domingo, 14 de septiembre de 2014

CHISTE N° 50

¿Cuándo 2 + 2 da 5?

Cuando se suma mal.

TOMADO DE:http://ponce.inter.edu/cremc/chistes.html

El texto matemático más antiguo

El “libro” de matemática más antiguo que se conoce posee la asombrosa edad de 3.600 años y fue escrito por un viejo escriba egipcio de nombre Ahmes. No obstante, Ahmes, no fue el autor original de este texto. Como escriba su trabajo era copiar papiros de todo tipo, uno de estos papiros fue un texto, hoy perdido, que databa de la doceava dinastía. Ya que sus predecesores fueron destruidos, o al menos no han sido encontrados, este es considerado como el texto matemático más viejo en existencia del que se tenga constancia. (Incluso que el Paprio De Rollin 1350 aC)

La historia de este papiro es más que singular, ya que sobrevivió hasta el tiempo presente sin ser protegido por museos o bibliotecas, y fue sólo hasta que un estudioso apellidado Rhind, al encontrarse comprando papiros antiguos para su colección -las malas lenguas dicen que a sabiendas robados-, lo encontrase y descubriera su significancia que pasa a ser considerado un “tesoro de la historia”. Ciertamente casi todo lo que sabemos de las matemáticas egipcias está contenido en este papiro: un sistema numeral egipcio, el uso de fracciones para dividir raciones de pan y cerveza entre los trabajadores, cálculos geométricos, medición, etc. El hecho que muchos de los cálculos estén orientados a problemas de la vida cotidiana nos indica que principalmente era utilizado como manual para resolver disputas diarias. Sin embargo, su contenido retórico y un tanto “académico” lo pone en la categoría de ser uno de los primeros “libros de texto” de la historia. Ahmes, o más exactamente Ahmose -Hijo de la Luna-, fue un nombre excesivamente popular durante la décimo octava dinastía. Actualmente se encuentra en el British London Museum

El Ahmes Papyrus (TRADUCIDO)

El Ahmose fue escrito en hierático, y probablemente se originó en el Reino Medio: 2000-1800 aC. Dice ser un `` estudio a fondo de todas las cosas, una idea de todo lo que existe, el conocimiento de todos los secretos oscuros. "De hecho, es un poco menos. Es una colección de ejercicios, sustancialmente en forma retórica, diseñado principalmente para los estudiantes de las matemáticas. Se incluyen ejercicios en

fracciones
notación
aritmética
álgebra
geometría
mensuration

Las herramientas matemáticas prácticas para la construcción?

Para ilustrar el nivel y el alcance de las matemáticas egipcias de la época, seleccionamos varios de los problemas y sus soluciones como se encuentra en los dos papryi. Por ejemplo, los problemas de la cerveza y el pan son comunes en el Ahmes.
Problema 72. ¿Cuántos panes de "fuerza" 45 son equivalentes a 100 hogazas de fuerza 10? Hecho:

fuerza: = $\ Displaystyle 1 \ over \ mbox {\ densidad de grano rm}$

La invocación de la regla de tres ⁵ , que fue muy conocido en el mundo antiguo, hay que resolver el problema:

$\ Begin {displaymath} {x \ over 45} = {{100} \ over 10} \ end {displaymath}$

Respuesta : panes. $X = 100/10 \ times 45 = 450$

Problema 63. 700 panes deben ser divididos entre los receptores, donde las cantidades que van a recibir son en la proporción continua

$\ Begin {displaymath} {2 \ over3}: {1 \ over 2}: {1 \ over 3}: {1 \ over 4} \ end {displaymath}$

Solución. Añadir

$\ Begin {displaymath} {2 \ over3} + {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 4} = {7 \ over4}. \ End {displaymath}$

$\ Begin {eqnarray *} {{700} \ over 7.4} & = & 700 \ cdot {4 \ over7} \\ & = y 700 ({2 \ over7} + {2 \ ... 28 ... }) \\ & = y 700 ({1 \ over 2} + {1 \ over14}) \\ & = Y 350 + 50 \\ & = y 400 \ end {eqnarray *}$

El primer valor es 400 Este es el número base. Ahora multiplique cada fracción por 400 para obtener la cantidad del destinatario. Tenga en cuenta la naturaleza de este algoritmo de solución. Se revela que no hay principios en absoluto. Sólo al convertir a notación moderna y el uso de símbolos modernos hacerlo vemos que esto es correcto Tenemos

$\ Begin {displaymath} {{x_1} \ over x_2} = {{{2 \ over3}} \ over {1 \ OVER2}}, \ quad {{x_2} \ over x_3} = {{{1 \ OVER2}} \ over {1 \ over3}}, \ end {displaymath}$

etc Este será el caso si hay un número de base $A$ de tal manera que

$\ Begin {eqnarray *} x_1 = {2 \} over3 un \\ x_2 = {1 \} OVER2 un \\ x_3 = {1 \} over3 un \\ x_4 = {1 \} over4 un \ end {eqnarray *}$

Por lo tanto

$\ Begin {displaymath} x_1 x_2 + + + x_3 x_4 = ({2 \ over3} + {1 \ OVER2} + {1 \ over3} + {1 \ over4}) a = 700 \ end {displaymath}$

Ahora agregue las fracciones para obtener ${7 \ over 4}$ y resolver para llegar

$\ Begin {displaymath} a = 400. \ End {displaymath}$

Ahora calcular . $X_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$

La solución de álgebra lineal problemas está presente en el Ahmes. Las ecuaciones de la forma moderna

$\ Begin {displaymath} x + ax = b \ quad \ mbox {\ sf o} \ quad x + ax + bx = x, \ end {displaymath}$

donde $A, b,$ y $C$ son conocidos se solucionan. El desconocido, $X$ se llama la Heep . Tenga en cuenta el planteamiento del problema retórico.

Problema 24. Encuentra la Heep si el montón y un séptimo del Heep es de 19 años (Solve $$ X + x / 7 = 19 €$ .)

Método. Utilice el método de falsa posición . Deje que $G$ sea la conjetura. Suplente $G + ag = c$ . Ahora resuelva $C \ cdot y = b$ . Respuesta: $X = g \ cdot y$ . ¿Por qué?

Solución. Guess $G = 7$ .

$\ Begin {displaymath} 7 + 1/7 \ cdot 7 = 8 \ end {displaymath}$

$\ Begin {displaymath} 19 \ Div8 = 2 + 3 {\ over8} = 2 + {1 \ over4} + {1 \ over8} \ end {displaymath}$

Respuesta:

$\begin{displaymath}7\cdot(2+{3\over8})=7(2+{1\over4}+{1\over8})=16+{1\over2}+{1\over8}\end{displaymath}$

Geometría y Medición mayoría geometría está relacionada con mensura. El Ahmes contiene problemas para las áreas de

triángulos isósceles (correcta)
trapezoides isósceles (correcta)
cuadriláteros (incorrecto)
tronco (correcta)
círculo (incorrecto)
áreas curvilíneas

En un problema de la zona para el cuadrilátero fue dada por

$\ begin {displaymath} A = ({{b_1 + B_2} \ over 2}) ({{h_1 + h_2} \ over 2}) \ end {displaymath}$

que por supuesto está mal en general, pero correcto para rectángulos. Sin embargo, los `` camillas cuerda "del antiguo Egipto, que es la surveyers tierra, a menudo tenían que hacer frente a los cuadriláteros irregulares cuando las áreas de medición de la tierra. Esta fórmula es bastante precisa si el cuadrilátero en cuestión es casi un rectángulo.

$\ includegraphics [] {} quadril.eps$

El área para el triángulo fue dada por la sustitución $B_2 = 0$ en la fórmula cuadrilátero

$\ Begin {displaymath} A = ({{b_1} \ over 2}) ({{h_1 + h_2} \ over 2}) \ end {displaymath}$

$\ includegraphics [] {} triangle.eps$

En Rigor
No está en las matemáticas egipcias una búsqueda de relaciones, pero los egipcios tenían sólo una vaga distinción entre la exacta y la aproximada . Las fórmulas no eran evidentes.Sólo se les dio soluciones a problemas específicos, a partir del cual el estudiante se quedó generalizar a otras circunstancias. Sin embargo, como veremos más adelante, varios de los grandes matemáticos griegos, Pitágoras, Thales, y Eudoxo por nombrar sólo tres, fueron a Egipto para estudiar. Debe haber habido más allí que algunos ejercicios de los estudiantes a tener en cuenta!

Problema 79. Este problema sólo se invocan `` siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 oídos de espelta, 16807 hekats ".

Nótese la similitud con nuestra canción infantil familiar:

Como yo iba a St. Ives,
conocí a un hombre con siete esposas,
cada esposa tenía siete sacos,
cada saco tenía siete gatos,
Cada gato tenía siete kits.
Kits, gatos, sacos y esposas,
¿Cuántos iban a St . Ives?

Esta rima se le preguntó por la suma muy poco práctico de todos y por lo tanto muestra un poco de conocimiento y aplicación de las progresiones geométricas.

Problema 50. Un campo circular de diámetro 9 tiene la misma área que un cuadrado de lado 8. Esto da una efectiva . $$ \ Pi = 3 \, {1 \} $ over6$

Problema 48 da una idea de cómo se construye esta fórmula.
$\ includegraphics [] {} egypcirc.eps$

Trisecar cada lado. Retire los triángulos de las esquinas. La cifra resultante se aproxima a la octogonal círculo. El área de la figura octogonal es:

$\ begin {displaymath} 9 \ Tiempos 9 -4 ({1 \ over 2} \ cdot3 \ cdot3) = 63 \ aproximadamente 64 = 8 ^ 2 \ end {displaymath}$

Así, el número

$\ Begin {displaymath} 4 ({8 \ over9}) ^ 2 = 3 \, {{13} \ over 81} \ end {displaymath}$

juega el papel de $\ Pi$ . Que esta figura octogonal, cuya área se calcula con facilidad, por lo que se aproxima con precisión el área del círculo es simplemente buena suerte. La obtención de una mejor aproximación a la zona con las divisiones más finas de un cuadrado y un argumento similar, no es fácil.

Geometría y Medición

Problema 56 indica una comprensión de la idea de similitud geométrica. Este problema se discute la relación

$\ Begin {displaymath} {{\ mbox {\ rm subida}} \ over \ mbox {\ rm carrera}} \ end {displaymath}$

El problema esencialmente pide para calcular el $\ Cot \ alpha$ por algún ángulo $\ Alpha$ . Tal fórmula se necesitan para la construcción de las pirámides.

$\ includegraphics [] {} riserun.eps$

Tenga en cuenta la aplicación obvia a la construcción de una pirámide para los que la fórmula para el volumen, , era conocido. (¿Cómo se enteraron de que?) $V = \ frac {1} {3} b ^ 2h$

$\ includegraphics [] {} pyramid.eps$

Geometría y Medición

El son numerosos mitos acerca de la relación geométrica presunta entre las dimensiones de la Gran Pirámide. Aquí hay uno:

[Perímetro de la base] =
[circunferencia de un círculo de radio = altura]

Tal fórmula daría una efectiva , no , como ya hemos comentado. $$ \ Pi = 3 {1 \} $ over7$ $$ \ Pi = 3 {1 \} $ over6$

SOMBRAS Y TAJADAS

PIENSE usted en un sólido; una papa suspendida en el espacio es, por ejemplo, una buena imagen. Suponga que por alguna razón usted tiene información acerca de esta papa sólo a través de sus secciones transversales. Es decir, usted sólo conoce la forma que tienen las tajadas de esta papa. Suponga ahora que quizá usted conoce, de este sólido, la forma que tienen las figuras que se obtienen al proyectarlo; es decir, imagínese que de él usted sólo ha visto las sombras que deja sobre el piso. ¿Podría usted decirme, a partir de esta información, qué forma tiene este sólido?

La situación es mucho menos rara de lo que uno se imagina. Sólo para mencionar dos ejemplos sumamente sencillos piense usted que, con frecuencia, cuando se usa el microscopio, lo que uno ve no es el objeto a observar, sino sólo una tajada que de él se obtuvo al hacer la preparación; o que la información que nos llega de la forma de un cuerpo celeste, a través de un telescopio, sólo tiene que ver con las proyecciones de este cuerpo.

En este primer capítulo vamos a proponernos resolver quizás el aspecto más teórico y sencillo de este problema. Quisiéramos estudiar sólidos que tienen siempre tajadas o sombras circulares y concluir, por supuesto, que estos sólidos tienen la forma esférica. A través de este libro vamos a vernos con frecuencia en la necesidad de concluir que determinado sólido es una esfera, pues sus sombras o sus tajadas son circulares.

Debemos de estar seguros de que lo que ambos —usted, lector, y yo— entendemos por sección transversal o tajada es lo mismo. Volviendo a nuestra imagen de una papa suspendida en el espacio, imaginemos que un plano la corta (Figura I.1). Una tajada de esta papa o mejor dicho, una sección transversal de este sólido, no es sino la parte de esta papa o de este sólido que queda sobre el plano.

Figura I-1

Antes de continuar quisiera aclarar otro concepto. A diferencia de otros autores, entendemos por un círculo o una esfera no sólo el borde de éstos, sino también todo lo que se encuentra dentro de ellos. Así, por ejemplo, el centro del círculo forma parte del círculo.

Vamos a empezar pensando en secciones transversales o tajadas.

Si toda sección transversal de un sólido Q es un círculo, entonces Q es una esfera.

Es decir: si en una papa toda tajada es circular, es porque la papa es una papa esférica.

Demostración. La esfera más pequeña que contiene al sólido Q es llamada la circumesfera de Q. Su cáscara debe tocar al sólido Q, puesto que si no lo toca ésta no sería la esfera más pequeña que contiene a Q (véase Figura I.2).

Figura I.2

De hecho, la cáscara de la circumesfera debe tocar al sólido Q en al menos dos puntos; de lo contrario, si solamente lo toca en un punto, despegándola sería posible encontrar una esfera más pequeña que contenga a Q (Figura I.3).

Fijemos nuestra atención en dos puntos de la cáscara de la circumesfera de Q que se encuentren también en Q. Pongámosles nombre; llamémosles por ejemplo X y Y. A continuación haremos ver que cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera pertenece también a Q, mostrando así que Q y su circumesfera coinciden.

Figura I.3.

Manos a la obra: fijémonos en cualquier punto de la cáscara de la circumesfera de Q(escoja uno, el que usted quiera). Pongámosle por nombre Z (ver figura I.4). En este momento conviene pensar que la circumesfera es azul y el sólido Q es rojo (recuerde que para ayudarnos a pensar se vale hacer uso de cualquier truco, artimaña o manía, lo importante es pensar).

Figura I.4

Pensemos ahora en el plano L que pasa por X, por Y y por Z. Este plano corta a la circumesfera en un círculo azul (toda tajada de una esfera es un círculo) que contiene aX, a Yy a Z en su orilla. A su vez, este plano corta al sólido Q en un círculo rojo que contiene a X y a Y en su orilla y que se encuentra dentro del círculo azul, pues el sólido e está dentro de la circumesfera.

Figura I.5

A continuación, trate de dibujar un círculo rojo dentro de un círculo azul de tal forma que ambos compartan al menos dos puntos, X y Y, de su orilla (ver figura 1.5). Le será fácil convencerse de que la única posibilidad es que ambos círculos, el rojo y el azul, coincidan. Esto quiere decir que la tajada de Q y la tajada de la circumesfera, determinadas ambas por el plano L, coinciden y, por lo tanto, que el punto Z de la cáscara de la circumesfera, en el cual habíamos fijado nuestra atención (ese que usted escogió arbitrariamente), es parte del sólido Q. Ahora podemos fijar nuestra atención en cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera de Q y repetir el mismo proceso anterior para convencernos de que este punto, y por lo tanto cualquier otro de la cáscara de la circumesfera, es parte del sólido Q. Hemos pues demostrado que el sólido Q y su circumesfera coinciden, es decir, que el sólido es esférico.

Pongámonos de acuerdo en lo que significa la proyección o sombra de un sólido. La idea intuitiva se refiere a la sombra que deja un sólido sobre el piso, producida por los rayos del sol.

Tomemos una dirección d y un plano P perpendicular a esta dirección. Nos vamos a fijar en todas las posibles líneas paralelas a la dirección d que cortan al sólido (véase figura 1.6). Todas estas líneas van a cortar también a el plano P para formar en él una figura, que es la figura a la que llamaremos la proyección o sombra del sólido en la dirección d sobre el plano P.

Figura I.6

Si toda proyección de un sólido Q es un círculo, entonces Q es una esfera.

Es decir: si todas las sombras de una papa son circulares, es porque la papa es una papa esférica.

Demostración. Tomemos un sólido Q con la propiedad de que todas sus sombras o proyecciones son circulares. Pudiera ser ¿por qué no? que en diferentes direcciones las sombras tuvieran diferentes diámetros, es decir, que algunas sombras fueran más pequeñas que otras. Empezaremos convenciéndonos de que no es así, de que en todas las direcciones las sombras son círculos del mismo tamaño.

Escoja usted dos planos. En ellos vamos a proyectar el sólido Q y a verificar si ambas sombras tienen el mismo diámetro. Sean pues P y G los planos elegidos y sean P(Q ) yG(Q) los círculos que se obtienen al proyectar Q sobre P y G respectivamente (véase figura I.7).

Figura I.7

El cilindro generado por la sombra que deja Q al ser proyectado sobre el plano G es untubo que perfora perpendicularmente a G precisamente en el círculo G(Q ). Este tubo se proyecta sobre P dejando como sombra una banda que aprisiona perfectamente al círculoP(Q). Por lo tanto, el diámetro de P(Q) es el ancho de la banda que, por ser la banda sombra del tubo, es el diámetro del tubo que a su vez no es otro sino el diámetro de P(Q).

Nos hemos convencido ya de que todas las sombras del sólido Q son círculos del mismo diámetro. Ahora vamos a convencernos de que, efectivamente, el sólido Q es una esfera. Con tal propósito vamos a pensar de nuevo en la circumesfera de Q, es decir, en la esfera más pequeña que contiene a Q. Conviene imaginar de nuevo que la circumesfera es azul, que el sólido Q es rojo y que, en cualquier dirección que se tome, la sombra que proyecta el sólido Q y su circumesfera es un círculo rojo dentro de un círculo azul. Recordemos que todas las sombras de Q son círculos rojos del mismo diámetro que se encuentran contenidos en las sombras de la circumesfera, las cuales son círculos azules todos del mismo diámetro. Por tanto, si en alguna dirección nosotros fuéramos capaces de comprobar que el círculo rojo y el azul coinciden, entonces, en cualquier otra dirección, la sombra del sólido y la sombra de su circumesfera coincidirán.

Nuestro propósito inmediato es ahora verificar que, efectivamente, la aseveración anterior es cierta, es decir, que las sombras de Q y de su circumesfera coinciden. Lo haremos encontrando simplemente, una dirección en la que las sombras proyectadas por el sólidoQ y su circumesfera coincidan.

Sean X y Y dos puntos de la cáscara de la circumesfera que sean parte del sólido Q. Pensemos en el plano L determinado por los puntos X y Y y el centro de la circumesfera. Si proyectamos sobre un plano paralelo al plano L, lo que obtenemos es un círculo rojo dentro de un círculo azul en donde las proyecciones de los puntos X y Y se encuentran en la orilla del círculo azul. Por ser X y Y parte del sólido Q, los círculos rojo y azul comparten dos puntos de su orilla. Como ya lo habíamos constatado anteriormente, esto no es posible a menos que ambos círculos coincidan totalmente.

Hasta ahora todo lo que sabemos es que en cualquier dirección el sólido Q y su circumesfera proyectan la misma sombra. ¿Será esto suficiente para asegurar que Q es una esfera? Si lo es, como lo veremos a continuación.

Tome usted un punto de la cáscara de la circumesfera. ¿Cuál? Cualquiera, el que usted elija arbitrariamente. Llamémoslo Z. Lo que quisiéramos es convencemos de que Z es parte de Q. Para esto vamos a proyectar la circumesfera sobre un plano paralelo a un plano que pase por Z y el centro de la circumesfera. Al proyectar, la sombra de Z(llamémosla Z') está en la orilla de la sombra de la circumesfera. Más aún, de todos los puntos de la circumesfera, el único que se proyecta sobre Z' es Z, de manera que si Z no fuera parte del sólido Q, entonces Z' no sería parte de la sombra de Q, lo cual no es posible pues sabemos que las sombras de Q y su circumesfera coinciden. Por lo tanto, forzosamente, Z debe formar parte de Q (véase figura I.8). Como Z fue escogido arbitrariamente, lo mismo pudimos haber concluido de cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera. Es decir, toda la cáscara de la circumesfera de Q forma parte de Q, lo cual nos indica que Q es una esfera.

Hemos terminado el primer capítulo de este libro. El siguiente capítulo es una introducción a la teoría geométrica de la convexidad, sin la cual mucho del material tratado en esta obra sería difícil de exponer. Por tanto, aunque el material presentado a continuación aparentemente no se relaciona con lo que hasta aquí hemos visto, nos será de mucha utilidad en los capítulos subsecuentes. Por otro lado, la teoría geométrica de la convexidad, por su sencillez y profundidad, es en sí misma de gran belleza y calidez. No dudo que su lectura le será muy estimulante y entretenida.

Figura I.8

TOMADO DE: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/075/htm/sec_4.htm

domingo, 14 de septiembre de 2014

CHISTE N° 50

El texto matemático más antiguo

El Ahmes Papyrus (TRADUCIDO)

SOMBRAS Y TAJADAS

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