Eudoxo de Cnido

Eudoxo fue el principal matemático de la Academia de Platón. No sólo se dedicó a las matemáticas sino también a la ciencia en general. Algunos piensan que la estimación de Aristóteles de que la circunferencia de la Tierra era unos 400 000 estadios (40 000 millas) se debía a Eudoxo. Se afirma que fue el mejor de los matemáticos del periodo clásico y sólo superado por Arquímedes en toda la Antigüedad. Su contribución más importante a las matemáticas fue la llamada teoría de las proporciones. El objetivo de esta teoría fue evitar el uso de los irracionales como números sin dejar de hacer geometría.

Eudoxo siguió la tradición pitagórica de la exclusión de los inconmensurables.

Lo que hizo fue, en esencia, introducir la noción de magnitud, que no era un número pero servía para tratar ángulos, segmentos, áreas, volúmenes, que variaban de una manera continua. Mientras que los números eran discretos, se podía pasar de uno a otro, las magnitudes eran continuas. Las magnitudes, por definición, no podían tener valores cuantitativos. Para Eudoxo, una razón de magnitudes era una proporción, es decir una identidad de dos razones fueran conmensurables o no. Tanto el concepto de razón como de proporción sólo tenían sentido en la geometría, no en la aritmética, porque no trataba de números.

Esta teoría abría posibilidades de trabajo en la geometría sobrepasando los aspectos críticos e "inaceptables'' de los irracionales. Sin embargo, como comentaremos luego, generaron serias limitaciones a las matemáticas griegas. Por ejemplo, en primer lugar, redujo el uso de los irracionales sólo a la geometría.

Sobrevaloró históricamente el campo de la geometría, durante siglos, la que se afirmó teórica e incluso filosóficamente como la única disciplina matemática capaz de tener un fundamento lógico riguroso.

Para Bell:

"La teoría eudoxiana de la proporción dio validez indirectamente a la regla empírica de los egipcios para el volumen de un tronco de pirámide y completó el trabajo de los pitagóricos sobre los números similares. Certificó también el método del 'agotamiento' y, después de Dedekind (1 872), el uso del cálculo integral en la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. En resumen, proporcionó una base para el sistema de los números reales de análisis matemático.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 74]

Es curioso mencionar que, aunque Eudoxo seguía la tradición de Pitágoras, la teoría de las proporciones creaba un énfasis en las matemáticas griegas: se diera un giro hacia la geometría y no hacia la aritmética y los números, que, recuérdese, para los pitagóricos eran el componente fundamental de la realidad. Hay un cambio radical.

Una segunda consecuencia de esta seria separación entre geometría y aritmética, con privilegio de la primera, fue el debilitamiento de la aritmética y el álgebra en el mundo griego. Todas aquellas situaciones aritméticas o algebraicas que generaran irracionales eran convertidas en problemas geométricos.

En la Grecia clásica, con un distanciamiento de lo empírico, lo práctico, de la inducción, la experimentación, y con el predominio de visiones que afirmaban a las matemáticas como parte de un mundo ideal, alejado del entorno, se dio, consecuentemente, una separación entre las matemáticas y los requerimientos prácticos en el comercio o la agrimensura. Las matemáticas perdieron una motivación social para el desarrollo de la aritmética y el álgebra.

Debe decirse, sin embargo, como un elemento histórico y cultural fundamental, que esta separación tendería a desaparecer o por lo menos a disminuir en el periodo alejandrino, que colocó en otra perspectiva el conocimiento cuantitativo, las artes y las técnicas, la vida práctica, y por lo tanto el desarrollo del álgebra y la aritmética.

Eudoxo fue creador del famoso método de exhausción, que luego sería utilizado ampliamente por Arquímedes. Fue el mismo Arquímedes quien atribuyó el origen de este método a Eudoxo. Los matemáticos previos a Eudoxo de Cnido (alrededor de 408 - 355 a.C.) sabían que era posible inscribir y circunscribir figuras rectilíneas a una curvilínea y aumentar el número de lados o caras indefinidamente. Pero, precisamente, ahí estaba el problema: el infinito.

Se reconoce que Eudoxo al introducir las magnitudes, como un mecanismo para poder utilizar inconmensurables en la geometría, tuvo que subrayar la importancia de la deducción a partir de axiomas explícitos. Es decir, manipular razones inconmensurables era un asunto muy delicado desde el punto de vista lógico, y obligaba a precisiones y a un manejo deductivo muy cuidadoso. Esto indicaría que los trabajos de Eudoxo debieron ejercer una influencia decisiva en una obra clásica que afirmó la axiomática y el método deductivo en las matemáticas: losElementos de Euclides.

Ahora bien, en lo que se refiere a la cosmología, ofreció una teoría planetaria: la de las "esferas homocéntricas'', basada en estos cuerpos geométricos. Se suele valorar como la primera teoría planetaria propiamente. Ya volveremos sobre esto.

También se debería citar en este contexto a Menecmo (375 - 325 a.C.), quien formó parte de la escuela de Eudoxo e, incluso, se sabe, que fue preceptor de Alejandro el Grande. Es el primero en ocuparse de las secciones cónicas, usando tres tipos de conos: de ángulo recto, obtuso y agudo, cortando cada uno por un plano perpendicular a un elemento. En aquel momento, sólo una rama de la hipérbola era aceptada.

TOMADO DE:http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte1/Cap03/Parte03_03.htm