Teorema de Rouché-Fröbenius

Con el enunciado del teorema debido al francés Eugène Rouché y al alemán Georg Ferdinand Fröbenius se hace posible resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones de primer grado, tenga o no solución. En esencia, este teorema se basa en el análisis del rango de las matrices representativas del sistema.

Enunciado del teorema de Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general sería:

se pueden definir su matriz de coeficientes C y su matriz ampliada A como:

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

Discusión y clasificación de sistemas lineales

Como consecuencia de la aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius, los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas se pueden discutir y resolver con cierta rapidez. Así, se tiene que:

• Si los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son iguales, el sistema es compatible (tiene solución). Si el número de incógnitas es igual a dicho rango, será determinado (una solución), y si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).
• Cuando los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son distintos, el sistema es incompatible (no tiene solución).

Discusión de un sistema por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Resolución por el teorema de Rouché-Fröbenius

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales basándose en el teorema de Rouché- Fröbenius, se procede del modo siguiente:

• Se discute el sistema, analizando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
• Si el sistema es compatible determinado, se toma el menor de la matriz de los coeficientes que ha dado el rango.
• El sistema equivalente que resulta se resuelve por la regla de Cramer (ver t18).

Sistemas lineales homogéneos

Los sistemas lineales en los que los términos independientes son siempre cero se llaman homogéneos. Un sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial o impropia en la que todas las incógnitas son iguales a cero. Sin embargo, las raíces de interés en el análisis del sistema son todas las demás, si existieren, que se dicen soluciones propias.

Si se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius a estos sistemas, se obtiene que:

• Cuando el rango de las matrices es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y por tanto su única solución es la trivial.
• Si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado y posee infinitas soluciones.

Un sistema lineal homogéneo nunca puede ser incompatible.

Discusión de un sistema lineal homogéneo por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Sistemas dependientes de parámetros

En los sistemas de ecuaciones que dependen de uno o dos parámetros no existe un método fijo de resolución. Sin embargo, sus soluciones pueden discutirse con mayor facilidad por medio del teorema de Rouché-Fröbenius.

Normalmente, al calcular los determinantes de las matrices de coeficientes y ampliada, se obtiene una dependencia de los parámetros, de manera que del estudio de sus posibles valores se deduce si el sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.

tomado de: http://www.hiru.com/matematicas/teorema-de-rouche-frobenius

Propiedades de los determinantes

El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.

Cálculo de determinantes

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:

• 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
• 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
• 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
• 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
• 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
• 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
• 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Propiedad 4.

Otras propiedades de los determinantes

• 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |A^t|.
• 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| ×|B|.
• 3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
• 4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz. 
• 5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.
• 6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

El método de Gauss

La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

• Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.
• Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.
• Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.
• Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

Rango de una matriz

Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h£ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A.

Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).

TOMADO DE: http://www.hiru.com/matematicas/propiedades-de-los-determinantes