CHISTE N° 54

TOMADO DE: centros5.pntic.mec.es

PROBLEMA DE GEOMETRÍA DE CONCURSO TOTALMENTE SOLUCIONADO

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LA CUCHILLA DEL ZAPATERO

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Problema de Malfatti

El problema de Malfatti consiste en inscribir tres círculos en un triángulo, de manera que los círculos sean todos tangentes entre sí y también sean tangentes cada uno de ellos a dos lados del triángulo:

Este problema fue propuesto por Gian Francesco Malfatti (1731-1807) y resuelto en el décimo volumen de Memorie di Matematica e di Fisica della Società italiana delle Scienze..

A continuación se muestra una forma, algo complicada, de resolver el problema de Malfatti:

• Las rectas azules son las bisectrices interiores del triángulo dado, que se cortan en el incentro de dicho triángulo.
• Si llamamos I a dicho incentro, que en la figura aparece como un punto azul gordo, hemos llamado U, V y W a los incentros de los triángulos ABI, BCI y CAI, respectivamente.
• Con lineas grises, están unidos los puntos U, V y W.
• La bisectriz (azul) que pasa por A corta a la recta VW en P.
• La recta roja que pasa por P se obtiene de la siguiente manera: Se traza la perpendicular a WV que pasa por P y se hace la simetría de la bisectriz que por A respecto de esta perpendicular. De forma similar se obtienen las rectas rojas por Q y R. Las tres rectas rojas son concurrentes en un punto M, que en la figura aparece como un punto rojo gordo.
• La recta roja que es simétrica de la bisectriz que pasa por A corta al lado opuesto en D. De forma análoga, las otras rectas rojas cortan a los lados correspondientes en E y F.
• Los cuadriláteros AFME, FBDM y MDCE son circunscriptibles: tienen la propiedad de poder inscribir un círculo en cada uno de ellos y esos son los círculos que buscamos.

Los círculos obtenidos se llaman círculos de Malfatti.

Puntos de Malfatti

Los círculos de Malfatti cumplen la siguiente propiedad: las rectas que unen los vértices con los puntos de tangencia de los círculos se cortan en un punto, que se llama primer punto de Malfatti.

Otra propiedad de estos círculos puede verse en la siguiente figura:
Al unir los puntos de intersección de los tres círculos de Malfatti con los correspondientes excentros del triángulo original, se obtienen rectas que son concurrentes, llamándose el punto común segundo punto de Malfatti.

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Teorema de Pascal

El teorema de Pascal, descubierto por Blaise Pascal (1623-1662) a la edad de dieciseís años se refiere a puntos alineados:

Si los seis vértices de un exágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los puntos de intersección están alineados.

A la recta que contiene los tres puntos de intersección se la conoce como recta de Pascal.

A continuación vemos cómo se cumple el teorema de Pascal en una elipse y en una parábola.

Este teorema puede demostrarse usando el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.

El teorema de Pascal no acaba aquí. Porque dados seis puntos,  no podemos hablar sólo de una recta de Pascal.

A partir de 6 puntos es posible considerar 60 exágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. A su vez, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker.

Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los que hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman tales que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon.

Casos límite

El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices contiguos del exágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente.

Por ejemplo,

En todo pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto y los puntos de intersecciòn de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados.

En la figura, la recta tangente (en color rojo) a uno de los puntos ha sustituido a uno de los lados del exágono.

Para un cuadrilátero podemos expresar

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, si se trazan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto de la otra, son tres puntos en línea recta.

O también

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta.

Por último, para un triángulo

En todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes trazadas en los vértices opuestos son tres puntos en línea recta.

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Teorema de Ceva Y Teorema de Menelao

Sean X, Y, Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:

Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces

Demostración del teorema

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CX se cortan en un punto P.

Entonces

De la misma forma, se obtiene que

Multiplicando,

El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que

Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen 
Entonces las tres cevianas son concurrentes.

El teorema Ceva, un teorema de concurrencia tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao.

Teorema de Menelao

El teorema de Menelao (Menelao de Alejandría, sobre 70-130 d.C.) proporciona un criterio de alineación, lo mismo que el teorema de Ceva proporciona un criterio de concurrencia.

Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

Considerando signos en las medidas de los segmentos, de manera que, en general,   la igualdad anterior la podemos expresar así:

El teorema de Menelao se puede usar para demostrar el teorema de Pascal y otras muchas propiedades relacionadas con la alineación de puntos.

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