Problema de Malfatti

El problema de Malfatti consiste en inscribir tres círculos en un triángulo, de manera que los círculos sean todos tangentes entre sí y también sean tangentes cada uno de ellos a dos lados del triángulo:

Este problema fue propuesto por Gian Francesco Malfatti (1731-1807) y resuelto en el décimo volumen de Memorie di Matematica e di Fisica della Società italiana delle Scienze..

A continuación se muestra una forma, algo complicada, de resolver el problema de Malfatti:

• Las rectas azules son las bisectrices interiores del triángulo dado, que se cortan en el incentro de dicho triángulo.
• Si llamamos I a dicho incentro, que en la figura aparece como un punto azul gordo, hemos llamado U, V y W a los incentros de los triángulos ABI, BCI y CAI, respectivamente.
• Con lineas grises, están unidos los puntos U, V y W.
• La bisectriz (azul) que pasa por A corta a la recta VW en P.
• La recta roja que pasa por P se obtiene de la siguiente manera: Se traza la perpendicular a WV que pasa por P y se hace la simetría de la bisectriz que por A respecto de esta perpendicular. De forma similar se obtienen las rectas rojas por Q y R. Las tres rectas rojas son concurrentes en un punto M, que en la figura aparece como un punto rojo gordo.
• La recta roja que es simétrica de la bisectriz que pasa por A corta al lado opuesto en D. De forma análoga, las otras rectas rojas cortan a los lados correspondientes en E y F.
• Los cuadriláteros AFME, FBDM y MDCE son circunscriptibles: tienen la propiedad de poder inscribir un círculo en cada uno de ellos y esos son los círculos que buscamos.

Los círculos obtenidos se llaman círculos de Malfatti.

Puntos de Malfatti

Los círculos de Malfatti cumplen la siguiente propiedad: las rectas que unen los vértices con los puntos de tangencia de los círculos se cortan en un punto, que se llama primer punto de Malfatti.

Otra propiedad de estos círculos puede verse en la siguiente figura:
Al unir los puntos de intersección de los tres círculos de Malfatti con los correspondientes excentros del triángulo original, se obtienen rectas que son concurrentes, llamándose el punto común segundo punto de Malfatti.

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