miércoles, 21 de enero de 2015

Historia del método del límite

¿cuándo surge por primera vez el método del límite? ¿ qué problemas trataba de resolver?
Como la mayoría de los conceptos y métodos matemáticos ( así como las principales cuestiones filosóficas y de interés vital que se ha planteado la humanidad), nos debemos remontar a los griegos de la antigüedad.
En el siglo V a.c. se atribuye al sofista Antifonte el primer intento por calcular la cuadratura del círculo. Éste inscribe un cuadrado en el círculo.

En cada segmento circular formado, inscribe un triángulo isósceles, y va repitiendo este proceso sucesivamente de modo que “en algún momento se agotaría el círculo, inscribiendo de ese modo un polígono cuyos lados, por su pequeñez, coincidirán con la circunferencia. Y dado que podemos cuadrar cualquier polígono, estaríamos en disposición de construir un cuadrado igual al círculo”.
Este primer intento de cuadratura adolece de falta de rigor, pero Antifonte ya considera una sucesión de polígonos inscritos que tienden a agotar el círculo. Sin embargo, no ofrece ningún criterio riguroso para razonar por qué se va a agotar el círculo en este proceso.
Un siglo más tarde Eudoxo retoma esta cuestión y , en su línea habitual de trabajo serio y profundo, aporta el rigor suficiente para responder a este interrogante y fundamentar un método que posteriormente en el siglo XVII será denominado de exhausción. Eudoxo se basa en el siguiente lema:
“Si se ponen dos magnitudes desiguales y de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad, y de la restante se quita una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada”
Eudoxo tiene por primera vez la genialidad de evaluar con un criterio claro y nítido cuándo una magnitud tiende a anularse : cuando en el proceso llega a valer menos que cualquier otra magnitud dada.
Si partimos de una magnitud M , y la sometemos a un proceso como el anterior de eliminar sucesivamente una parte mayor que su mitad , ¿ llegará a valer menos que una cantidad cualquiera C?
Después del primer paso, M se habrá convertido en M-rM = M*(1-r),      (1/2)Después del segundo paso, se habrá convertido en M*(1-r) – M*(1-r)*r = M*(1-r)^2
...............
Después del paso n-ésimo , se habrá convertido en M* (1-r)^n

¿ Para algún valor de n, conseguiremos que M*(1-r)^n < C ?
Tomando logaritmos neperianos en esta expresión y despejando n, obtenemos que n > (lnC-lnN)/ln(1-r).
Luego basta con aplicar un número de pasos n, superior a este cociente , para asegurarnos que M se ha convertido en un valor inferior a C.

En este razonamiento realizado con terminología actual se observa que no es necesario que eliminemos en cada paso más de la mitad de la magnitud, como indica Eudoxo. No es necesario que r>(1/2). Basta simplemente que 0
Con este criterio de Eudoxo sí se puede garantizar que los polígonos mencionados de Antifonte agotan todo el círculo, pues , como se ve fácilmente en la figura, el área del triángulo quitado en cada segmento circular es mayor que la mitad del área de éste.
En efecto, consideremos un rectángulo, trazando la tangente por el punto medio del segmento. El área del triángulo es la mitad del rectángulo; pero este rectángulo tiene mayor área que el segmento. Luego, el área del triángulo es mayor que la mitad del segmento circular.
 

Aunque la exigencia de Eudoxo de eliminar en cada paso más de la mitad no sea necesaria, su razonamiento es impecable y genial. Descubre un criterio para demostrar cuándo una sucesión de polígonos tendrá como límite una figura ( “agotará esa figura”).

Arquímedes utiliza este método establecido por Eudoxo para cuadrar un segmento de parábola. Aporta otra novedad: además de inscribir polígonos , circunscribe otra sucesión de polígonos; de este modo, consigue que la diferencia entre los polígonos circunscritos e inscritos sea menor que cualquier número dado. El método de “exhausción” se ha transformado en el método de “ compresión” ; la figura queda comprimida entre ambas sucesiones de polígonos.
Aunque los griegos nunca utilizaron la palabra límite, hemos visto cómo Eudoxo y Arquímedes conocieron y usaron las ideas principales que configuran este método. Sin embargo no disponían de un simbolismo adecuado algebraico que facilitara su definición y, por otra parte, su planteamiento se limitaba sólo a figuras geométricas.
Hubo de esperar muchos siglos para que estas ideas fecundas de los griegos fructificaran. En el siglo XVI I, con motivo del estudio del movimiento iniciado antes por Galileo, algunos matemáticos insignes como Fermat, Descartes, Newton y Leibniz empezaron a vislumbrar las posibilidades del método de los límites.
Posteriormente en el siglo XVIII Euler consiguió relacionar todas las ideas y métodos de sus predecesores y englobarlos en una teoría más general que desde entonces se llama análisis infinitesimal, análisis de los procesos infinitos. Por último Cauchy definió por fin el concepto de límite tal y como actualmente se estudia en cualquier centro de enseñanza.

TOMADO DE:http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nanagonza/limite.htm

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