CHISTE N° 12

TOMADO DE:http://nobi2006.galeon.com/aficiones2431842.html

Juego y matemática en la enseñanza: el truco de las 21 cartas a través de permutaciones

Roy Quintero

Universidad de Los Andes NURR Trujillo - Venezuela rquinter@cantv.net

Resumen

En este artículo presentamos un estudio matemático del clásico y conocido juego de cartas llamado “Truco de las 21 cartas”. Mediante la teoría básica de permutaciones se explica por qué el truco es infalible y funciona por sí mismo. Al mismo tiempo fundamentamos, dentro del campo de la educación matemática, el objeto y alcance de este trabajo, tomando en cuenta algunas opiniones del famoso matemático español Miguel de Guzmán (1936-2004).

Palabras clave: permutaciones, matemáticas recreativas, juegos, educación matemática, herramientas tecnológicas (Mathematica®)

Games and math in teaching: the 21 card trick through permutations

Abstract

In this article we present a mathematical study of the classic and well-known card name “21-card trick. ” Using the basic theory of permutations, we explain why the trick is infallible and works on its own. At the same time, we state, within the field of math teaching, the object and scope of this work, taking into account some opinions from the famous Spanish mathematician Miguel de Guzmán (1936-2004).

Key words: Permutations, recreational math, games, math teaching, technological tools (Mathematica®)

Fecha de recepción: 07-02-05  Fecha de aceptación: 18-08-05

El juego y la matemática parecieran estar cada día más identificados. Sin querer ahondar mucho en este tema, y estimulados grandemente por el excelente artículo del famoso matemático español Miguel de Guzmán (Guzmán, 1984), intitulado “Juegos Matemáticos en la Enseñanza”, queremos expresar con sus palabras algunos puntos que estimamos relevantes mencionar y que ciertamente ayudarán a explicar el objeto y alcance de este trabajo. Primero que todo, Guzmán (1984), nos dice: “El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maña físicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático’’.

De alguna manera, esto se puede interpretar como una verdadera motivación para estudiar y explicar mediante recursos formales de la matemática ciertos juegos. En particular, nos proponemos hacerlo así, con el bien conocido “Truco de las 21 Cartas”. Referido también como “Truco Mágico de Gergonne” (Bomogolny, 2005; Gardner, 1956).

Asimismo, desde sus orígenes, la matemática misma nos provee de muchos ejemplos de corte lúdico. En esta dirección, Guzmán (1984) nos recuerda: “La historia antigua no ha sido inclinada a preservar sino los elementos solemnes de la actividad científica, pero uno no puede menos de sospechar que muchas de las profundas cavilaciones de los pitagóricos, por ejemplo alrededor de los números, tuvieron lugar jugando con configuraciones diferentes que formaban con las piedras. El llamado problema bovino de Arquímedes, álgebra hecha con procedimientos rudimentarios, tiene un cierto sabor lúdico, así como otras muchas de sus creaciones matemáticas originales. Euclides fue, al parecer, no sólo el primer gran pedagogo que supo utilizar, en una obra perdida llamada Pseudaria (Libro de Engaños), el gran valor didáctico en matemática de la sorpresa producida por la falacia y la aporía’’.

Ciertamente, en su artículo Guzmán (1984) presenta y comenta con mucha claridad ejemplos notables estudiados por las figuras más trascendentes de otras épocas menos remotas, entre otras cita a: Fibonacci, Cardano, Tartaglia, Pascal, Fermat, Euler, Leibniz, Gauss, Hamilton, Hilbert, von Neumann y Einstein.

Además de lo dicho, no olvidemos que la matemática en sí puede entenderse como un gran portafolio de juegos de distintos niveles y exigencias. Fortaleciendo un poco esto, Guzmán (1984) nos expresa: “Por una parte son muchos los juegos con un contenido matemático profundo y sugerente y por otra parte una gran porción de la matemática de todos los tiempos tiene un sabor lúdico que la asimila extraordinariamente al juego’’.

Pero también nos aclara, con mucha precisión, cordura y sobre todo para evitar malentendidos, algunas distinciones: “La matemática es, en gran parte juego, y el juego puede en muchas ocasiones, analizarse mediante instrumentos matemáticos. Pero, por supuesto, existen diferencias substanciales entre la práctica del juego y la de la matemática. Generalmente las reglas del juego no requieren introducciones largas, complicadas, ni tediosas. En el juego se busca la diversión y la posibilidad de entrar en acción rápidamente. Muchos problemas matemáticos, incluso algunos muy profundos permiten también una introducción sencilla y una posibilidad de acción con instrumentos bien ingenuos, pero la matemática no es sólo diversión, sino ciencia e instrumento de exploración de su realidad propia mental y externa y así ha de plantearse, no las preguntas que quiere, sino las que su realidad le plantea de modo natural. Por eso muchas de sus cuestiones espontáneas le estimulan a crear instrumentos sutiles cuya adquisición no es tarea liviana’’.

Como veremos enseguida, el truco de las 21 cartas, de forma natural, resulta asequible a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos. En este caso, su contenido matemático consiste en el reordenamiento de las cartas, como lo manifiestan sus reglas, así que las permutaciones aparecen casi espontáneamente. Con esta aproximación en mente procedemos a desarrollar un estudio matemático de este juego de cartas; siendo éste el objetivo principal de este trabajo, que nos permita formalmente descubrir los principios que lo rigen todo ello explicado por medio de la teoría básica de permutaciones.

También debemos aclarar que este no es el único enfoque posible, ni necesariamente el más adecuado, en (Bomogolny, 2005; Budd, 2002; Gardner, 1956 y Rouse, 1987) se encuentran otras maneras de abordar el truco de las 21 cartas.

Para finalizar esta introducción, queremos hacer resaltar otro aspecto importante de los juegos, simplemente, su utilización en la enseñanza. Veamos lo que nos dice Guzmán (1984) al respecto: “Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. `El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. Para lo que se pretende, es una miserable pérdida de tiempo’.

A mi parecer, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente’’.

Nuevamente, reflexiona sobre algunas limitaciones al respecto cuando manifiesta: “Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemáticas se prestan igualmente para el aprovechamiento didáctico. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución da la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método’’.

Seguidamente, como para reforzar su posición y por sobre todo aclarar sobre el más fiel y fundamental objetivo que debe lograr quien enseña matemática, nos expresa: “Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de esos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos’’.

Finalmente, para sensibilizarnos y seguramente para que reflexionemos sobre este aspecto nos dice: “Nuestros científicos y nuestros enseñantes se han tomado demasiado en serio su ciencia y su enseñanza y han considerado ligero y casquivano cualquier intento de mezclar placer con deber. Sería deseable que nuestros profesores, con una visión más abierta y más responsable aprendieran a aprovechar los estímulos y motivaciones que este espíritu de juego puede ser capaz de infundir en sus estudiantes’’.

1. Truco de las 21 cartas

Este truco de cartas clásico emplea 21 cartas cualesquiera de una baraja y algunos reacomodos de las mismas siguiendo ciertas reglas especiales. El objetivo del truco es descubrir o adivinar la carta que usted ha escogido previamente. Después de tres redistribuciones repetidas, su carta siempre termina como la undécima. Básicamente, el truco puede expresarse como sigue:

Por favor tome 21 cartas de una baraja y escoja una cualquiera sin revelarla. Memorícela, luego baraje las cartas tanto como usted quiera y devuélvame la baraja. Mientras reparto las cartas boca arriba una por una y las amontono en tres pilas hasta la última carta, observe cuidadosamente y dígame en cuál pila cayó su carta una vez finalizada la repartición.

Seguidamente, recolecto las tres pilas y las junto colocando la pila indicada por usted en el medio de las otras dos, manteniendo las tres pilas boca arriba. Aquí tengo dos opciones: o coloco una pila encima y la otra debajo, o viceversa. Sin barajar, repito el procedimiento descrito de repartición y recolección.

Finalmente, sin barajar, nuevamente repito el procedimiento indicado una vez más. Después, reparto las primeras diez cartas boca abajo y la undécima boca arriba. Esta será su carta secreta.

Veamos un ejemplo para clarificar el proceso indicado. En efecto, asumamos que cada carta está boca arriba y etiquetada 1,2,…,20 y 21 de acuerdo a su posición; contando desde el tope de la baraja hasta el fondo (Figura 1), y supongamos que su carta secreta es la número 17 (la misma se ha distinguido con color gris, con el fin de localizar la carta más fácilmente). Entonces, reparto las cartas en las Pila 1, Pila 2 y Pila 3 (Figura 2). Observemos que la carta 17 cae en la Pila 2 (Figura 2). Inmediatamente, recolecto las pilas colocando la Pila 2 sobre la Pila 1 y la Pila 3 sobre la Pila 2 (Figura 3, flechas continuas). La otra opción es colocar la Pila 2 sobre la Pila 3 y la Pila 1 sobre la Pila 2 (Figura 3, flechas punteadas). Después de esto, la baraja queda reorganizada con la carta 21 en el tope, luego la carta 18,..., la carta 4 hasta la carta 1 (Figura 4). Observemos que la carta secreta pasó a ocupar la novena posición de la baraja.

Repito el procedimiento, en esta ocasión la carta secreta cae en la Pila 3 (Figura 4). El siguiente paso consiste en colocar la Pila 3 sobre la Pila 1 y la Pila 2 sobre la Pila 3 (Figura 5, flechas continuas). Con flechas punteadas se indica la otra alternativa. Esta vez, la nueva ordenación de las cartas es 4,13,…,12 y 21 con la carta 17 en la duodécima posición (Figura 6).

Finalmente, reparto las cartas por tercera vez, otra vez la carta secreta cae en la Pila 3 (Figura 6). Entonces, coloco la Pila 3 sobre la Pila 1 y la Pila 2 sobre la Pila 3 (Figura 7, flechas continuas). La otra posibilidad es indicada con flechas punteadas. Observe que la carta 17 ha sido movida a la undécima (11ma) posición (Figura 8) y ciertamente he descubierto su carta.

Basado en este ejemplo, podríamos decir que el procedimiento mostrado reorganizó las cartas de tal forma que pude encontrar la carta escogida sin mucha complicación. Aparentemente, el truco funciona por sí mismo. Funciona por los reacomodos de las cartas, pero, ¿será infalible? Si es así, ¿por qué el truco siempre funciona? Antes de responder, revisaremos algunos términos y notación básicos sobre permutaciones que serán necesarios en lo sucesivo.

2. Terminología y notación sobre permutaciones

Comenzamos esta sección con el concepto de permutación (Rivero, 1996). Dado un conjunto no vacío X, una permutación de X es simplemente un reordenamiento de sus elementos. Más precisamente:

Definición 1. Una permutación del conjunto X es cualquier aplicación biyectivade á X a si mismo.

Una aplicación biyectiva es una función inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (sobre) (Rivero, 1996). Estamos particularmente interesados en permutaciones de conjuntos finitos, especialmente el conjunto {1,2,…,n} (n entero mayor que 1). Una manera conveniente de representar la permutación á es como sigue: Listamos los números 1,2,…,n en una fila y en otra fila debajo de la primera escribimos las correspondientes imágenes a través de a . Por ejemplo, la permutación a de X = {1,2,3,4} con a(1 )=3, a(2)=1, a(3)=4 y a(4)=2 la representamos así:

S_n denota el conjunto de todas las permutaciones de {1,2,…,n}. Si a es el elemento de S₄ dado arriba y

entonces la composición a°b de las biyecciones a y b; la cual es otra biyección, es

En otras palabras, también pertenece a S₄. En general, la composición de dos permutaciones de X es una permutación de los elementos de X. Notemos que

Esto nos dice que el orden de composición importa.

 De ahora en adelante, por simplicidad, escribiremos la composición de dos permutaciones a y b cualesquiera  como: ab (i.e., como un producto). En símbolos, ab :=^a°b  Así pues, para encontrar ab (i), primero se aplica b a i y entonces se aplica a b(i). Esto significa que los productos se leen de derecha a izquierda.

En la siguiente sección, convertimos el truco de las 21 cartas en un problema matemático en términos de permutaciones pertenecientes a S₂₁.

3. Formulación del problema

Si observamos el ejemplo del truco mágico de Gergonne dado, no es difícil darse cuenta que detrás de cualquiera de los reacomodos obtenidos, después de ejecutar cualquiera de los tres pasos de repartición-recolección, está realmente una permutación de S₂₁. ¿Cómo podemos obtenerlas todas? Veamos que, las figuras mostradas tienen la clave para encontrarlas. De hecho, de la Figura 4 se sigue que el orden actual de las cartas es (antes de la segunda repartición): 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 19, 16, 13, 10, 7, 4 y 1 (1). Esto quiere decir que: la carta 1 se movió al 21er lugar, y las cartas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 y 21 se movieron a las posiciones 14ta, 7ma, 20ma, 13era, 6ta, 19na, 12ma, 5ta, 18va, 11ma, 4ta, 17ma, 10ma, 3era, 16ta, 9na, 2da, 15ta, 8va y 1era, respectivamente. Lo cual puede ser claramente expresado mediante la permutación básica a2, perteneciente a S₂₁, mostrada en la Figura 9.

Mantengamos en mente esta nueva distribución de las cartas surgida de colocar la Pila 2 sobre la Pila 1 y la Pila 3 sobre la Pila 2 (Figura 3, flechas continuas). Si en lugar de ésta escogemos la otra opción (flechas punteadas) el resultado sería: 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 21, 18, 15, 12, 9, 6 y 3, y su correspondiente permutación básica b2 (Figura 9).

Ahora observemos que si la carta secreta no fuera la carta 17, ésta podría haber caído o en la Pila 1 o en la Pila 3 (e. g., si la carta secreta fuera, o la carta 1 o la carta 3). Esto nos dice que si consideramos estas posibilidades, cada una genera dos redistribuciones de las cartas y dos permutaciones.

En el primer caso, las opciones son: o colocar la Pila 1 sobre la Pila 2 y la Pila 3 sobre la Pila 1, o colocar la Pila 1 sobre la Pila 3 y la Pila 2 sobre la Pila 1, originando las siguientes distribuciones de las cartas y permutaciones básicas respectivamente: 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 20, 17, 14, 11, 8, 5 y 2; y 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 21, 18, 15, 12, 9, 6 y 3; y a₁ y b₁ (Figura 9).

En el segundo caso, las opciones son: o colocar la Pila 3 sobre la Pila 1 y la Pila 2 sobre la Pila 3, o colocar la Pila 3 sobre la Pila 2 y la Pila 1 sobre la Pila 3. Esta vez los reacomodos de las cartas y las permutaciones básicas son respectivamente: 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 19, 16, 13, 10, 7, 4 y 1; y 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 20, 17, 14, 11, 8, 5 y 2; y a₃ y b₃ (Figura 9).

Siguiendo con el ejemplo original y previo a la tercera repartición (Figura 6), las cartas están ordenadas como sigue: 4, 13, 2, 11, 20, 9, 18, 1, 10, 19, 8, 17, 6, 15, 7, 16, 5, 14, 3, 12 y 21 (2); lo cual es equivalente a la permutación intermedia m (Figura 10).  Pero, si observamos cuidadosamente la Figura 5, podemos con.rmar que mfue obtenida después de repartir las cartas la segunda vez, al colocar la Pila 3 sobre la Pila 1 y la Pila 2 sobre la Pila 3, lo cual es equivalente a aplicar la permutación a₃ a la baraja ordenada de acuerdo a la lista (1).

En símbolos, m-a₃ a₂ (3). Finalmente, antes de repartir las primeras once cartas (Figura 8), el orden de las cartas es: 12, 5, 15, 8, 1, 20, 13, 21, 14, 7, 17, 10, 9, 2, 3, 16, 6, 19, 18, 11 y 4 (4), el cual es equivalente a la permutación n (Figura 10). Pero, observando la Figura 7, podemos con.rmar que n se obtuvo después de la tercera repartición, colocando la Pila 3 sobre la Pila 1 y la Pila 2 sobre la Pila 3, produciendo el mismo efecto que aplicar la permutación  a3 a la lista (2) (baraja). Combinando esto con la ecuación (3) obtenemos que,n=a₃m=a₃ ²a₂(5). Indudablemente, la lista (4) nos muestra que la carta 17 ocupa la undécima posición; es decir, la carta secreta ha sido descubierta. La ecuación (5) expresa lo mismo, pero en lenguaje matemático,

Así pues, lo conseguido hasta este punto es una traducción del ejemplo dado al lenguaje de las permutaciones. Naturalmente surgen unas preguntas: ¿Qué pasa si en lugar de usar (a₂,a₃,a₃) tomamos el trío (b₂,a₃,b₃)?, ¿és posible hacer lo mismo para las veinte cartas restantes? Para responder estas preguntas debemos encontrar una forma que incluya todos los casos posibles; es decir, todas las posibles cartas y sus correspondientes localizaciones en las pilas.

Afirmamos sin temor a duda, que la principal clave en todo este proceso yace en la exacta determinación del posicionamiento de las cartas en las pilas. Esto será probado matemáticamente en la siguiente sección.

4. Solución del problema

Empezamos esta sección con un teorema que determina las tres pilas asociadas a cada carta una vez que eltruco es ejecutado.

Teorema 1. Sea k perteneciente al conjunto {1,2,…,21} escogida como la carta secreta. Entonces, existe una única terna ordenada de números (P_k,3, P_k,2, P_k1), donde cada P_k,i es el número de la pila donde la carta secretacae una vez que el procedimiento de repartición-recolección del "truco de las 21 cartas" es realizado i veces (i=1,2,3). Además, una vez completado el truco, k pasa a ocupar la undécima posición y satisface la ecuación:

Demostración: Dado k, existen enteros únicos q₁θ{0,1,2,3,4,5,6} y r₁θ{0,1,2,3} tales que,k=3q₁+r₁(7).Observemos que q₁+1 indica la posición de la carta k contando desde el fondo de la pila y r₁ la pila donde la cartak cae después de repartir la baraja la primera vez. Entonces, una vez que la Pila r₁ es colocada en el medio de las otras dos pilas; sin tomar en cuenta cual de las dos opciones es aplicada, la carta k pasa a ocupar la posiciónnúmero 14-q₁ la cual puede tomar sólo valores en el conjunto {8,9,10,11,12,13,14}. Repitiendo el mismoesquema, el número 14-q₁ puede ser expresado en una única forma como, 14-q₁=3q₂+r₂(8), donde q₂θ{2,3,4}y r₂θ{1,2,3}. Como antes, q₂+1 indica la posición, desde el fondo, que ocupa la carta k en la pila y r₂ la pila al repartir las cartas la segunda vez. Al colocar la Pila r₂ entre las otras dos, la carta k se mueve a la posición 14-q₂, tomando valores en el conjunto {10,11,12}. Aplicando por tercera vez el mismo procedimiento, obtenemos 14- q₂=3q₃+r₃ (9), donde q₃=3 y r₃θ{1,2,3}. Esta vez la carta k ocupa la cuarta (q₃+1=4) posición y r₃ la pila donde la carta cae al repartir la tercera vez. Otra vez, al colocar la Pila r₃ entre las otras; sin importar la opción escogida, la carta k finalmente toma la posición número 14-q₃= 14-3=11. Adicionalmente, las ecuaciones (7), (8) y (9) implican que, k=9r₃-3r₂+r₁-3. Para finalizar la prueba, denotamos r₁,r₂ y r₃ por P_k,1, P_k,2 y P_k,3respectivamente. 

Observación 1. Primero que todo, el Teorema 1 confirma que el truco es infalible y más aún, que funciona por sí mismo. La ecuación (6) expresa que cualquier carta secreta k puede escribirse en términos de su correspondiente(única) terna ordenada (P_k,3, P_k,2, P_k,1). El Cuadro 1 muestra todas las posibles ternas.

Para terminar exitosamente este artículo, debemos verificar mediante permutaciones que en todos los casos;cuando el truco es realizado, la carta secreta siempre es movida al undécimo lugar, no importando que carta es escogida y que tipo de permutación es utilizada (i. e., o el tipo ái o el tipo âi (i=1,2,3). El próximo paso es considerar todas las opciones para cada k y chequearlas todas. Para facilitar la segunda parte se sugiere la herramienta tecnológica (paquete de Mathematica®) "Groups.m", proveída con el excelente libro de Scherk (2000) y disponible gratuitamente en http://www.crcpress.com.

Recordemos, que cada vez que se reparten las cartas, hay dos posibilidades de reunir las tres pilas, siendo estasdos opciones dependientes del número de la pila donde la carta secreta cae. Por tanto, hay ocho permutaciones para cada carta. Por ejemplo, si la carta secreta es la carta 1, según el Cuadro 1 la terna correspondiente es (P_k,3,P_k,2,P_k,1 )=(1,2,1), así que tenemos sólo para aplicar cualquiera de las siguientes permutaciones finales:

Calculando una por una (con Mathematica®) obtenemos los resultados mostrados en la Figura 11. Observemosque cada permutación envía 1 en 11 lo cual era lo esperado. Haciendo lo mismo con las restantes veinte cartas y las ocho formas de recolectar las pilas asociadas a cada carta, podemos concluir que en todos los casos (168) lacarta secreta efectivamente siempre pasa a ocupar la 11 ma posición (verifíquelo usted mismo, por favor). Así, mediante permutaciones en S₂₁, hemos podido explicar completamente porque el truco de las 21 cartas es infalible y funciona por sí mismo.

Observemos que efectivamente el truco ha sido tratado con rigurosidad matemática, cómo si el mismo fuese un auténtico problema matemático, corroborándose así buena parte de lo que comentamos en la introducción.

Estimamos que este enfoque es aplicable a otros trucos de cartas con reglas de juego similares a las consideradas en el “truco de las 21 cartas”.

5. Conclusiones

Analizando el estudio realizado concluimos globalmente lo siguiente:

• Desde el punto de vista de la enseñanza, la manera como el truco fue explicado permite introducir algunas nociones o conceptos matemáticos, así como su lenguaje, de forma más amena (por ser un juego) y significativa (por su aplicabilidad directa).

• Desde el punto de vista matemático, el proceso utilizado da muestras claras de la semejanza de actitudes, hábitos de pensamiento y formalismos posibles en la resolución de un juego y en la de un genuino problema matemático.

• Desde el punto de vista de las herramientas tecnológicas, el paquete sugerido para la verificación de las diversas variantes del truco, permite su comprobación rápida, precisa e inmediata eludiendo así largos y tediosos cálculos que seguramente obstruirían el entendimiento.

* Roy Quintero. Profesor Asociado, adscrito al Departamento de Física y Matemática del Núcleo Universitario “Rafael Rangel” de la Universidad de los Andes. Licenciado en Matemática. Magíster Scientiarum en Matemática. Ph.D. en Matemática.

TOMADO DE: http://www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1316-49102006000300005&lng=es&nrm=iso

La matemágica en el aula de clases

Cuando se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje-evaluación de la Matemática, tanto dentro como fuera del aula, se hace necesario tomar en cuenta una serie de aspectos conceptuales, procedimentales, contextuales, intelectuales, emocionales, actitudinales y actuacionales que tienen que ver con el sistema de creencias, las concepciones, los sentimientos, las acciones y otros factores del dominio afectivo ligados al éxito o al fracaso de los sujetos involucrados y comprometidos en este proceso. Ello obliga a la consideración de variados elementos que repercuten, por ejemplo, en las decisiones que se toman en el aula. Sin embargo, suele ser común que muchas de estas decisiones convergen en la elección de estrategias para saber cómo mejorar, reforzar o afianzar los aprendizajes de los contenidos matemáticos haciendo que ello represente una buena elección. Por fortuna, muchos autores tales como García de Clemente (1994), Martínez Padrón (1997; 1999; 2007), Groenwald (2003) y Groenwald y Martínez Padrón (2007) señalan que existen evidencias donde se indica que, con el uso de la técnica de los juegos didácticos, es posible lograr actitudes favorables hacia la Matemática, así como también establecer una situación motivante, atractiva y placentera capaz de permitir el logro de aprendizajes importantes, eficaces y significativos para el alumno (García de Clemente, 1994).

También señalan que los juegos didácticos brindan la posibilidad de convertir las tradicionales, rutinarias y, muchas veces, aburridas tareas de repetir operaciones matemáticas en actividades llenas de placer y diversión, por lo que no es necesario que los ejercicios que se hacen en clase sean monótonos. Ello puede cambiarse si se usan actividades lúdicas que den pie a una práctica abundante. Esta práctica suele fomentar actitudes positivas hacia la Matemática en función del contexto donde se desarrollen. Si además, se está interesado en que en estas actividades provoquen interés y causen un efecto sustentado en la sorpresa o en adivinanzas que llamen la atención del auditorio, planteando soluciones asombrosas que rompan argumentos, ofrezcan desafíos y mantengan la tensión de los participantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje-evaluación, entonces ésta se circunscribe al mundo de la Matemática, la cual no es más que un conjunto de actividades lúdicas contentivas de una secuencia de actuaciones, de carácter mágico, que permiten enseñar conocimientos matemáticos de manera dinámica y activa, valiéndose para ello de situaciones de carácter asombroso, sorprendente y maravilloso (Martínez Padrón, 2007).

En todo caso, las actividades se diseñaron con la intencionalidad de provocar el interés de los participantes y esto se obtiene causando un efecto sorpresa o adivinatorio que se plantea sobre la base de los resultados. Este efecto puede surgir de muchas maneras pero se acostumbra usarlo para confundir el sentido común, haciendo que resulte impactante y asombroso, de manera que cuando se quiere generar un alto grado de motivación y autoconfianza durante los encuentros con el mundo de la Matemágica es necesario que los mismos sean desafiantes y llenos de significación. Se puede decir, entonces, que la Matemágica siempre reside en la imaginación y en la voluntad de quien organiza la actividad de manera que si ésta se sustenta en recursos como los dados, entonces bastaría utilizar sus caracterizaciones debidas a su lanzamiento e, incluso, a su construcción, para generar situaciones creativas, impactantes e innovadoras en función de algunas operaciones matemáticas que se ligan con los resultados obtenidos en sus lanzamientos. De allí que la presentación sistematizada de la actividad debe permitir captar la atención del auditorio involucrado en la experiencia de aprendizaje.

En vista de que la Matemágica, presentada en formatos cargados de dinamismo, desafío, significación, interés, acción, ingenio y magia, tiene las mismas potencialidades de las actividades lúdicas, entonces constituye un espacio importante en el proceso enseñanza-aprendizaje-evaluación de la Matemática puesto que, al igual que los juegos, puede mejorar la atracción hacia la asignatura y provocar el interés y la motivación hacia la realización de actividades matemáticas. En consecuencia, debe ser tomada en cuenta para cuando se hace referencia al desarrollo cognitivo-afectivo y para cuando se quiere eliminar o disminuir el miedo y aversión que suele existir hacia la Matemática que aún continúa siendo una de las asignaturas más impopulares del currículo (Madail, 1998; Martínez 2007).

Lo anteriormente planteado obliga a considerar no sólo los contenidos matemáticos que se ponen en escena cuando se desarrollan actividades en el mundo de la Matemágica, sino otros referentes curriculares que se conjugan y deben ser acoplados para obtener resultados favorables en las experiencias de aprendizaje que se llevan a cabo. Tales referentes están conformados por las competencias y los ejes transversales abordables en esas actividades. En este caso, se constituyen desde las pautas establecidas en el Currículo Básico Nacional (Ministerio de Educación, 1997; 1998) que actualmente está vigente en Venezuela donde se concibe que:

1. Los Contenidos: constituyen las metas iniciales que deben alcanzar los estudiantes para luego adquirir las competencias. Tales contenidos deben ser logrados por los estudiantes durante el proceso de instrucción y son tipificados, a su vez, en: (a) Conceptuales: comprenden la dimensión del conocer y constituyen la información teórica, conceptos, nombres, características, etc.; (b) Procedimentales: comprenden la dimensión de hacer y consisten en la realización de procedimientos y aplicación de técnicas específicas para la consecución de metas; y (c) Actitudinales: comprenden la dimensión del ser y tiene que ver conlas actitudes que asume y manifiesta el estudiante.

2. Las Competencias: constituyen el principal elemento directriz de los Proyectos Pedagógicos y son las que marcan la meta o pauta central del proceso de instrucción. En este caso, resumen los conocimientos, saberes, habilidades, destrezas, aptitudes, actitudes, hábitos y otras características necesarias para obtener un alto rendimiento escolar y un buen desempeño tanto dentro como fuera del aula de clases.

3. La Transversalidad: vista como un sistema de relaciones que sirve de vínculo entre el contexto sociocultural y el escolar. Viene a ser un recurso didáctico capaz de ayudar la materialización de la integración o la interrelación entre las diferentes áreas del currículo. Como tal, es considerada como fundamento para la práctica pedagógica al integrar las dimensiones del ser, el saber y el hacer sobre la base de los contenidos actitudinales, conceptuales y procedimentales mencionados anteriormente.

4. Los Ejes Transversales: son los generados por la transversalidad y constituyen esos elementos formativos tales como los valores, el lenguaje, el ambiente, el desarrollo del pensamiento y el trabajo que, sin ser considerados como contenidos de aprendizaje, pueden favorecer, complementar, enriquecer y formar parte del proceso educativo.

Los detalles referidos a contenidos y competencias se mostrarán cuando se presenten algunas curiosidades matemáticas particulares mientras que las generalidades que tienen que ver con los ejes transversales abordables con cada actividad Matemágica son presentados a continuación.

El eje transversal Lenguaje: las actividades lúdicas organizadas desde el mundo de la Matemágica brindan la oportunidad de dialogar, discernir, reflexionar, cuestionar y valorar procesos debidos a la resolución de conflictos y a la búsqueda de soluciones que están presentes. Por su naturaleza, con la Matemágica se atienden variedades de usos verbales y no verbales que utilizan los jugadores en situaciones concretas de comunicación cuando, por ejemplo, ellos intercambian ideas, expresan puntos de vista y curiosidad acerca del porqué de las cosas y de la obtención de determinados resultados. Si, además, la información involucra el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), medio por donde suelen seleccionarse abundantes curiosidades matemáticas, el docente puede propiciar interacciones comunicacionales que inviten al estudiante a reflexionar y asumir actitudes críticas ante la información brindada por este tipo de medios. En todo caso, estas actividades son propicias para atender a la formación de sujetos capaces de comprender el intercambio comunicativo fundamentado en valores esenciales, a saber: la tolerancia, la argumentación, la claridad en la expresión de mensajes coherentemente organizados, la adecuación del lenguaje al contexto de uso (Ministerio de Educación, 1997; 1998) y, sobre todo, en la afectividad que contiene factores esenciales que permiten materializar el éxito de los estudiantes en el aula de clases de Matemática (Martínez Padrón, 2007).

El Desarrollo del Pensamiento: con estas actividades se prevé contribuir con el desarrollo de habilidades cognitivas y actitudes que propicien el uso adecuado de la información para tomar decisiones e interactuar efectivamente en el medio sociocultural. También se aspira concretar escenarios que cultiven el enseñar a pensar con rigor lógico, creatividad y claros referentes. Con ello se propicia que el estudiante aprecie la relación y utilidad de lo que aprende, reflexione y tenga la oportunidad de desarrollar su imaginación y su capacidad para resolver problemas de ámbito matemático. Igualmente, con la Matemágica se puede contribuir a allanar problemas tales como: (a) actitudes pasivas de aceptación sin crítica, y (b) carencia de habilidades necesarias para el procesamiento adecuado de la información, la resolución de problemas, la transferencia de conocimientos y la toma de decisiones.

Con el eje referido a los Valores, se aspira que con el desarrollo de estas actividades los estudiantes puedan moverse entre valores como lo son: la tolerancia, la libertad, la solidaridad y la justicia, incluyendo ambientes moralmente satisfactorios que generen espacios tanto para discriminar entre los procesos que son buenos o correctos, como para lograr las metas previstas, bien de manera individual o en trabajo en equipos. En todo caso, deben generar espacios para sistematizar conocimientos, analizar situaciones, meditar sobre sus exigencias, apreciar los valores, formular comparaciones, tomar decisiones y asumir opiniones críticas con responsabilidad.

El Trabajo: estas experiencias deben relacionar el hacer pedagógico con la ciencia y la tecnología y con ello explorar habilidades e intereses de los educandos y aplicar los conocimientos científicos adquiridos a situaciones de la vida cotidiana. Como preparación para el trabajo, pueden prever la posibilidad de elevar la capacidad para comprender, absorber y aplicar nuevos conocimientos como condición que podría apuntar hacia la formación de hombres emprendedores, ágiles y polivalentes que promuevan el aprovechamiento de las oportunidades, el cultivo de las fortalezas y la superación de los riesgos resolviendo, creativamente, problemas.

Antes de abordar aspectos puntuales acerca de las actividades matemáticas organizadas con dados se hace necesario establecer algunas caracterizaciones de estos elementos que suelen resultar útiles al momento de obtenerse determinados resultados que solicitan las experiencias.

Los dados y sus caracterizaciones

Un dado es un objeto que tiene forma de poliedro. Normalmente, tiene un diseño que permite mostrar unos resultados cuando es lanzado sobre una superficie horizontal. Estos resultados suelen estar representados por marcas de puntos dibujados en cada una de las caras del poliedro y ocurren de manera aleatoria cuando el dado es lanzado, casi siempre, desde la mano. La elección del resultado puede hacerse de muchas maneras pero se acostumbra elegirlo en función de la posición en la que queda el dado tras el lanzamiento. Tradicionalmente, se toma como resultado del lanzamiento el que está marcado en la cara que queda con la vista hacia arriba, es decir, en la parte horizontal superior, pero eso no siempre es posible debido a que no todos dan esta posibilidad al ser lanzados, como se puede ver en el caso del dado en forma de tetraedro que es mostrado en la Figura 1.

En vista de que los dados tienen forma poliédrica, entonces son cuerpos geométricos y, en consecuencia, tridimensionales, cuyas superficies están compuestas por una cantidad finita de polígonos planos que configuran sus caras donde suelen colocarse sus marcas distintivas. Eso implica la existencia de variadas familias como las mostradas en la Figura 2 encontrándose, entonces, dados de 4, 6, 8, 10, 12, 20 o más caras. Según la disposición, se pueden encontrar dados en forma de rodillos, trompos o de cuerpos casi esféricos, pero en esta oportunidad sólo se hará referencia a los que tienen forma de cubo, puesto que son los más comunes y utilizados en los juegos.

Los dados cúbicos

Estos dados con forma de cubo son los más usuales y conocidos por la mayoría de los seres humanos. Debido a esa forma, están conformados por seis (6) caras cuadradas que suelen numerarse, casi siempre, con marcas distinguidas de 1 a 6 puntos (ver figura 3); y el resultado que suele nombrarse al ser lanzados es el que aparece marcado en la cara superior.

En algunos casos, estos dados pueden tener puntas redondeadas o ligeramente truncadas, a pesar de su forma cúbica (ver Figura 4), manteniendo caras de formas iguales y generando cuerpos que se aproximan a cubos. Sin embargo, las referencias que se dan a continuación son válidas para cualquiera de estos dos tipos de dados que, por lo general, se pensarán y se considerarán cúbicos.

De acuerdo con DivulgaMAT (2007), si esos dados cúbicos son de fabricación occidental, sus caras opuestas suman 7 puntos, estando los números 1, 2 y 3 que aparecen en sus caras dispuestos en el sentido antihorario. Eso quiere decir que si el 1 está en la cara frontal, el 2 está en la cara derecha y el 3 en la cara superior (verFigura 5). Cuando son de fabricación china, tales valores en las caras tienen una orientación opuesta.

Aunque la mayoría de los dados tienen una serie continua de puntos que van del 1 al 6, es posible que sus caras contengan colores, figuras de animales, letras, números arábigos o romanos, operaciones con números, fracciones, palabras o figuras adecuadas a la intencionalidad de su uso (ver Figura 6). Tal particularidad resulta muy útil al momento de ser utilizados como recursos para desarrollar actividades lúdicas en el aula.

Los dados como recursos

Con los dados se pueden realizar variadas experiencias que permiten involucrar diferentes conceptos, procesos y actuaciones, por ello en Matemática son muy útiles para abordar temas de ámbito geométrico, estadístico y probabilístico. En este último aspecto, suelen ser el recurso más utilizado para el establecimiento de contenidos conceptuales debido a los espacios muestrales asociados a experimentos aleatorios que exigen su lanzamiento para observar los resultados posibles. Además, constituyen un valioso recurso en el mundo de la didáctica llegando a formar parte del factor común de cuanta propuesta académica se diseñe; pues constituyen recursos casi obligados para materializar las actividades lúdicas que se ponen en marcha para lograr el desarrollo de contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales que tiene que ver con la Matemática.

Esta ludicidad determina muchas opciones didácticas que permiten transponer saberes en el aula de Matemática debido a que generan disfrute, goce, tensión, alegría, bienestar, fantasía, imaginación y muchos otros elementos cognitivos, actuativos, contextuales y afectivos que no son fáciles de inventariar (Martínez Padrón, 1997; Groenwald y Martínez Padrón, 2007).

De acuerdo con lo anterior, se plantean varias actividades desarrolladas con dados las cuales están enfocadas desde el mundo de la Matemágica. En este sentido, conforman un conjunto de actividades lúdicas sustentadas en procesos que parecen mágicos y que se organizan sobre la base de los contenidos matemáticos que subyacen en recursos tales como los acertijos o las curiosidades matemáticas (Martínez Padrón, 2007). Siendo así, se abre un mundo de posibilidades para el proceso de enseñanza-aprendizajeevaluación de la Matemática debido a la motivación y al interés que despierta la Matemágica en los usuarios.

Matemágica con dados

A continuación se presenta un compendio de actividades organizadas con dados que están enfocadas desde el mundo de la Matemática. Como deben ser presentadas de manera asombrosa, misteriosa, adivinatoria, maravillosa y mágica, en razón de la naturaleza y del diseño utilizado para encontrar o descubrir los resultados correspondientes, se declara que lo que se pretende adivinar se le denominará Efecto y se corresponde con lo que los espectadores (en este caso los estudiantes) van a ver en el acto adivinatorio o de magia, mientras que lo que se debe hacer para conseguir ese efecto anunciado se le denominará Realización. Ambos conceptos fueron acoplados de Álvarez, Fernández y Márquez (2002), quienes los utilizan cuando abordan cuestiones referentes a la magia.

Matemágica con un dado

Curiosidad Matemática 1

Como Director de la actividad solicítele a un estudiante, que en este caso será un jugador, lanzar un (1) dado en su ausencia o sin que usted observe el resultado del lanzamiento. Pídale que anote el dato obtenido y, posteriormente, solicítele que ejecute las otras instrucciones que están señaladas en el Cuadro 1 e indíquele que usted le adivinará el resultado de la operación que ejecutará al final. En este caso, se pretende adivinar el valor de la mitad de la suma que se obtiene luego de sumar las caras opuestas de un dado. El efecto se manifiesta cuando se obtiene ese resultado en función de una serie de operaciones que se solicitan y la realización viene dada por esas operaciones matemáticas que se requieren para poder determinar y/o adivinar ese valor anunciado en relación con los referentes caracterizadores del objeto.

Efecto: Adivinar el resultado de una operación establecida con la suma de las caras opuestas de un dado

Luego de ello, el Director del juego siempre puede “acertar” o “adivinar” el resultado fi nal obtenido debido a que siempre será 3,5 y esto se corresponde con una propiedad de los dados occidentales que indica que la suma de los puntos que aparecen en las caras opuestas de cualquier dado normal será siempre igual a 7. La propiedad en referencia indica, entonces, que la cara opuesta a 1 es la marcada con 6, la opuesta a 2 es la marcada con 5 y la opuesta a 3 es la marcada con 4.

Vale destacar que esta experiencia se puede hacer con cualquier cantidad de dados apoyándose en la suma de las caras opuestas que es constante y utilizando un divisor que permita la obtención de cocientes en el conjunto de los números naturales (N) o en otros tales como los racionales (Q), si interesa, por ejemplo, la obtención de expresiones decimales como en el caso anterior. También se pueden agregar otras operaciones y esa elección dependerá de los contenidos, competencias y ejes transversales que se pretendan abordar con la experiencia.

Según la experiencia mostrada en la curiosidad 1, se abordan los siguientes contenidos: (a) Conceptuales: números naturales “N”, decimales y fraccionarios, adición en N, división en N y en Q, números decimales; (b) Procedimentales: identificación, lectura y escritura de números naturales, ejercitación de adiciones y divisiones usando el algoritmo respectivo; y (c) Actitudinales: valoración de las posibilidades que brinda el lenguaje matemático para, representar situaciones ostensibles, valoración del dominio de las operaciones matemáticas como herramienta que facilita la resolución de problemas cotidianos y escolares; valoración del trabajo individual como una forma de desarrollar la confianza en sí mismo y la autonomía en situaciones lúdicas concretas.

Matemágica con dos dados

En los dos casos que se presentan a continuación se adivinarán los resultados que aparecen en las caras superiores de los dados, luego de ser lanzados, sin necesidad de que el Director del juego esté presente en el ambiente al momento del lanzamiento. Esta ausencia en el escenario le dará fuerza a la actividad de “adivinar” los resultados y con ello se refuerza que el Director no tiene necesidad de verlos, pues su obtención se deriva de la explicación matemática que depende de la secuencia de pasos que deben seguirse para construir un valor numérico de referencia. Previo a ello, se declara que para efectos de este artículo será lo mismo lanzar un dado dos veces que lanzar dos dados a la vez. Eso también es válido para cuando se lancen “n” dados.

Curiosidad Matemática 2: Adivinar los resultados que aparecen en las caras superiores de dos dados

Modelo 1:

Efecto: Adivinar los resultados que aparecen en las caras superiores de dos dados

Para este caso, los dados a usar deben ser, preferiblemente, de diferentes colores o tamaños. Si usa un mismo dado, puede hablar del primer y del segundo lanzamiento. En el Cuadro 2 son suministradas las instrucciones que permiten adivinar los números que aparecen en las caras de dos dados. Ello constituye una curiosidad matemática que está ilustrada con un ejemplo y con la explicación matemática correspondiente. Se agregan, además, otros elementos curriculares, usando para ello una secuencia de actividades que también fue diseñada por Martínez Padrón y materializada por Céspedes (2006) y Scott (2006) en un formato condensado que se presentará, parcialmente, en el Modelo 2 de esta curiosidad. Se declara que la estructura de este formato permite organizar la presentación de la curiosidad, los contenidos, el ejemplo, la demostración, la explicación matemática y las posibles variantes que pudieran llevarse a cabo.

Presentación didáctica de la curiosidad

A espaldas de él o en su ausencia, el Director del juego solicita a un estudiante que lance dos dados diferenciados (Dado 1 y Dado 2) frente al público y que luego les muestre los números que salieron en cada cara superior. Solicita, también, que cada miembro de la audiencia anote esos resultados. Luego, el Director del juego le pide a la audiencia que:

1. Multipliquen por 5 el número que apareció en el Dado 1

2. Sumen 12 a esa respuesta

3. Dupliquen ese total

4. Sumen ese último resultado al número obtenido en el Dado 2

5. Sumen 15 al resultado anterior

6. Le comunique este resultado final

A manera de ejemplo, supóngase que al lanzarse los dos dados se obtienen los siguientes resultados: Dado 1: un dos (2) y Dado 2: un cinco (5) (ver Figura 6). Las instrucciones detalladas con el ejemplo y la correspondiente demostración que permitirá explicar o dar respuesta a la curiosidad matemática planteada aparecen registradas en el Cuadro 2:

La explicación matemática que permite “adivinar” estos resultados es la siguiente: si en el Dado 1 apareció un resultado a con , a Î N y 1£ a £ 6 en el Dado 2 apareció un resultado b, con , b Î N y 1£ b £ 6, se tiene que lasecuencia de instrucciones conduce a la expresión:

(5 a + 12).2 + b + 15 = 10 a + 24 + b + 15

= 10 a + b + 39

= ab + 39

Luego de conocer el resultado final, el Director del Juego estará en capacidad de indicarle a la audiencia cuáles son los números (cantidad de pintas) que salieron en la cara superior de cada dado lanzado. Para ello, basta restar 39 al último resultado comunicado y así obtener los valores deseados, pues la única manera de obtener ab,a partir de la expresión ab + 39, es restándole 39; es decir: (ab + 39) – 39 = ab.

En este caso, el resultado de esta sustracción es 25 y a partir de éste, el Director del juego tiene evidencias para decir a la audiencia que el númeroque apareció en el Dado 1 fue el 2 y el que apareció en Dado 2 fue el 5, pues, el 2 es el valor de la decena correspondiente a 25 y el 5 es el valor de la unidad ¿Por qué?

Según las especificaciones presentadas en la ilustración aritmética del Cuadro 2 y la explicación matemática posterior que se corresponde con una demostración algebraica de la curiosidad es posible concretar los contenidos matemáticos. Tales detalles son presentados en el Cuadro 3 donde se mencionan algunos contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales tomados del Currículo Básico Nacional (Ministerio de Educación, 1997; 1998).

Con esta experiencia puede observarse el abordaje de una serie de actividades ejercitativas que involucran conceptos y operaciones matemáticas que resultan muy útiles para aprender, reforzar o afianzar contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales correspondientes a los primeros seis grados de la Escuela Básica venezolana, tales como adición y multiplicación en N, incluyendo en esto último lo relativo a duplo o doble de un número que sirve para incrementar aspectos que tienen que ver con el lenguaje matemático. Ella también permite el desarrollo de competencias ligadas a esos contenidos y a otros como lo son valores posicionales, descomposición de número naturales usando el principio aditivo del valor posicional, referentes polinomiales para la escritura de la estructura de un número en el sistema de numeración decimal, incluyendo la posibilidad de utilizar operaciones algebraicas, y el desarrollo de demostraciones sencillas que permiten iniciar al educando en este tipo de pensamiento algebraico que ya debe utilizarse a partir del séptimo grado.

Modelo 2:

Efecto: Adivinar los resultados que aparecen en las caras superiores de dos dados

Dado a conocer este último resultado, el Director del juego puede adivinar los valores que aparecen en cada una de las caras superiores de los dados simplemente restándole 25 al número indicado por el espectador ¿Por qué? Obsérvense los referentes procedimentales (Cuadro 5) que permiten obtener la respuesta a esta curiosidad, derivada de los resultados que salieron en la Figura 8.

Matemágica con tres dados

Para cerrar este bloque de actividades se ha elegido una última curiosidad diseñada con tres dados donde se pretende adivinar, nuevamente, la cantidad de puntos que aparecen en cada una de sus caras superiores.

Los detalles al respecto se incluyen en el cuadro 6 donde se da cuenta de la presentación didáctica y los referentes procedimentales.

Para concretar el efecto que en este caso se corresponde con adivinar los valores que aparecen en la cara superior de cada dado, el Director del juego debe pedir al estudiante/jugador que le dé el último resultado de las operaciones realizadas para luego restarle 250, ¿Por qué? Con este nuevo resultado se podrá decir la cantidad de puntos que aparecen en cada cara superior. Para este caso particular es necesario calcular: 682 - 250 = 432 de donde se deduce que 4, 3 y 2 fueron, respectivamente, los resultados que aparecieron en el dado rojo, azul y verde ¿Por qué? La explicación de lo anterior proviene de lo siguiente:

[(2 a + 5) x 5 + b] x 10 + c = [10 a + 25 + b] x 10 + c

= 100 a + 250 + 10 b + c

= 100 a + 10 b + c + 250

= abc + 250

Obsérvese que para poder reproducir abc, que contiene los valores de los dados, en forma ordenada, se hace necesario restar, a ese último resultado, la cantidad de 250. Nótese que en esta actividad lúdica subyace una serie de contenidos matemáticos, capacidades y ejes transversales análogos a casi todas las actividades que la preceden, pudiéndose destacar que, como en las otras, se dan momentos precisos para ampliar el lenguaje matemático. En estos casos se observa, por ejemplo, la posibilidad de hablar de dobles pudiéndose usar esta idea para abordar los múltiplos de dos. Análogamente, se abre la posibilidad de concretar otros múltiplos apoyándose, siempre, en las operaciones que sean utilizadas en cada curiosidad. También, el espacio es propicio para ejercitar, entre otros aspectos, lo relacionado con: (a) símbolos de agrupación y sus alcances, (b) unidades, decenas o centenas, y (c) multiplicaciones por la unidad seguida de ceros.

A manera de cierre

A lo largo de todo este documento se puede observar que para poder provocar el interés y causar el efecto sorpresa y adivinatorio que caracteriza las actividades del mundo de la Matemágica es necesario magnificar el efecto que se busca. Esto constituye el elemento clave con el que se llama la atención de los participantes y puede materializarse de muchas formas y maneras, pero lo primordial reside en la imaginación y en la voluntad de quien organiza la actividad. Ello requiere forjar un alto grado de motivación y de autoconfianza que depende, en todo caso, de las habilidades, destrezas e incluso de la capacidad histriónica o picaresca del organizador de la actividad, quien debe capturar la atención del auditorio involucrado en la experiencia de aprendizaje.

También resulta importante tomar en cuenta los contenidos matemáticos que subyacen en curiosidades matemáticas, pues representan otro referente clave para concretar otros componentes curriculares tales como las competencias y los ejes transversales ligados al diseño de la actividad. Siendo así, la misma actividad abre espacios para las explicaciones matemáticas que se materializan en demostraciones que trascienden el mundo aritmético y penetran al mundo algebraico, siendo muy útiles para mejorar la atracción hacia la asignatura y para iniciar a los estudiantes en el mundo de las generalidades.

Durante el desarrollo de las actividades relacionadas con la Matemágica, también se hace propicio observar lo relacionado con aquellos factores del dominio afectivo que favorecen el proceso de enseñanzaaprendizaje- evaluación de la Matemática, sobre todo cuando se tienen que tomar en cuenta referentes cognitivos y afectivos ligados tanto con el éxito como con el fracaso de los docentes y de los estudiantes que protagonizan el proceso antes mencionado.

Finalmente, se puede advertir que como la Matemágica está diseñada en la ludicidad, hereda, en consecuencia, todas sus potencialidades, las cuales se convierten en una fuente promisoria para el campo de la Educación Matemática. Es evidente que con esta propuesta de actividades lúdicas sustentadas en contenidos matemáticos se pueden transformar algunas maneras de enseñar esta asignatura, siempre que se tomen en cuenta las necesidades, intereses, creencias, concepciones, emociones, motivaciones y actitudes de sus actores participantes (Martínez Padrón, 2005). Con ello se podrían propiciar cambios importantes en lo que acontece tradicionalmente tanto en las aulas de clase como fuera de ellas, pues la posibilidad de producir conocimientos y construir saberes matemáticos puede tornase más amena, placentera, satisfactoria y exitosa.

TOMADO DE:       http://www.scielo.org.ve/scielo.php?pid=S1316-00872009000200002&script=sci_arttext#fig4