LOGARITMOS

Definición, propiedades, representación gráfica.

En la expresión a^b =c "a" es la base y "b" es el exponente.

    En la expresión log_a c= b, "a" se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a>0, b>0 y a ¹1.     

     La base de la potencia ha pasado a ser la base del logaritmo, y el exponente el resultado del logaritmo; el argumento era el resultado de la potenciación, parece complicado, pero con un ejemplo es más fácil de ver.

2^x= 32

esto es algo incómodo de calcular, así que se recurre a los logaritmos

 log₂32=x

En otras palabras, el resultado del logaritmo en base x de un número es el exponente al que hay que elevar la base x para obtener el número.

Cualquier número real positivo se puede expresar con logaritmos.

log₁₀5=0.6 , porque 10^0.6=5

Un número negativo no puede ser el resultado de una potencia.

Propiedades:

Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente. Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 , son los más comunes para operar, y se representan como log x=y

Logaritmos neperianos

Después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:

 

Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log _e x 

Cambios de base de logaritmos

Para intercambiar logaritmos en base 10 con logaritmos neperianos podemos aplicar esta fórmula:

ln x = log x / log e

En general para intercambiar bases podemos utilizar esta fórmula:

Función logarítmica:

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

• Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
• Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
• Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

EJERCICIOS:

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5 

TOMADO DE:http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html  

http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/logaritmos/def.html

Destacó John Napier por sus aportes a las matemáticas aplicadas

• Si cuatro números forman una proporción geométrica, sus logaritmos constituyen una progresión aritmética
Actualmente existe una unidad de medida matemática relativa al área de las telecomunicaciones que mantiene vivo su apellido: el ''neper o neperio''
El teólogo y matemático escocés John Napier, quien murió el 4 de abril de 1617, es recordado por sus aportes al desarrollo de los logaritmos, método matemático ideado para simplificar el cálculo numérico utilizado en las matemáticas aplicadas. 
 
Actualmente existe una unidad de medida matemática relativa al área de las telecomunicaciones que mantiene vivo su apellido: el "neper o neperio".
 
De acuerdo con la página www.johnnapier.com, Napier nació en 1550 y pasó toda su vida buscando el conocimiento; quienes lo conocían admiraban su sabiduría y era respetado por los científicos y matemáticos de la época.
 
A él también se deben las "Napier Rechenstäbchen" (barras de Napier), otro importante aporte al mundo de las matemáticas, que además de en la multiplicación, también se utilizaron en la toma de raíces cuadradas y cúbicas.
 
Según  sus  biógrafos, Napier nació en el castillo de Merchiston, Edimburgo, Escocia. Con tan sólo 13 años de edad ingresó a las universidades de Saint-Andrews y luego a la de París. También vivió en Italia y Holanda.
 
De regreso a Escocia, en 1581, dedicó su vida al estudio, la administración de su patrimonio y a desempeñarse en  diversos cargos públicos, entre ellos, participar en delegaciones protestantes enviadas por el rey en busca de apoyo en la lucha contra los católicos.
 
Además de sus aportes a las matemáticas, Napier proyectó máquinas de guerra con vistas a la defensa de la isla británica contra Felipe II de España y sostuvo las propiedades fertilizantes de las sales.
 
Su descubrimiento de los logaritmos fue publicado en 1614 con el tratado "Mirifici logarithmorum canonis descriptio", fruto de un estudio de dos décadas.
 
La página biografiasyvidas.com explica que el teorema fundamental de la teoría de Napier demuestra que a todo número corresponde un logaritmo; sin embargo, el matemático escocés no sólo no lo demostró, sino que ni siquiera enunció ese "teorema de existencia".
 
Llegó por otros caminos a sus propias conclusiones basándose en la comparación entre dos progresiones, geométrica una y aritmética otra, estableciendo el teorema fundamental de la propia teoría y demostrando que si cuatro números forman una proporción geométrica, sus logaritmos constituyen una progresión aritmética.
 
Las aportaciones de Napier fueron acogidas con entusiasmo por Edward Wright, matemático y cartógrafo, y por Henry Briggs, profesor entonces en Londres y más tarde en Oxford; ambos, habiendo visitado a Napier en 1615, le propusieron la creación de los logaritmos de base 10, y el mismo Napier los calculó para los primeros mil números, publicándolos en 1617.
 
En el área de la trigonometría por haber encontrado importantes relaciones entre los elementos  de los triángulos planos (teorema de Napier) y entre los de los triángulos esféricos (analogías de Napier).
TOMADO DE:
http://www.informador.com.mx/cultura/2012/367595/6/destaco-john-napier-por-sus-aportes-a-las-matematicas-aplicadas.htm