PIENSE usted en un sólido; una papa suspendida en el espacio es, por ejemplo, una buena imagen. Suponga que por alguna razón usted tiene información acerca de esta papa sólo a través de sus secciones transversales. Es decir, usted sólo conoce la forma que tienen las tajadas de esta papa. Suponga ahora que quizá usted conoce, de este sólido, la forma que tienen las figuras que se obtienen al proyectarlo; es decir, imagínese que de él usted sólo ha visto las sombras que deja sobre el piso. ¿Podría usted decirme, a partir de esta información, qué forma tiene este sólido?
La situación es mucho menos rara de lo que uno se imagina. Sólo para mencionar dos ejemplos sumamente sencillos piense usted que, con frecuencia, cuando se usa el microscopio, lo que uno ve no es el objeto a observar, sino sólo una tajada que de él se obtuvo al hacer la preparación; o que la información que nos llega de la forma de un cuerpo celeste, a través de un telescopio, sólo tiene que ver con las proyecciones de este cuerpo.
En este primer capítulo vamos a proponernos resolver quizás el aspecto más teórico y sencillo de este problema. Quisiéramos estudiar sólidos que tienen siempre tajadas o sombras circulares y concluir, por supuesto, que estos sólidos tienen la forma esférica. A través de este libro vamos a vernos con frecuencia en la necesidad de concluir que determinado sólido es una esfera, pues sus sombras o sus tajadas son circulares.
Debemos de estar seguros de que lo que ambos —usted, lector, y yo— entendemos por sección transversal o tajada es lo mismo. Volviendo a nuestra imagen de una papa suspendida en el espacio, imaginemos que un plano la corta (Figura I.1). Una tajada de esta papa o mejor dicho, una sección transversal de este sólido, no es sino la parte de esta papa o de este sólido que queda sobre el plano.
Antes de continuar quisiera aclarar otro concepto. A diferencia de otros autores, entendemos por un círculo o una esfera no sólo el borde de éstos, sino también todo lo que se encuentra dentro de ellos. Así, por ejemplo, el centro del círculo forma parte del círculo.
Demostración. La esfera más pequeña que contiene al sólido Q es llamada la circumesfera de Q. Su cáscara debe tocar al sólido Q, puesto que si no lo toca ésta no sería la esfera más pequeña que contiene a Q (véase Figura I.2).
De hecho, la cáscara de la circumesfera debe tocar al sólido Q en al menos dos puntos; de lo contrario, si solamente lo toca en un punto, despegándola sería posible encontrar una esfera más pequeña que contenga a Q (Figura I.3).
Fijemos nuestra atención en dos puntos de la cáscara de la circumesfera de Q que se encuentren también en Q. Pongámosles nombre; llamémosles por ejemplo X y Y. A continuación haremos ver que cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera pertenece también a Q, mostrando así que Q y su circumesfera coinciden.
Manos a la obra: fijémonos en cualquier punto de la cáscara de la circumesfera de Q(escoja uno, el que usted quiera). Pongámosle por nombre Z (ver figura I.4). En este momento conviene pensar que la circumesfera es azul y el sólido Q es rojo (recuerde que para ayudarnos a pensar se vale hacer uso de cualquier truco, artimaña o manía, lo importante es pensar).
Pensemos ahora en el plano L que pasa por X, por Y y por Z. Este plano corta a la circumesfera en un círculo azul (toda tajada de una esfera es un círculo) que contiene aX, a Yy a Z en su orilla. A su vez, este plano corta al sólido Q en un círculo rojo que contiene a X y a Y en su orilla y que se encuentra dentro del círculo azul, pues el sólido e está dentro de la circumesfera.
A continuación, trate de dibujar un círculo rojo dentro de un círculo azul de tal forma que ambos compartan al menos dos puntos, X y Y, de su orilla (ver figura 1.5). Le será fácil convencerse de que la única posibilidad es que ambos círculos, el rojo y el azul, coincidan. Esto quiere decir que la tajada de Q y la tajada de la circumesfera, determinadas ambas por el plano L, coinciden y, por lo tanto, que el punto Z de la cáscara de la circumesfera, en el cual habíamos fijado nuestra atención (ese que usted escogió arbitrariamente), es parte del sólido Q. Ahora podemos fijar nuestra atención en cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera de Q y repetir el mismo proceso anterior para convencernos de que este punto, y por lo tanto cualquier otro de la cáscara de la circumesfera, es parte del sólido Q. Hemos pues demostrado que el sólido Q y su circumesfera coinciden, es decir, que el sólido es esférico.
Pongámonos de acuerdo en lo que significa la proyección o sombra de un sólido. La idea intuitiva se refiere a la sombra que deja un sólido sobre el piso, producida por los rayos del sol.
Tomemos una dirección d y un plano P perpendicular a esta dirección. Nos vamos a fijar en todas las posibles líneas paralelas a la dirección d que cortan al sólido (véase figura 1.6). Todas estas líneas van a cortar también a el plano P para formar en él una figura, que es la figura a la que llamaremos la proyección o sombra del sólido en la dirección d sobre el plano P.
Demostración. Tomemos un sólido Q con la propiedad de que todas sus sombras o proyecciones son circulares. Pudiera ser ¿por qué no? que en diferentes direcciones las sombras tuvieran diferentes diámetros, es decir, que algunas sombras fueran más pequeñas que otras. Empezaremos convenciéndonos de que no es así, de que en todas las direcciones las sombras son círculos del mismo tamaño.
Escoja usted dos planos. En ellos vamos a proyectar el sólido Q y a verificar si ambas sombras tienen el mismo diámetro. Sean pues P y G los planos elegidos y sean P(Q ) yG(Q) los círculos que se obtienen al proyectar Q sobre P y G respectivamente (véase figura I.7).
El cilindro generado por la sombra que deja Q al ser proyectado sobre el plano G es untubo que perfora perpendicularmente a G precisamente en el círculo G(Q ). Este tubo se proyecta sobre P dejando como sombra una banda que aprisiona perfectamente al círculoP(Q). Por lo tanto, el diámetro de P(Q) es el ancho de la banda que, por ser la banda sombra del tubo, es el diámetro del tubo que a su vez no es otro sino el diámetro de P(Q).
Nos hemos convencido ya de que todas las sombras del sólido Q son círculos del mismo diámetro. Ahora vamos a convencernos de que, efectivamente, el sólido Q es una esfera. Con tal propósito vamos a pensar de nuevo en la circumesfera de Q, es decir, en la esfera más pequeña que contiene a Q. Conviene imaginar de nuevo que la circumesfera es azul, que el sólido Q es rojo y que, en cualquier dirección que se tome, la sombra que proyecta el sólido Q y su circumesfera es un círculo rojo dentro de un círculo azul. Recordemos que todas las sombras de Q son círculos rojos del mismo diámetro que se encuentran contenidos en las sombras de la circumesfera, las cuales son círculos azules todos del mismo diámetro. Por tanto, si en alguna dirección nosotros fuéramos capaces de comprobar que el círculo rojo y el azul coinciden, entonces, en cualquier otra dirección, la sombra del sólido y la sombra de su circumesfera coincidirán.
Nuestro propósito inmediato es ahora verificar que, efectivamente, la aseveración anterior es cierta, es decir, que las sombras de Q y de su circumesfera coinciden. Lo haremos encontrando simplemente, una dirección en la que las sombras proyectadas por el sólidoQ y su circumesfera coincidan.
Sean X y Y dos puntos de la cáscara de la circumesfera que sean parte del sólido Q. Pensemos en el plano L determinado por los puntos X y Y y el centro de la circumesfera. Si proyectamos sobre un plano paralelo al plano L, lo que obtenemos es un círculo rojo dentro de un círculo azul en donde las proyecciones de los puntos X y Y se encuentran en la orilla del círculo azul. Por ser X y Y parte del sólido Q, los círculos rojo y azul comparten dos puntos de su orilla. Como ya lo habíamos constatado anteriormente, esto no es posible a menos que ambos círculos coincidan totalmente.
Hasta ahora todo lo que sabemos es que en cualquier dirección el sólido Q y su circumesfera proyectan la misma sombra. ¿Será esto suficiente para asegurar que Q es una esfera? Si lo es, como lo veremos a continuación.
Tome usted un punto de la cáscara de la circumesfera. ¿Cuál? Cualquiera, el que usted elija arbitrariamente. Llamémoslo Z. Lo que quisiéramos es convencemos de que Z es parte de Q. Para esto vamos a proyectar la circumesfera sobre un plano paralelo a un plano que pase por Z y el centro de la circumesfera. Al proyectar, la sombra de Z(llamémosla Z') está en la orilla de la sombra de la circumesfera. Más aún, de todos los puntos de la circumesfera, el único que se proyecta sobre Z' es Z, de manera que si Z no fuera parte del sólido Q, entonces Z' no sería parte de la sombra de Q, lo cual no es posible pues sabemos que las sombras de Q y su circumesfera coinciden. Por lo tanto, forzosamente, Z debe formar parte de Q (véase figura I.8). Como Z fue escogido arbitrariamente, lo mismo pudimos haber concluido de cualquier otro punto de la cáscara de la circumesfera. Es decir, toda la cáscara de la circumesfera de Q forma parte de Q, lo cual nos indica que Q es una esfera.
Hemos terminado el primer capítulo de este libro. El siguiente capítulo es una introducción a la teoría geométrica de la convexidad, sin la cual mucho del material tratado en esta obra sería difícil de exponer. Por tanto, aunque el material presentado a continuación aparentemente no se relaciona con lo que hasta aquí hemos visto, nos será de mucha utilidad en los capítulos subsecuentes. Por otro lado, la teoría geométrica de la convexidad, por su sencillez y profundidad, es en sí misma de gran belleza y calidez. No dudo que su lectura le será muy estimulante y entretenida.
Figura I.8
TOMADO DE: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/075/htm/sec_4.htm
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