a 0 ( será un instante ) cuando n tienda a infinito.
Así, con un interés continuo del 100 %, 1 euro se convierte , al final de un año, en el valor  lim (1+1/n)^n . Sabemos que este límite es el número e. Su nombre se debe al gran matemático Euler, quien descubrió la relación existente entre los tres números más famosos de la matemática .
Si es famoso el número e, no es por el interés continuo , que nunca se da en la práctica habitual en los términos anteriores ( ninguna entidad financiera ofrece un interés continuo, y menos al 100 % anual ). Pero el interés continuo simboliza muy bien el modelo que siguen todos los procesos de crecimiento y decrecimiento continuos , tan frecuentes en la naturaleza.
El crecimiento de la masa forestal de un extenso bosque, el crecimiento de una colonia de insectos o virus, la desintegración radiactiva ,....son procesos continuos, en los que la acumulación o el decrecimiento se producen instantáneamente ( no hay un período de tiempo en el que los elementos generados permanecen inactivos esperando una señal para incorporarse al proceso , sino que ,desde el mismo instante en que son generados, participan como el resto en el proceso de crecimiento) . Por eso, en las ecuaciones que rigen estos modelos aparece siempre el número e

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La estrategia del límite

Introducción

Vamos a hablar sobre un concepto clave en varias ramas importantes de la matemática: la estrategia del límite. Junto al de función, es la idea básica del “análisis ( o cálculo) infinitesimal”, que comprende tanto el estudio de la derivada como el de la integral.
A pesar de la importancia de este concepto ( o método), durante el Bachillerato no se llega a explicar suficientemente el significado ni el alcance de esta potente herramienta. Eso sí, los alumnos calculan límites con una gran pericia cuando se aprenden las distintas técnicas elementales, que parecen “extraídas de la manga”. Así, no se arrugan ante cálculos tan laboriosos como 
Incluso les gusta realizar estos cálculos que les resulta bastante sencillo, pero no llegan a entender para qué sirve calcular estos límites.
¿ Para qué necesitan calcular el límite de la función ? ¿ O el ? Los más aventajados calculan este último límite para hallar una asíntota oblicua de una función , pero ,además de esta aplicación, no encontrarán otro sentido a este límite.

No asimilan ( o no nos esforzamos los profesores porque lo asimilen) las ideas básicas que subyacen en estos cálculos. Algo parecido ocurre con otros conceptos o métodos matemáticos: el cálculo de las raíces cuadradas, de derivadas, de integrales ( los alumnos calculan con destreza hasta llegar a sus resultados, pero en general desconocen el significado y las aplicaciones de éstos, que es lo más importante ).

La mayoría de nuestros alumnos de Bachillerato no sabrían responder con cierto criterio a las siguientes preguntas: ¿ qué problemas prácticos resuelve el método de los límites? ¿ qué significa la expresión ? ¿cómo explicar con palabras sencillas el significado de que ? ¿ Por qué ?

Incluso me atrevo a indicar que muchos estudiantes universitarios de Ciencias tampoco sabrían responder a estas preguntas con cierta profundidad. Muchos estudiantes de Ingeniería calculan límites muy complicados, pero estoy convencido de que pocos de ellos tienen una idea clara de su contenido y alcance.
Es cierto que los conceptos matemáticos son más difíciles de asimilar que los métodos memorísticos de cálculo y van madurando en un proceso lento de varios años . Pero los profesores no debemos renunciar a explicar las ideas básicas que conforman los conceptos matemáticos importantes desde el primer momento en que los manejan nuestros alumnos.
Es mucho más fácil explicar el cálculo de un límite que el de razonar sobre su significado, pero no nos debemos limitar al simple cálculo y tenemos que esforzarnos para que nuestros alumnos desde el principio asimilen las ideas principales de este concepto, aunque en los primeros momentos les resulte difícil. Sin este esfuerzo, realizado a lo largo de varias etapas de maduración, nuestros alumnos no asimilarán la idea de límite, y no les habrá servido de nada su estudio durante tantos años.
Veamos con tres ejemplos sencillos el alcance y la estrategia del límite.
a) Trabajo de un motor

Para empezar, consideremos un recipiente cilíndrico de altura h y radio de la base R. Queremos extraer con un motor el agua que lo llena. ¿Qué trabajo realiza este motor para vaciar el recipiente?

Sabemos que el trabajo es el producto de una fuerza por un desplazamiento. En este caso, la fuerza es el peso del agua, y el desplazamiento es la altura que tiene que subir el agua hasta el nivel superior del recipiente, antes de sacarla de éste.
Pero aquí surge el problema : esta altura es diferente para cada capa de agua. El agua que está en el fondo hay que elevarla una altura mayor que la que se encuentra en la mitad del recipiente. El desplazamiento de cada capa de agua es diferente, varía según la altura de dicha capa dentro del recipiente.
Si consideramos el recipiente descompuesto en 8 capas y suponemos que la altura del agua en cada capa es igual (lo cual evidentemente no es cierto), al sumar el trabajo de elevar estas 8 capas no obtenemos el valor exacto, pero sí una aproximación a este trabajo.
Como la densidad del agua es 1000 kg/m3 , el peso de la capa superior es . Suponiendo que toda esta capa se eleva h/8, el trabajo efectuado por el motor es 
Del mismo modo , el trabajo del motor para elevar la segunda capa es 
Así , el trabajo total del motor para elevar las 8 capas es : 
¿Cómo podemos mejorar este cálculo para aproximarnos más al valor exacto del trabajo?
Si en vez de 8 capas, consideramos 16 de igual altura, el error de considerar que todo el agua de una misma lámina está a la misma altura es evidentemente menor que antes. Este trabajo es .
Si sucesivamente vamos considerando 32 capas, 64,..... obtenemos una sucesión de valores, en la que cada término se aproxima más al valor buscado.
Si dividimos el recipiente en n capas de igual altura, el trabajo es 
= 
Si n aumenta , el cociente 1/n disminuye hasta casi anularse , lo mismo que la altura h/n de cada lámina . De este modo , el error que hemos cometido al considerar que todo el agua de cada lámina se encontraba a la misma altura, se puede hacer tan pequeño como queramos siempre que el espesor de cada capa sea suficientemente pequeño. El trabajo realizado por el motor es la tendencia ( el límite ) de la expresión anterior al aumentar n indefinidamente. Su valor exacto es kilográmetros, si R y h están expresados en ms.
Reflexionemos sobre este proceso que hemos seguido. Se trata de un razonamiento teórico en el que hemos sustituido el movimiento continuo de extracción del agua por el discreto de considerar el agua compuesta por capas . Evidentemente este proceso no refleja la exactitud del proceso físico que se sigue en la realidad. Pero hemos conseguido una sucesión de aproximaciones en la que cada término se ajusta más al proceso real, de modo que en el límite esta aproximación se acerca al valor buscado tanto como se quiera.
El método del límite consiste , por tanto, fundamentalmente en que para determinar el valor de una magnitud, se sigue un proceso en el que se van calculando aproximaciones al valor buscado. En este proceso se debe asegurar que cada aproximación debe mejorar la aproximación anterior.
Del estudio de este proceso, se observa la tendencia de sus aproximaciones sucesivas y se calcula el valor al que tienden éstas. Pero para asegurarnos que éste es el valor buscado, debemos garantizar que la diferencia entre éste y las sucesivas aproximaciones se puede hacer tan pequeña como se quiera.
Por tanto, la estrategia del límite incluye tres pasos:
1) Se construye un proceso de aproximaciones al valor buscado.
2) Se calcula el valor al que tienden estas aproximaciones.
3) Se garantiza que las aproximaciones se acercan al valor anterior tanto como se quiera.

Veamos ahora cómo este método permite definir de un modo natural el número e. La mayoría de los libros de texto inician el estudio de este número sacándose de la chistera la sucesión que le origina, para terminar expresando que e es la base de los logaritmos naturales ( pues si no llega a ser natural...).

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