domingo, 14 de septiembre de 2014

El texto matemático más antiguo



El “libro” de matemática más antiguo que se conoce posee la asombrosa edad de 3.600 años y fue escrito por un viejo escriba egipcio de nombre Ahmes. No obstante, Ahmes, no fue el autor original de este texto. Como escriba su trabajo era copiar papiros de todo tipo, uno de estos papiros fue un texto, hoy perdido, que databa de la doceava dinastía. Ya que sus predecesores fueron destruidos, o al menos no han sido encontrados, este es considerado como el texto matemático más viejo en existencia del que se tenga constancia. (Incluso que el Paprio De Rollin 1350 aC)
La historia de este papiro es más que singular, ya que sobrevivió hasta el tiempo presente sin ser protegido por museos o bibliotecas, y fue sólo hasta que un estudioso apellidado Rhind, al encontrarse comprando papiros antiguos para su colección -las malas lenguas dicen que a sabiendas robados-, lo encontrase y descubriera su significancia que pasa a ser considerado un “tesoro de la historia”. Ciertamente casi todo lo que sabemos de las matemáticas egipcias está contenido en este papiro: un sistema numeral egipcio, el uso de fracciones para dividir raciones de pan y cerveza entre los trabajadores, cálculos geométricos, medición, etc. El hecho que muchos de los cálculos estén orientados a problemas de la vida cotidiana nos indica que principalmente era utilizado como manual para resolver disputas diarias. Sin embargo, su contenido retórico y un tanto “académico” lo pone en la categoría de ser uno de los primeros “libros de texto” de la historia. Ahmes, o más exactamente Ahmose -Hijo de la Luna-, fue un nombre excesivamente popular durante la décimo octava dinastía. Actualmente se encuentra en el British London Museum

El Ahmes Papyrus (TRADUCIDO)

El Ahmose fue escrito en hierático, y probablemente se originó en el Reino Medio: 2000-1800 aC. Dice ser un `` estudio a fondo de todas las cosas, una idea de todo lo que existe, el conocimiento de todos los secretos oscuros. "De hecho, es un poco menos. Es una colección de ejercicios, sustancialmente en forma retórica, diseñado principalmente para los estudiantes de las matemáticas. Se incluyen ejercicios en
  • fracciones
  • notación
  • aritmética
  • álgebra
  • geometría
  • mensuration
Las herramientas matemáticas prácticas para la construcción?

Para ilustrar el nivel y el alcance de las matemáticas egipcias de la época, seleccionamos varios de los problemas y sus soluciones como se encuentra en los dos papryi. Por ejemplo, los problemas de la cerveza y el pan son comunes en el Ahmes.
Problema 72. ¿Cuántos panes de "fuerza" 45 son equivalentes a 100 hogazas de fuerza 10? Hecho:
fuerza: = $ \ Displaystyle 1 \ over \ mbox {\ densidad de grano rm} $
La invocación de la regla de tres 5 , que fue muy conocido en el mundo antiguo, hay que resolver el problema: 

\ Begin {displaymath} {x \ over 45} = {{100} \ over 10} \ end {displaymath}


Respuesta : panes. $ X = 100/10 \ times 45 = 450 $

Problema 63. 700 panes deben ser divididos entre los receptores, donde las cantidades que van a recibir son en la proporción continua 

\ Begin {displaymath} {2 \ over3}: {1 \ over 2}: {1 \ over 3}: {1 \ over 4} \ end {displaymath}



Solución. Añadir 

\ Begin {displaymath} {2 \ over3} + {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 4} = {7 \ over4}. \ End {displaymath}



\ Begin {eqnarray *} {{700} \ over 7.4} & = & 700 \ cdot {4 \ over7} \\ & = y 700 ({2 \ over7} + {2 \ ... 28 ... }) \\ & = y 700 ({1 \ over 2} + {1 \ over14}) \\ & = Y 350 + 50 \\ & = y 400 \ end {eqnarray *} 





El primer valor es 400 Este es el número base. Ahora multiplique cada fracción por 400 para obtener la cantidad del destinatario. Tenga en cuenta la naturaleza de este algoritmo de solución. Se revela que no hay principios en absoluto. Sólo al convertir a notación moderna y el uso de símbolos modernos hacerlo vemos que esto es correcto Tenemos 

\ Begin {displaymath} {{x_1} \ over x_2} = {{{2 \ over3}} \ over {1 \ OVER2}}, \ quad {{x_2} \ over x_3} = {{{1 \ OVER2}} \ over {1 \ over3}}, \ end {displaymath}


etc Este será el caso si hay un número de base $ A $de tal manera que

\ Begin {eqnarray *} x_1 = {2 \} over3 un \\ x_2 = {1 \} OVER2 un \\ x_3 = {1 \} over3 un \\ x_4 = {1 \} over4 un \ end {eqnarray *} 





Por lo tanto 

\ Begin {displaymath} x_1 x_2 + + + x_3 x_4 = ({2 \ over3} + {1 \ OVER2} + {1 \ over3} + {1 \ over4}) a = 700 \ end {displaymath}


Ahora agregue las fracciones para obtener $ {7 \ over 4} $y resolver para llegar 

\ Begin {displaymath} a = 400. \ End {displaymath}


Ahora calcular . $ X_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4 $

La solución de álgebra lineal problemas está presente en el Ahmes. Las ecuaciones de la forma moderna 

\ Begin {displaymath} x + ax = b \ quad \ mbox {\ sf o} \ quad x + ax + bx = x, \ end {displaymath}


donde $ A, b, $y $ C $son conocidos se solucionan. El desconocido, $ X $se llama la Heep . Tenga en cuenta el planteamiento del problema retórico.


Problema 24. Encuentra la Heep si el montón y un séptimo del Heep es de 19 años (Solve $ X + x / 7 = 19 €.)

Método. Utilice el método de falsa posición . Deje que $ G $sea la conjetura. Suplente $ G + ag = c $. Ahora resuelva $ C \ cdot y = b $. Respuesta: $ X = g \ cdot y $. ¿Por qué?

Solución. Guess $ G = 7 $. 

\ Begin {displaymath} 7 + 1/7 \ cdot 7 = 8 \ end {displaymath}




\ Begin {displaymath} 19 \ Div8 = 2 + 3 {\ over8} = 2 + {1 \ over4} + {1 \ over8} \ end {displaymath}


Respuesta: 

\begin{displaymath}7\cdot(2+{3\over8})=7(2+{1\over4}+{1\over8})=16+{1\over2}+{1\over8}\end{displaymath}



Geometría y Medición mayoría geometría está relacionada con mensura. El Ahmes contiene problemas para las áreas de
  • triángulos isósceles (correcta)
  • trapezoides isósceles (correcta)
  • cuadriláteros (incorrecto)
  • tronco (correcta)
  • círculo (incorrecto)
  • áreas curvilíneas


En un problema de la zona para el cuadrilátero fue dada por 

\ begin {displaymath} A = ({{b_1 + B_2} \ over 2}) ({{h_1 + h_2} \ over 2}) \ end {displaymath}


que por supuesto está mal en general, pero correcto para rectángulos. Sin embargo, los `` camillas cuerda "del antiguo Egipto, que es la surveyers tierra, a menudo tenían que hacer frente a los cuadriláteros irregulares cuando las áreas de medición de la tierra. Esta fórmula es bastante precisa si el cuadrilátero en cuestión es casi un rectángulo.

\ includegraphics [] {} quadril.eps


El área para el triángulo fue dada por la sustitución $ B_2 = 0 $en la fórmula cuadrilátero 

\ Begin {displaymath} A = ({{b_1} \ over 2}) ({{h_1 + h_2} \ over 2}) \ end {displaymath}



\ includegraphics [] {} triangle.eps


En Rigor
No está en las matemáticas egipcias una búsqueda de relaciones, pero los egipcios tenían sólo una vaga distinción entre la exacta y la aproximada . Las fórmulas no eran evidentes.Sólo se les dio soluciones a problemas específicos, a partir del cual el estudiante se quedó generalizar a otras circunstancias. Sin embargo, como veremos más adelante, varios de los grandes matemáticos griegos, Pitágoras, Thales, y Eudoxo por nombrar sólo tres, fueron a Egipto para estudiar. Debe haber habido más allí que algunos ejercicios de los estudiantes a tener en cuenta!





Problema 79. Este problema sólo se invocan `` siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 oídos de espelta, 16807 hekats ".

Nótese la similitud con nuestra canción infantil familiar:


Como yo iba a St. Ives,
conocí a un hombre con siete esposas,
cada esposa tenía siete sacos,
cada saco tenía siete gatos,
Cada gato tenía siete kits.
Kits, gatos, sacos y esposas,
¿Cuántos iban a St . Ives?
Esta rima se le preguntó por la suma muy poco práctico de todos y por lo tanto muestra un poco de conocimiento y aplicación de las progresiones geométricas.

Problema 50. Un campo circular de diámetro 9 tiene la misma área que un cuadrado de lado 8. Esto da una efectiva . $ \ Pi = 3 \, {1 \} $ over6


Problema 48 da una idea de cómo se construye esta fórmula.
\ includegraphics [] {} egypcirc.eps

Trisecar cada lado. Retire los triángulos de las esquinas. La cifra resultante se aproxima a la octogonal círculo. El área de la figura octogonal es: 

\ begin {displaymath} 9 \ Tiempos 9 -4 ({1 \ over 2} \ cdot3 \ cdot3) = 63 \ aproximadamente 64 = 8 ^ 2 \ end {displaymath}



Así, el número 

\ Begin {displaymath} 4 ({8 \ over9}) ^ 2 = 3 \, {{13} \ over 81} \ end {displaymath}


juega el papel de $ \ Pi $. Que esta figura octogonal, cuya área se calcula con facilidad, por lo que se aproxima con precisión el área del círculo es simplemente buena suerte. La obtención de una mejor aproximación a la zona con las divisiones más finas de un cuadrado y un argumento similar, no es fácil.






Geometría y Medición
Problema 56 indica una comprensión de la idea de similitud geométrica. Este problema se discute la relación 

\ Begin {displaymath} {{\ mbox {\ rm subida}} \ over \ mbox {\ rm carrera}} \ end {displaymath}


El problema esencialmente pide para calcular el $ \ Cot \ alpha $por algún ángulo $ \ Alpha $. Tal fórmula se necesitan para la construcción de las pirámides.
\ includegraphics [] {} riserun.eps

Tenga en cuenta la aplicación obvia a la construcción de una pirámide para los que la fórmula para el volumen, , era conocido. (¿Cómo se enteraron de que?) $ V = \ frac {1} {3} b ^ 2h $

\ includegraphics [] {} pyramid.eps


Geometría y Medición
El son numerosos mitos acerca de la relación geométrica presunta entre las dimensiones de la Gran Pirámide. Aquí hay uno:
[Perímetro de la base] =
    [circunferencia de un círculo de radio = altura]
Tal fórmula daría una efectiva , no , como ya hemos comentado. $ \ Pi = 3 {1 \} $ over7 $ \ Pi = 3 {1 \} $ over6
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