PROBLEMA DE LAS TRES RECTAS SOBRE LA "M"

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SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAS TRES RECTAS EN LA "M"

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CHISTE N° 33

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ACERCA DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKY

RESPECTO AL ORIGEN DE LOS AXIOMAS Y SU PAPEL EN LA GEOMETRIA 
Para aclarar el papel de los axiomas examinaremos en rasgos generales las etapas más importantes del desarrollo de la geometría desde los tiempos remotos. 
La patria de la geometría son los países del Antiguo Oriente donde, hace varios milenios y debido a las necesidades de la agrimensura, arquitectura y astronomía, fueron elaborados importantes principios de aspecto práctico para la medición de ángulos, áreas de algunas figuras y volúmenes de los cuerpos más simples. Estos principios se elaboraron empíricamente (por vías prácticas) y. por lo visto, se transmitían oralmente; en los textos matemáticos que llegaron hasta nosotros hallamos frecuentemente aplicaciones de los principios geométricos, pero no encontramos tentativas de formularlos. 
Con el tiempo, cuando se amplió el círculo de objetos a los que se aplicaban los conocimientos geométricos adquiridos, se puso en claro la necesidad de formular los principios geométricos en su forma más general, hecho que determinó el paso en la geometría de conceptos concretos a conceptos abstractos. Así, por ejemplo, el principio elaborado para medir el área de una parcela rectangular de tierra resultó ser apto para medir el área de una alfombra, la superficie de una pared, etc., y, como resultado, surgió la noción abstracta de rectángulo. 
De este modo se constituyó el sistema de conocimientos que obtuvo el nombre de geometría. En la primera fase de su desarrollo, la geometría era una ciencia empírica, es decir, una ciencia en la que todos los resultados se deducen directamente en la práctica. 
El desarrollo de la geometría marchó por un nuevo camino cuando se reparó en que algunas de sus proposiciones no requieren argumentación empírica, ya que éstas pueden ser derivadas de otras proposiciones mediante deducciones basadas en las leyes de la lógica. Se comenzó a diferenciar en la geometría proposiciones de dos géneros: las establecidas por vía práctica (más tarde denominadas axiomas) y las demostrables lógicamente basándose en los axiomas (teoremas). 
Puesto que, por no requerir dispositivos especiales, ni numerosas mediciones fastidiosas, la argumentación lógica en el aspecto técnico es considerablemente más simple que la empírica, ante los sabios de la antigüedad, como es natural, se planteó el problema de reducir al mínimo el número de proposiciones del primer género (axiomas) para facilitar de este modo el trabajo del geómetra trasladando el peso fundamental a la esfera del raciocinio lógico. Este objetivo resultó ser realizable, ya que la geometría se abstrae de todas las propiedades de los cuerpos excepto su extensión, propiedad muy esencial pero tan simple, que toda clase de relaciones geométricas pueden ser deducidas de un número reducido de proposiciones, axiomas según las leyes de la lógica. 
De esta manera la geometría se transformó de ciencia empírica en ciencia deductiva de exposición axiomática, que caracteriza su estado actual. 
La primera exposición sistemática de las tesis fundamentales de la geometría llegada hasta nosotros fueron los " Elementos " de Euclides, escritos cerca de 300 años antes de nuestra era. Esta obra está construida según el esquema siguiente: después de las definiciones y de los axiomas se exponen las demostraciones de los teoremas y las soluciones de los problemas, y, con eso, todo teorema nuevo se demuestra basándose en los axiomas y en los teoremas demostrados anteriormente. Los axiomas no se demuestran, solamente se enuncian. 
Durante el transcurso de dos milenios los " Elementos " de Euclides gozaron de autoridad innegable en el mundo científico. Sin embargo, un pasaje de este trabajo parecía no estar suficientemente justificado. Se sobreentiende el axioma del paralelismo, que Euclides formuló así: 
Si dos líneas rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internosunilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos, resulta ser que estasdos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquél lado en elque esta suma es inferior a dos ángulos rectos. La justeza del axioma del paralelismo de Euclides no suscitaba dudas. La duda respecto a este axioma radicaba en otra cosa: ¿era justo el haberlo relacionado a la categoría de los axiomas?, ¿no sería posible demostrar este axioma con ayuda de otros axiomas de los " Elementos " euclidianos y, de esta manera, pasarlo a la categoría de los teoremas? 
Al principio, los intentos de demostrar el axioma del paralelismo reflejaban la tendencia señalada anteriormente de disminuir el número de proposiciones geométricas, que exigían fundamentación empírica. Con el transcurso del tiempo la situación varió: se olvidó el origen experimental de los axiomas y éstos se comenzaron a interpretar como verdades evidentes de por si, independientemente de cualquiera que fuera el experimento. Semejante punto de vista engendró la seguridad que el axioma del paralelismo, que por su complejidad es difícil admitirlo como axiomático, en realidad no es un axioma y por consiguiente, se puede hallar la demostración de la afirmación contenida en él. Sin embargo, los numerosos esfuerzos en este sentido no dieron resultados positivos y el axioma del paralelismo, cual tesoro hechizado, no descubría sus secretos a los investigadores. Los intentos de demostrar este axioma, condenados al fracaso, exigieron un consumo enorme de trabajo intelectual de numerosas generaciones de sabios y fueron la expiación por la interpretación idealista de la esencia de los axiomas. 
El tipo de demostración errónea del axioma del paralelismo de Euclides más difundido era el de su sustitución por otra proposición equivalente como, por ejemplo: la perpendicular y la oblicua respecto a una misma recta se cortan ; o: existe un triángulo semejante al triángulo dado pero no igual a éste ; o: el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta dada, si se encuentrana un mismo lado de ésta, es una recta ; o: a través de cualesquiera tres puntos se puede trazar o bien una recta, o bienuna circunferencia . Más adelante demostraremos que, si el axioma del paralelismo de Euclides no tiene lugar, todas estas proposiciones son erróneas. Por consiguiente, admitiendo cualquiera de las proposiciones enumeradas como un axioma, consideramos que el axioma euclidiano del paralelismo es justo, es decir, partimos de la justeza de aquello que queríamos demostrar 
En sus investigaciones de la teoría de las líneas paralelas, Lobachevski fue por otro camino. Habiendo comenzado por intentos de demostrar el axioma del paralelismo pronto advirtió que uno de ellos conduce a resultados absolutamente inesperados. Este intento consistía en la utilización del método de demostración por oposición y se basaba en la consideración siguiente: si el axioma del paralelismo de Euclides es resultado de otros axiomas de los " Elementos " y si, no obstante, se admite que a través de un punto fuera de una recta, en el plano determinado por éstos, sepueden trazar por lo menos dos rectas que no cortan a la recta dada , resultará ser que esta suposición tarde o temprano, en sus resultados más inmediatos o más lejanos, conducirá a una contradicción. 
Entre tanto, analizando los nuevos resultados de la admisión hecha por él, paradójicos desde el punto de vista de la geometría euclidiana, Lobachevski se persuadía que éstos formaban un sistema lógico no contradictorio de teoremas capaces de constituir la base de una nueva teoría científica. 
Así fue fundamentada la geometría no euclidiana; su axioma del paralelismo se diferencia del euclidiano y coincide con la suposición citada anteriormente, que en lo sucesivo denominaremos axioma del paralelismo de Lobachevski. 
No obstante, no quedaba claro si se podía afirmar con seguridad que ninguno de los numerosos posibles resultados del axioma del paralelismo de Lobachevski conduciría a una contradicción. Lobachevski fijó la solución de esta cuestión: señaló que la no contrariedad de la geometría descubierta por él debe deducirse de la posibilidad de aritmetizarla, es decir, de la posibilidad de reducir la solución de cualquier problema geométrico a cálculos aritméticos y transformaciones analíticas, utilizando para ello las fórmulas de la trigonometría hiperbólica deducidas por él mismo. Ulteriormente fueron halladas por otros sabios demostraciones rigurosas de la no contrariedad de la geometría de Lobachevski. 
Las investigaciones de Lobachevski en la rama de la geometría hiperbólica son muy vastas: abarcan su parte elemental, la trigonometría, la geometría analítica y la geometría diferencial. Utilizando los métodos de la geometría creada por él, Lobachevski halló más de 200 fórmulas nuevas para el cálculo de las integrales definidas. 
El descubrimiento de Lobachevski se calificaba por sus contemporáneos, e incluso por sus discípulos, como un disparate monstruoso, como un desafío audaz a las leyes de la lógica y del sentido común. No nos asombra tal actitud respecto a la idea genial que demolía las nociones de aquella época. Con la mina hostilidad también había sido acogida la teoría heliocéntrica de Copérnico, que negaba aquello que parecía ser absolutamente evidente y afirmaba aquello que parecía ser inconcebible. Se requerían consideraciones muy profundas para comprender la admisibilidad de dos geometrías diferentes. A continuación pasamos precisamente a exponer algunas de estas consideraciones, las más comprensibles. 
En los manuales escolares de geometría, en la parte "Planimetría", se estudia el plano independientemente del espacio que lo rodea; con otras palabras; la planimetría es la geometría del plano euclidiano. También han sido bien estudiadas las geometrías de ciertas superficies curvilíneas; puede servir de ejemplo la geometría esférica, que encuentra amplio uso en la astronomía y en otras ramas de la ciencia. 
En toda ciencia los conceptos simplísimos tienen mucha importancia. En la geometría euclidiana semejantes conceptos son el punto, la recta, el plano. Estas denominaciones se conservan también en las geometrías no euclidianas, llamándose "recta" a la línea por la que se mide la distancia más corta entre dos puntos y "plano" a la superficie que tiene la siguiente propiedad: si dos puntos de la "recta" pertenecen a esta superficie, resultara ser que todos los puntos restantes de la misma "recta" también pertenecen a dicha superficie. Por ejemplo, en la geometría esférica, se denominan "plano" y "rectas", respectivamente, a la esfera y a las circunferencias de sus círculos mayores. Esta terminología es completamente oportuna ya que en cualquiera de las geometrías la "recta" es la línea más simple y el "plano" es también la superficie más simple y, además, la primera tiene la propiedad más importante de la recta euclidiana y el segundo, la propiedad más importante del plano euclidiano. 
Señalaremos algunas singularidades de la geometría esférica. Para mayor evidencia la examinaremos como la geometría de la superficie del globo. No es difícil comprender que dos "rectas" de esta geometría (por ejemplo, dos meridianos) siempre se cortan en dos puntos del globo diametralmente opuestos. Después, la suma de los ángulos del triángulo esférico es mayor que 2 d por ejemplo, en el triángulo limitado por un cuarto del ecuador y por los arcos de dos meridianos (Figura 1) todos los tres ángulos son rectos. 



Figura 1
Es sabido que en la geografía, a la par con el globo, se utilizan mapas de la superficie terrestre. Esto equivale al estudio de la geometría esférica mediante el examen de los mapas de la esfera, hecho posible si se indica de qué manera se hallan por medio de las efigies de las líneas en el mapa sus longitudes reales y las magnitudes reales de los ángulos entre ellas. La cosa consiste en que en el mapa se obtienen efigies desfiguradas y el carácter de esta desfiguración no es el mismo en todas partes. Por ejemplo, en el mapa de la superficie terrestre ejecutado en la proyección de Mercator (figura 2) a los meridianos les corresponden líneas rectas paralelas a las que son perpendiculares otras líneas rectas, equivalentes a los paralelos geográficos y, al mismo tiempo, el segmento que representa 1° del paralelo tiene, independientemente de su latitud, una misma longitud, mientras que en la realidad la longitud del grado de un paralelo es tanto menor cuanto más elevada es su latitud. 



Figura 2
En vista de que la superficie tiene dos dimensiones se ha aceptado denominar bidimensional a la geometría que estudia las figuras que se encuentran sobre una superficie determinada, y denominar espacio bidimensional a la propia superficie. Desde hace mucho tiempo se conocen dos variedades de la geometría bidimensional: la euclidiana (para el plano) y la esférica. Al hecho de existir una geometría bidimensional no euclidiana los matemáticos no le daban gran importancia por la simple razón que la esfera se estudiaba en el espacio euclidiano tridimensional, y esto obligaba a olvidar las propiedades no euclidianas de la esfera como tal 
Como resultado de las investigaciones de Lobachevski se puso en claro que no sólo son concebibles las superficies con propiedades no euclidianas, sino que también lo son los espacios no euclidianos tridimensionales. 
La introducción del concepto de las geometrías tridimensionales no euclidianas puede provocar dudas si no se hacen las aclaraciones siguientes. 
A veces es cómodo representar en forma geométrica los resultados del estudio de una clase determinada de fenómenos. Por ejemplo, los datos concernientes al incremento de la productividad del trabajo frecuentemente se exponen en forma de gráficas y diagramas. Esto demuestra que mediante imágenes geométricas se pueden describir diversos procesos y estados reales que no tienen relación directa con la geometría. 
Si se considera la gráfica como una línea del plano euclidiano, es evidente que en el ejemplo expuesto anteriormente se han empleado imágenes de la geometría euclidiana bidimensional. En otros casos más complicados se tiene que recurrir a las geometrías euclidianas y no euclidianas tridimensionales e, incluso, polidimensionales. De esto no se debe deducir que todas ellas describen relaciones de extensión; éstas son teorías que, en sus formulaciones, utilizan términos geométricos a los que, hablando en general, se les atribuye un contenido no ligado a las nociones espaciales. Así, por ejemplo, al agregar el tiempo a las tres dimensiones del espacio real en calidad de una cuarta dimensión, introducimos el concepto de espacio cuatridimensional en el que el intervalo determinado de tiempo se considera como un "segmento de la recta". En la mayoría de los casos semejante enfoque crea solamente la apariencia de claridad, cosa que, hasta cierto grado, facilita el análisis del fenómeno que se estudia por este método. 
De tal modo, la construcción de las geometrías no euclidianas se justifica por la posibilidad de utilizar sus deducciones para objetos que en la realidad existen. La circunstancia de que estas deducciones se formulan con términos de la geometría no tiene importancia esencial: las formulaciones geométricas se pueden modificar fácilmente de tal manera que correspondan a las propiedades de los objetos y fenómenos que se estudian. 
Advertiremos que en las aplicaciones de la matemática, en aquellos casos en los que la teoría presta servicio a objetos que se someten a unas mismas leyes matemáticas aunque cualitativamente son diferentes, se practica con frecuencia la sustitución de unos conceptos por otros. 
Se debe hablar especialmente de las geometrías tridimensionales. Estas pueden considerarse, independientemente de otras aplicaciones que tengan, como hipótesis que pretenden a describir las propiedades del espacio real. La cuestión respecto a cuál de estas hipótesis esté más cerca de la realidad, solamente puede ser resuella mediante la comprobación experimental de sus tesis. 
Señalaremos el hecho siguiente, muy importante para la exposición ulterior; en el plano euclidiano se puede construir (así como se hace para la esfera y, además, no por un solo procedimiento) la carta del plano de Lobachevski. El estudio de una de semejantes cartas se admitirá en nuestro libro como base para el estudio de la geometría hiperbólica. 
Es característico que la geometría de Lobachevski obtuvo reconocimiento general en las circunstancias siguientes. En el año 1868 el matemático italiano Eugenio Beltrami descubrió que en el espacio euclidiano existe una superficie que tiene las propiedades del plano de Lobachevski, mejor dicho, de cierto pedazo de este plano (si se consideran como "rectas" en esta superficie las líneas más cortas). Este descubrimiento, que al poco tiempo condujo a la construcción de diferentes cartas del plano de Lobachevski, convenció a los sabios de la justeza de las ideas del gran geómetra ruso, sirvió de impulso para el estudio profundo de sus obras y dio comienzo a numerosas investigaciones en la rama de las geometrías no euclidianas. 
El descubrimiento de las geometrías no euclidianas planteó ante la física un problema extraordinariamente complejo: aclarar si el espacio físico real es euclidiano, como antes pensaban, y si no lo es, a qué tipo de espacios no euclidianos pertenece". Para la solución de este problema se requiere una comprobación experimental de la justeza de los axiomas, estando claro que con el perfeccionamiento de los instrumentos de medición aumenta la seguridad de los datos experimentales obtenidos y aparece la posibilidad de penetrar en detalles que antes se escapaban de la atención de los investigadores. 
Así pues Lobachevski retornó la geometría a la interpretación materialista de los axiomas como proposiciones que constatan las propiedades geométricas fundamentales del espacio y que fueron concebidos por el hombre como resultado del experimento. 
Actualmente es imposible considerar resuelta hasta el fin la cuestión respecto a la estructura geométrica del espacio físico real. No obstante, señalaremos que la teoría contemporánea de la relatividad, basándose en numerosos datos, considera que el espacio real no es euclidiano y que además, por sus propiedades geométricas, es mucho más complejo que el espacio de Lobachevski. Uno de los golpes más fuertes a la convicción que la estructura del espacio real era euclidiana le asestó el descubrimiento de la ley física de acuerdo a la cual no existe velocidad alguna que supere la velocidad de la luz. 
Ahora podemos responder a una pregunta que con frecuencia oímos: ¿cuál de las dos geometrías es la verdadera, la de Euclides o la de Lobachevski? 
Semejante pregunta no surge respecto a las geometrías bidimensionales euclidiana y esférica, es absolutamente obvio que ambas son verdaderas, pero cada una de ellas tiene su campo de aplicación: no pueden ser usadas las fórmulas de la geometría esférica para las figuras planas, así como no pueden ser usadas las fórmulas de la geometría bidimensional euclidiana para las figuras en la esfera. Esto mismo es también justo respecto a las diversas geometrías tridimensionales cada una de ellas, siendo lógicamente no contradictoria, encuentra empleo en una rama determinada, no siendo obligatorio que ésta sea geométrica; no obstante, cada una de ellas se negará a servir si a sus principios se les atribuye un carácter universal. 
La cuestión referente a la estructura del espacio real, como ya señalábamos, pertenece a la competencia de la física y no puede ser resuelta con las fuerzas de la geometría pura. Su particularidad consiste, entre otras cosas, en que ninguna geometría refleja las relaciones de extensión con exactitud absoluta; así, por ejemplo, debido a la estructura molecular de la materia, no existen cuerpos accesibles a la apreciación de sus dimensiones que posean las propiedades geométricas de la esfera ideal. Precisamente por esto, la aplicación de reglas geométricas a la solución de problemas concretos conduce inevitablemente a resultados aproximados. De tal modo, nuestra noción respecto a la estructura geométrica del espacio real se reduce de hecho a la convicción científicamente basada de que una geometría determinada describe mejor que otras las relaciones reales de la extensión. 
Por el hecho que en la teoría de la relatividad se utilizan fórmulas de la geometría no euclidiana no se deduce todavía la necesidad de entregar la geometría de Euclides al archivo, tal y como ocurrió con la astrología, la alquimia y otras seudo ciencias semejantes. Tanto una como otra geometría representan un instrumento para el estudio de las formas espaciales, pero la primera permite efectuar investigaciones mas detalladas, mientras que la segunda es suficiente para la solución de la inmensa mayoría de problemas prácticamente importantes de muy elevado grado de exactitud y como, además, se distingue por ser muy simple, siempre le estará asegurada una amplia aplicación. 
Al terminar nuestro breve esbozo señalaremos aquello nuevo que aportó Lobachevski en el desarrollo de las ideas geométricas. 
Los méritos científicos de este notable pensador no se agotan con el hecho de que haya arrancado el velo del misterio milenario del axioma del paralelismo; la importancia de sus investigaciones es inmensurablemente más amplia. 
Habiendo sometido a un análisis critico uno de los axiomas euclidianos, Lobachevski dio comienzo a la revisión de algunas posiciones iniciales del sistema de Euclides, hecho que posteriormente condujo a la elaboración de principios rigurosamente científicos de construcción axiomática de la geometría y de otras ciencias matemáticas. 
El descubrimiento por Lobachevski de la geometría hiperbólica sacó a la ciencia concerniente a las formas espaciales de los estrechos limites del sistema euclidiana La geometría de Lobachevski encontró aplicación directa en la teoría de integrales definidas y en otras ramas de la matemática. 
Lobachevski suscitó la elaboración de cuestiones que no podían surgir con el estado precedente de la matemática y, entre ellas, la cuestión respecto a la estructura geométrica del espacio real. Sin su descubrimiento no hubiera podido desarrollarse la teoría de la relatividad, uno de los mayores alcances de la física contemporánea. Partiendo de las investigaciones de Lobachevski los sabios construyeron una teoría que permite efectuar el cálculo de los procesos que transcurren en el interior del núcleo atómico. 
Para concluir señalaremos la importancia gnoseológica de las ideas del gran matemático ruso. Antes de Lobachevski, durante el transcurso de muchos siglos, reinaba en la geometría el punto de vista idealista que remontaba a Platón, el filósofo de la Grecia antigua atribuyendo a los axiomas del sistema euclidiano un carácter absoluto éste negaba su procedencia experimental. Lobachevski rompió categóricamente con este punto de vista y retornó la geometría a las posiciones del materialismo. 

TOMADO DE: http://www.librosmaravillosos.com/geometrialobachevski/capitulo02.html

Sobre los principios fundamentales de la Geometría

Intentos de demostración del quinto postulado

Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio
Catedratico de Geometría y Topología
Departamento de Matemáticas y Computaciónluis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es

En el siglo V, Proclo, en sus comentarios, criticó el quinto postulado del siguiente modo: "Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se puso a resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmación" de que puesto que cuando las rectas son prolongadas más y más, alguna vez se cortarán parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al carácter especial de los postulados"

El mismo Proclo dio la siguiente demostración del quinto postulado:

"Dadas dos rectas paralelas m y l. Suponer que n es distinta de m y que corta a m en P. Sea Q el pie de la perpendicular desde P a l. Veamos que n corta a l. Si n coincide con la recta PQ, n corta a l. Si n no coincide con la recta PQ una de las semirectas de n la PY está entre la semirecta PQ y una semirecta de m. Sea X el pie de la perpendicular de Y hasta m. Ahora si Y se desliza hasta el final de n, el segmento XY crece indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante, en algún momento deberá cruzar l."

Destaquemos dos claros errores en el argumento anterior: En primer lugar, una magnitud puede crecer indefinidamente sin rebasar un tope prefijado. Y en segundo lugar, no podemos presuponer que la distancia entre m y l es constante. Si se dice que son paralelas, son paralelas (no se cortan) y nada más.

La huida de Mahoma de la Meca a Medina en el 622 d. C. inició la época de dominación árabe. En un siglo su influencia se había extendido desde la India hasta Persia, Mesopotamia, Norte de África y España. En el 641 Alejandría cayo bajo el imperio árabe y con el paso del tiempo Bagdad se convirtió en la "nueva Alejandría". Los Califas de Bagdad no sólo gobernaron sabia y correctamente sino que muchos fueron protectores de la cultura invitando a escolares de prestigio a sus cortes. Numerosos trabajos hindúes y griegos en astronomía, medicina y matemáticas fueron diligentemente traducidos al árabe y así se salvaron hasta que posteriormente traductores realizaran versiones en latín y otras lenguas vernáculas. Un ejemplo importante de este proceso de transmisión lo constituye el Codex Vigilamus, que se escribió en Albelda el año 957, y que es el primer manuscrito occidental en el que aparecen las cifras indo-arábigas de nuestro sistema decimal de numeración. Actualmente este manuscrito está depositado en la Biblioteca de San Lorenzo del Escorial.

Uno de los primeros centros de enseñanza occidentales fue el creado por Gerberto (940-1003) en la ciudad francesa de Reims. En su escuela Gerberto enseñaba numerosos métodos de cálculo con la importante novedad de que también empleo los guarismos indo-árabes. Entre los libros escritos por Gerberto citamos su "Geometría" en la que podemos encontrar la siguiente descripción:

"Dos líneas rectas distintas continuamente una de la otra por el mismo espacio y que cuando se prolongan indefinidamente nunca se cortan se denominan paralelas; es decir, equidistantes."

Esta definición de rectas paralelas recoge dos aspectos: El primero, es que no tengan puntos comunes y el segundo que la distancia entre estas sea constante. Hacemos notar que la segunda propiedad no es obvia y su demostración depende del quinto postulado. Desde el 999 hasta el 1003 en el que murió, Gerberto fue el papa romano Silvestre II.

Las matemáticas de los árabes fueron excelentes en álgebra aritmética y trigonometría. La teoría de las paralelas fue también estudiada aunque sin grandes resultados. Ibn-al-Haitham (en torno a 965-1039), conocido como Alhazen en Occidente, dio una demostración del quinto postulado argumentando que si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos también es recto el cuarto. En su demostración supuso que el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta dada era de nuevo una recta. Cayó en la trampa de la línea equidistante. La simple afirmación de que existan dos rectas equidistantes es equivalente al quinto postulado. Por otro lado, la propiedad que afirma que en un cuadrilátero si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto, es también equivalente al quinto postulado.

Para los árabes el nombre de Omar Khayyam (en torno a 1050-1123) es conocido por sus contribuciones en astronomía y álgebra. Los esfuerzos de Omar en la teoría de las paralelas se pueden encontrar en "La Verdad de las Paralelas y Discusión sobre la famosa duda" que es la parte I de su Discusión sobre las dificultades de Euclides. Omar Khayyam estudió, 600 años antes que Saccheri, cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con CD y los ángulos en A y en D son rectos.

Probó que los ángulos superiores del cuadrilátero eran congruentes. También demostró que la perpendicular por el punto medio de la base corta perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto. Además obtuvo el siguiente resultado: "En el cuadrilátero anterior la longitud del BC es mayor que la de AD si y sólo si el ángulo en B es agudo; BC es congruente a AD si y sólo si el ángulo en B es recto y BC es mayor que AC si y sólo si el ángulo en B es obtuso. La posibilidad de que este ángulo fuera agudo o obtuso fue negada a partir del argumento de que "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es por lo menos lo que en verdad los filósofos piensan."

Mencionaremos también al astrónomo árabe Nasir Eddin (1201-1274) que trabajó para Hulagu Khan, hermano de Kublai Khan y nieto de Genghis Khan. Realizó una versión de los Elementos de Euclides y entre las proposiciones 28 y 29 dio una demostración del quinto postulado. Supuso incorrectamente que si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso. De nuevo encontramos una propiedad que se verifica en geometría euclidiana y que en geometría absoluta es equivalente al quinto postulado.

Probablemente el primer occidental que analizó el postulado de las paralelas fuera el rabí de Aviñon conocido por Gersónides(1288-1344) que trabajó con cuadriláteros equiláteros y equiángulos. Aquí tenemos que la proposición que afirma que los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos es también equivalente al quinto postulado.

Posteriormente, ya a través de una imprenta, Clavio realizó una edición comentada de los Elementos de Euclides en la ciudad de Roma en 1584. En esta edición a las 468 proposiciones de Euclides se añadieron 671 más de su propia invención creando un universo de 1234 proposiciones. Se realizó incluso una edición china (1603-1607) de la primera parte de esta versión comentada de Clavio. Mencionaremos que posteriormente tanto Saccheri como Descartes aprendieron geometría de la edición de Clavio. En su versión monumental, Clavio, llamado por algunos el Euclides del siglo XVI, también incluyó una demostración del quinto postulado en la que otra vez se utilizaba el argumento erróneo de que una línea equidistante a una línea recta es una recta.

John Wallis (1616-1703) siendo profesor de la Universidad de Oxford se interesó en el trabajo de Nasir Eddin, y tradujo al latín los comentarios del astrónomo persa sobre las paralelas. Como consecuencia de este interés, John Wallis dio una nueva demostración en el año 1663. Para ello Wallis presuponía que dado un triángulo siempre existían triángulos similares a éste y no congruentes. Sin embargo, esta afirmación es equivalente al quinto postulado.

Mención especial requiere el italiano Girolamo Saccheri (1667-1733). Éste ingresó en los Jesuitas a los 23 años, fue profesor de Teología en un Colegio Jesuita de Milán, posteriormente enseño filosofía en Turín. Más tarde fue profesor de Matemáticas en la Universidad de Pavía. En este periodo aplicó su método favorito "la reducción al absurdo" para probar el quinto postulado. Saccheri estudió cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con DC y los ángulos en A y D son rectos, exactamente iguales que los que había estudiado Omar Khayyam.

En los cuadriláteros que denominaremos de Saccheri existen tres casos posibles:

• 1 ) Los ángulos en B y C son rectos.
  2 ) Estos ángulos son obtusos.
  3 ) Dichos ángulos son agudos.

En las condiciones habituales de la geometría absoluta, se puede probar que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero de Saccheri es menor o igual que dos llanos. Así que el segundo caso queda descartado. Sin embargo, por mucho que lo intentó, no consiguió llegar a una contracción suponiendo que se verificara el tercer caso. Por esta razón la llamo la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Saccheri probó numerosos resultados de la geometría no euclidiana. En particular citemos el siguiente resultado:

Proposición IX. Bajo las hipótesis del Ángulo Recto, Ángulo Obtuso o Ángulo Agudo, respectivamente se tiene que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, mayor que dos rectos o menor que dos rectos.

También probó que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, dada una recta y un punto exterior, en el haz de rectas que pasan por el punto exterior existen dos rectas asintóticas que dividen al haz en dos partes, en una parte están las rectas que cortan a la recta dada y la otra, las rectas que no la cortan. El ángulo(AB) formado por la recta AB y una de las semirectas asintóticas se llama ángulo de paralelismo asociado a la distancia AB.

Observemos que la geometría resultante cuando consideramos la hipótesis el Ángulo Agudo no es compatible con el quinto postulado y aparecen proposiciones diferentes a las de la geometría euclidiana. Recordemos que la Proposición 29 de los Elementos asegura que la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos.

No obstante, la conclusión final de su trabajo se basa más en la intuición y en su creencia en la validez del quinto postulado que en la lógica. Su argumento final se apoya en la afirmación de que bajo la hipótesis del Ángulo Agudo se pueden construir dos rectas paralelas distintas que tendrían una perpendicular común en el punto del infinito, lo que es contrario a la naturaleza de la línea recta. Es decir que la hipótesis del Ángulo Agudo es falsa porque repugna la naturaleza de la línea recta.

Ciertamente, Saccheri había probado muchos teoremas de la geometría no euclidiana pero no fue capaz de valorar el tesoro que había encontrado. Lo desechó a causa de su fe ciega en la validez del quinto postulado.

El fruto de sus investigaciones fue recogido en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus. Saccheri murió el 25 de Octubre de 1733; poco antes, había recibido el permiso, para imprimir el citado libro, de la Inquisición con fecha 13 de Julio y del Provincial de los Jesuitas con fecha 16 de Agosto. El libro de Saccheri atrajo una considerable atención en el tiempo de su publicación. En las historias de matemáticas realizadas en Alemania y Francia durante el siglo XVIII se menciona dicho libro. Sin embargo, en Francia e Italia pronto se olvidó esta obra aunque no ocurrió lo mismo en Alemania.

Posteriormente, el suizo Johann Heinrich Lambert (1728-1777) escribió la obraDie Theorie der Parallellinien (La teoría de las Paralelas) que se publicó después de su muerte. En su trabajo Lambert se preguntó si el quinto postulado se podría deducir a partir de los demás o si sería necesaria alguna hipótesis adicional. Después dio diferentes afirmaciones que necesitaban ser probadas pero que implicaban el quinto postulado. En la parte final consideró cuadriláteros pero con tres ángulos rectos. De nuevo tenía las tres hipótesis posibles respecto al cuarto ángulo. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo, Lambert probó que el área de un triángulo es proporcional a su defecto, que es la diferencia entre un llano y la suma de sus ángulos interiores.

Observemos aquí la diferencia del área de un triángulo establecida en la Proposición 41 de los Elementos como la mitad de un rectángulo con la misma base que el triángulo y su misma altura. Bajo la hipótesis del Ángulo Agudo existe una cota superior constante de modo que el área de cualquier triángulo es siempre más pequeña que esa cota superior. En la geometría euclidiana esa área se puede hacer tan grande como queramos. En la geometría no euclidiana los triángulos con área pequeña tienen ángulos interiores cuya suma es próxima a dos rectos y en los triángulos de área grande la suma de los ángulos será tan pequeña como deseemos.

También conjeturó que la hipótesis del Ángulo Agudo se podría verificar en una esfera de radio imaginario puro. Quizás llegó a esta conclusión al analizar la fórmula (A+B+C-)r² que determina el área de un triángulo esférico de ángulos A, B y C en una esfera de radio r. Si se toma como radio r=si, donde i es el imaginario puro, se obtiene que el área sería s² ( -A-B-C) es decir el área sería proporcional al defecto.

Adrian Marie Legendre (1752-1833) fue un eminente y quizás el más infatigable en la búsqueda de la demostración del quinto postulado. Sus varios intentos aparecieron en las doce ediciones de sus "Élements de géométrie" desde 1794 hasta 1823. Su monografía "Réflexions sur differéntes manières de démostrer la théorie des paralléles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle" apareció en 1833, véase [15], cien años después de la publicación del libro de Saccheri. Aunque la publicación del libro de Saccheri produjo curiosidad, sus contenidos no eran muy conocidos, de modo que en sus trabajos aparece de nuevo el resultado de que en geometría absoluta la suma de los ángulos de un triángulo es menor o igual que dos rectos; también prueba que si existe un triángulo cuyos ángulos suman dos rectos, entonces todos los triángulos tienen esa propiedad. Estos resultados ya habían sido probados en el libro de Saccheri que a su vez contenía resultados ya probados por Omar Khayyam. Después de sus variadas demostraciones e investigaciones, Legendre pensó que finalmente había removido las dificultades de la fundamentación de la geometría. En sustancia, sin embargo, no aportó nada a los resultados obtenidos por sus predecesores en la teoría de las paralelas.

Del análisis basado en comentarios de historiadores antiguos, manuscritos y libros impresos antiguos se desprende:

Que son muy numerosos los intentos que desde el siglo III a. C. hasta el siglo XIX se realizaron para probar el quinto postulado de Euclides. Estos estudios los realizaron personas de distintas religiones y culturas. Recordemos al rabí Gersónides con sus cuadriláteros equiláteros y equiángulos, al musulmán Omar Khayyam o al jesuita Girolamo Saccheri.

Que todas las demostraciones contenían algún fallo que normalmente consistía en una afirmación que es correcta en geometría euclidiana y que en cierto sentido parece que sea algo evidente que no sea preciso demostrar. Algunas de estas "verdades evidentes" que de modo erróneo se utilizaron para purificar los fundamentos de la geometría son las siguientes:

• "existen dos rectas equidistantes"
  "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae"
  "una línea equidistante a una línea recta es una recta"
  "en un cuadrilátero, si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto"
  "si un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D y AB es congruente con DC, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso"
  "los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos"
  "existen dos triángulos similares pero no congruentes"
  "dado un triángulo siempre existen triángulos similares a éste y no congruentes"
  "por un punto que no esté en una recta dada pasa una única paralela"
  "por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia"
  "la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos"

Todas estas afirmaciones y otras muchas más en la geometría absoluta son equivalentes al quinto postulado. Es decir, que se puede sustituir el quinto postulado por una cualquiera de ellas. En este caso la afirmación elegida adquiere el carácter de postulado, el quinto postulado abandona su carácter axiomático para convertirse en una proposición que necesita demostración y también serán proposiciones o teoremas el resto de las afirmaciones.

Especial mención requieren los resultados obtenidos por Saccheri, que indudablemente son los primeros resultados de importancia en la geometría no euclidiana. El método de trabajo de Saccheri de que negando el quinto postulado se acabaría encontrado una contradicción abrió la puerta al descubrimiento de la geometría no euclidiana. Realmente Saccheri había descubierto la geometría no euclidiana pero su fe ciega de que la verdad del quinto postulado lo llevó a recurrir a falacias más o menos elaboradas para que la enemiga hipótesis del Ángulo Agudo se destruyera a sí misma.

No sabemos si Saccheri o Lambert hicieron experimentos realizando mediciones de los ángulos interiores de un triángulo. No obstante, el margen de error de los instrumentos de medición angular de la época les dejaba un margen suficientemente grande para poder haber asegurado que también existía una geometría en la que la suma de los ángulos de un triángulo era menor que dos rectos. No lo afirmaron porque pensaban que no podía existir más que una geometría correcta para describir el espacio, la euclidiana.

TOMADO DE:http://www.euclides.org/menu/articles/aarticle2.htm