jueves, 12 de enero de 2017

EL CONTEO DE NÚMEROS

EL CONTEO DE NÚMEROS 

Cuando queremos calcular cierta cantidad de números, según las condiciones del problema, podemos utilizar distintos métodos o fórmulas, lo cual dependerá de la habilidad del estudiante y sus conocimientos básicos sobre el tema.
Esto viene a acotación a que muchas veces solo recurrimos a las fórmulas, dejando de lado el razonamiento y la formación de resultados parciales, en posibles soluciones que nos acerquen a la solución final.

Por Ejemplo:
Si nos piden calcular: ¿cuántos números pares de tres cifras, existen en el sistema decimal?
Podemos resolverlo de las siguientes formas:

Primer Método:
Números pares de tres cifras en el sistema decimal:
100;102;104;106; 108;…;992;994;996;998
Nos damos cuenta que forman una sucesión de razón aritmética igual a 2, es decir, los términos van aumentando dos unidades desde el primero.
Entonces:























Tercer Método:
Por principio de multiplicación:
La característica numérica principal que tiene un número par de tres cifras, es que la última de sus cifras es un número par: 0;2;4;6 y 8. En cambio la primera puede tomar cualquier valor diferente de cero:1;2;3;4;5;6;7;8 y 9 y la segunda cifra puede ser:0;1;2;3;4;5;6;7;8 y 9


Cuarto Método:

Desde el número 100 hasta el número 999, que son todos los de tres cifras, hay un total de 900 términos y se sabe que, por ser una cantidad par de términos consecutivos, la mitad son números impares y la otra, por lo tanto, corresponde a la cantidad de números pares.









Pero hay problemas donde se tiene que elegir el método más adecuado, en otras palabras, el que nos lleve a la solución en forma más simple. Por ejemplo:
¿Cuántos números de tres cifras pares existen en el sistema decimal?

Primer Método:


La secuencia está formada por números cuyas cifras son todas pares, es decir, toman valores de:0;2;4;6 y 8 a excepción de la primera cifra que no puede tomar el valor de cero, entonces el primer número que cumple con la condición es: 200 y la secuencia sería:
Ahora desde 400;402;……….488  también hay 25 términos
desde 600;602;……….688  también hay 25 términos
desde 800;802;……….888  también hay 25 términos

       En total hay 100 términos



Segundo Método:
Aplicando el principio de multiplicación y sabiendo que todas las cifras son pares y la restricción en la primera cifra que debe ser diferente de cero.

Los problemas pueden variar según las características (pares, impares, que terminen en cero, que la primera cifra sea 5, capicúa, etc.) de los números que queremos calcular y tendremos que elegir el método más conveniente dependiendo de estas características, por eso es muy importante que el problema se lea con detenimiento y atención para concretar la estrategia de solución.

Ing° JUAN CARLOS PÉREZ PÉREZ
CORREO: asesorciencias@hotmail.com






domingo, 2 de octubre de 2016

LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN



LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Para representar un número necesitamos un sistema, que, mediante ciertas reglas y principios, permitan hacerlo adecuadamente. Es por eso que ahora aprenderemos como a partir de la idea Inicial, lograremos simbolizarlo.

Tenemos el siguiente gráfico:



Si nos preguntan cuántos elementos tiene, lo prmero que hacemos es contar  y de ese conteo obtenemos 26 que es la representación simbólica del total  de elementos.
La pregunta es ¿porqué 26? es decir, ¿porqué 2 y 6 juntos?
La respuesta es que se está usando el sistema decimal de base 10 para representar esta cantidad, mejor dicho, se agrupan los elementos de 10 en 10 (valor de la base) y vamos a obtener 2 grupos completos de 10  y 6 elementos sobrantes.








Considerando este razonamiento si los mismos elementos lo representásemos en el sistema de base 7 en tonces la agrupación quedaría así: 3 grupos completos de 7 elementos y 5 elementos sueltos y su representación sería 35 en el sistema de base 7  o abreviado: 357
Esto nos lleva a deducir el método para poder representar un número en cualquier sistema de numeración, ya que si hablamos de “agrupar” entonces es fácil saber que, la operación correspondiente es la DIVISIÓN entonces nos falta 


saber que hacemos si la cantidad de “grupos” es mayor que el valor de la base del sistema de numeración, veamos el mismo ejemplo pero usando el sistema de base 3 , se tendría 8 grupos y 2 elementos sueltos,entonces se agruparía así:


Entonces se escribiría así:


2 “grupos grandes”
2 “grupos medianos”
2 “elementos sueltos”

El numeral sería:
222(3)
El agrupar nos lleva a la
Operación de DIVISIÓN
Y aplicando la operación de división:
Tomamos el último cociente y todos los residuos anteriores entonces: 222(3)
En conclusión:
26 del sistema de base 10 se puede representar como: 35(7) y 222(3)

26 =35(7) = 222(3)
Ahora como comprobamos que: 35(7) y 222(3) son iguales a 26, la lógica nos dice que para llegar a la representación en base 7 y base 3 hemos dividido y en ese proceso de la división también se ha restado, lo único que debemos hacer es usar las operaciones contrarias, es decir,multiplicación y adición y lo haremos de la siguiente manera:

  • Colocamos las cifras del número separadas y la base en la parte inferior izquierda en esta disposición:








  •  Luego bajamos la primera cifra de la izquierda para empezar con las operaciones antes mencionadas (Multiplicación y adición):












El número obtenido es 26, con el cual hemos realizado los ejercicios anteriores.
Así es el método  de Ruffini, que lo hemos deducido desde la noción inicial, pero no es el único también podemos utilizar la descomposición polinómica que es una forma abreviada del método de Ruffini:
Se multiplica cada cifra por el valor de la base y cada base tendrá un exponente, empezando con cero para la base que multiplica a la última cifra y sucesivamente colocamos: 1;2;3;…..como exponente  para cada base que multiplica a las cifras que se encuentran a la izquierda de la última:
222(3) = 2x32+2x31+2x30

Entonces:
  •  Para convertir un número del sistema de base 10 a otro sistema dividimos en forma sucesiva
  • Para convertir un número de un sistema de base cualquiera a base 10 lo que podemos aplicar es el Método de Ruffini o la descomposición Polinómica

Ahora la última pregunta: ¿Y si queremos convertir un número de un sistema diferente de base 10 (o sistema decimal) a otro también diferente de base 10?


La pregunta es sencilla de responder si analizamos los casos anteriores:
  • Tenemos el número escrito en una base” m” (diferente de 10) y queremos pasarlo a base “n” (también diferente de 10)
  •  Primero, el número de base “m” lo pasamos a base 10 por Ruffini o descomposición polinómica.    
  • Segundo, el resultado obtenido en base 10 lo convertimos a base “n” por divisiones sucesivas.




Ejemplo:

Convertir: 164(7) al sistema de base 4

Primero: 164(7) a base 10    164(7) = 1x72+6x71+4x70= 49+42+4= 95
Segundo: 95 a base 4



















sábado, 24 de septiembre de 2016

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO EN FACTORES PRIMOS Y CANTIDAD DE DIVISORES


DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO EN FACTORES PRIMOS Y CANTIDAD DE DIVISORES


Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre 1 y él mismo número, esto sucede en el campo de los números naturales. Pero hay números que tienen más de dos divisores y estos son los números compuestos; también hay que considerar al uno, que escapa de éstas dos ideas. Entonces la clasificación más común es la siguiente:










Los números primos: 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97;101;103; 107; …

La importancia de los números primos es que nos permiten expresar un número compuesto, es decir, podemos representar un número compuesto en función de sus factores primos.
Esta forma de expresar los números compuestos tiene como base dos aspectos importantes que hay que conocer: los criterios de divisibilidad y leyes de exponentes.
Por ejemplo:
 Para descomponer el número 360 y expresarlo en sus factores primos, tenemos que considerar los criterios de divisibilidad por dos (porque la última cifra es cero), por tres (porque la suma de sus cifras es múltiplo de tres) y por cinco (porque la última cifra es cero).



















Ya tenemos expresado a 360 en función de sus factores primos con esta descomposición podemos determinar la cantidad de divisores que tiene y cuáles son:

TABLA DE DIVISORES

Para construir la tabla de divisores primero tomamos las potencias sucesivas del factor con mayor exponente obtenido en la descomposición, en el ejemplo sería 23 y se haría lo siguiente:
20; 21 ;22 ;23   y los otros factores de la misma forma, pero sin el exponente cero, luego lo disponemos de la siguiente forma: se colocan líneas divisorias para cada sucesión de potencias de cada factor primo diferente








Se multiplican los números que están en el lado vertical con cada fila, pero considerando solo las filas por encima de la línea divisoria:
En el ejemplo las potencias del tres solo se multiplicarán con las potencias del factor 2 y las potencias del factor 5 se van a multiplicar con las tres filas que se encuentran por encima de su línea divisoria, así como indica los gráficos anteriores.

Podemos ver fácilmente que la cantidad de divisores de 360 es 24, es decir, que hay 24 números que dividen exactamente a 360, pero existe otra forma para calcular la cantidad de divisores de 360, sin usar la tabla de divisores:





·       ¿Cuántos divisores pares, tiene 360?
Viendo la tabla de divisores contamos 18 divisores pares: 2;4;6;8;10;12;18;20,24;30;36;40;60;72;90;120;180 y 360
La otra forma sería la siguiente:
360= 2x2x2x3x3x5= 2(22x 32x 51) colocamos el 2 delante de los otros factores para obtener todos los divisores múltiplos de dos (o sea pares) ahora aplicamos la fórmula a los factores dentro del paréntesis: (2+1) (2+1) (1+1) = 3x3x2 =18 divisores


·        ¿Cuántos divisores múltiplos de 5, tiene 360?
Mirando la tabla tenemos: 5;10;15;20;30;40;45;60;90;120;180 y 360 en total 12 divisores múltiplos de 5. Ahora:
360= 2x2x2x3x3x5= 5(23x 32) aplicamos la fórmula para los términos dentro del paréntesis: (3+1) (2+1) = 4x3=12


·        ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos, tiene 360?
En la tabla: 1;4;9 y 36 son cuatro divisores cuadrados perfectos. Aplicando la fórmula sería así: se expresan los factores primos de la descomposición con exponentes 2 (aquellos que se puedan)






·        ¿Cuántos divisores impares, tiene 360?
Esto se resuelve considerando el total de divisores y la cantidad de divisores pares:






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