ACERCA DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKY

RESPECTO AL ORIGEN DE LOS AXIOMAS Y SU PAPEL EN LA GEOMETRIA 
Para aclarar el papel de los axiomas examinaremos en rasgos generales las etapas más importantes del desarrollo de la geometría desde los tiempos remotos. 
La patria de la geometría son los países del Antiguo Oriente donde, hace varios milenios y debido a las necesidades de la agrimensura, arquitectura y astronomía, fueron elaborados importantes principios de aspecto práctico para la medición de ángulos, áreas de algunas figuras y volúmenes de los cuerpos más simples. Estos principios se elaboraron empíricamente (por vías prácticas) y. por lo visto, se transmitían oralmente; en los textos matemáticos que llegaron hasta nosotros hallamos frecuentemente aplicaciones de los principios geométricos, pero no encontramos tentativas de formularlos. 
Con el tiempo, cuando se amplió el círculo de objetos a los que se aplicaban los conocimientos geométricos adquiridos, se puso en claro la necesidad de formular los principios geométricos en su forma más general, hecho que determinó el paso en la geometría de conceptos concretos a conceptos abstractos. Así, por ejemplo, el principio elaborado para medir el área de una parcela rectangular de tierra resultó ser apto para medir el área de una alfombra, la superficie de una pared, etc., y, como resultado, surgió la noción abstracta de rectángulo. 
De este modo se constituyó el sistema de conocimientos que obtuvo el nombre de geometría. En la primera fase de su desarrollo, la geometría era una ciencia empírica, es decir, una ciencia en la que todos los resultados se deducen directamente en la práctica. 
El desarrollo de la geometría marchó por un nuevo camino cuando se reparó en que algunas de sus proposiciones no requieren argumentación empírica, ya que éstas pueden ser derivadas de otras proposiciones mediante deducciones basadas en las leyes de la lógica. Se comenzó a diferenciar en la geometría proposiciones de dos géneros: las establecidas por vía práctica (más tarde denominadas axiomas) y las demostrables lógicamente basándose en los axiomas (teoremas). 
Puesto que, por no requerir dispositivos especiales, ni numerosas mediciones fastidiosas, la argumentación lógica en el aspecto técnico es considerablemente más simple que la empírica, ante los sabios de la antigüedad, como es natural, se planteó el problema de reducir al mínimo el número de proposiciones del primer género (axiomas) para facilitar de este modo el trabajo del geómetra trasladando el peso fundamental a la esfera del raciocinio lógico. Este objetivo resultó ser realizable, ya que la geometría se abstrae de todas las propiedades de los cuerpos excepto su extensión, propiedad muy esencial pero tan simple, que toda clase de relaciones geométricas pueden ser deducidas de un número reducido de proposiciones, axiomas según las leyes de la lógica. 
De esta manera la geometría se transformó de ciencia empírica en ciencia deductiva de exposición axiomática, que caracteriza su estado actual. 
La primera exposición sistemática de las tesis fundamentales de la geometría llegada hasta nosotros fueron los " Elementos " de Euclides, escritos cerca de 300 años antes de nuestra era. Esta obra está construida según el esquema siguiente: después de las definiciones y de los axiomas se exponen las demostraciones de los teoremas y las soluciones de los problemas, y, con eso, todo teorema nuevo se demuestra basándose en los axiomas y en los teoremas demostrados anteriormente. Los axiomas no se demuestran, solamente se enuncian. 
Durante el transcurso de dos milenios los " Elementos " de Euclides gozaron de autoridad innegable en el mundo científico. Sin embargo, un pasaje de este trabajo parecía no estar suficientemente justificado. Se sobreentiende el axioma del paralelismo, que Euclides formuló así: 
Si dos líneas rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internosunilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos, resulta ser que estasdos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquél lado en elque esta suma es inferior a dos ángulos rectos. La justeza del axioma del paralelismo de Euclides no suscitaba dudas. La duda respecto a este axioma radicaba en otra cosa: ¿era justo el haberlo relacionado a la categoría de los axiomas?, ¿no sería posible demostrar este axioma con ayuda de otros axiomas de los " Elementos " euclidianos y, de esta manera, pasarlo a la categoría de los teoremas? 
Al principio, los intentos de demostrar el axioma del paralelismo reflejaban la tendencia señalada anteriormente de disminuir el número de proposiciones geométricas, que exigían fundamentación empírica. Con el transcurso del tiempo la situación varió: se olvidó el origen experimental de los axiomas y éstos se comenzaron a interpretar como verdades evidentes de por si, independientemente de cualquiera que fuera el experimento. Semejante punto de vista engendró la seguridad que el axioma del paralelismo, que por su complejidad es difícil admitirlo como axiomático, en realidad no es un axioma y por consiguiente, se puede hallar la demostración de la afirmación contenida en él. Sin embargo, los numerosos esfuerzos en este sentido no dieron resultados positivos y el axioma del paralelismo, cual tesoro hechizado, no descubría sus secretos a los investigadores. Los intentos de demostrar este axioma, condenados al fracaso, exigieron un consumo enorme de trabajo intelectual de numerosas generaciones de sabios y fueron la expiación por la interpretación idealista de la esencia de los axiomas. 
El tipo de demostración errónea del axioma del paralelismo de Euclides más difundido era el de su sustitución por otra proposición equivalente como, por ejemplo: la perpendicular y la oblicua respecto a una misma recta se cortan ; o: existe un triángulo semejante al triángulo dado pero no igual a éste ; o: el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta dada, si se encuentrana un mismo lado de ésta, es una recta ; o: a través de cualesquiera tres puntos se puede trazar o bien una recta, o bienuna circunferencia . Más adelante demostraremos que, si el axioma del paralelismo de Euclides no tiene lugar, todas estas proposiciones son erróneas. Por consiguiente, admitiendo cualquiera de las proposiciones enumeradas como un axioma, consideramos que el axioma euclidiano del paralelismo es justo, es decir, partimos de la justeza de aquello que queríamos demostrar 
En sus investigaciones de la teoría de las líneas paralelas, Lobachevski fue por otro camino. Habiendo comenzado por intentos de demostrar el axioma del paralelismo pronto advirtió que uno de ellos conduce a resultados absolutamente inesperados. Este intento consistía en la utilización del método de demostración por oposición y se basaba en la consideración siguiente: si el axioma del paralelismo de Euclides es resultado de otros axiomas de los " Elementos " y si, no obstante, se admite que a través de un punto fuera de una recta, en el plano determinado por éstos, sepueden trazar por lo menos dos rectas que no cortan a la recta dada , resultará ser que esta suposición tarde o temprano, en sus resultados más inmediatos o más lejanos, conducirá a una contradicción. 
Entre tanto, analizando los nuevos resultados de la admisión hecha por él, paradójicos desde el punto de vista de la geometría euclidiana, Lobachevski se persuadía que éstos formaban un sistema lógico no contradictorio de teoremas capaces de constituir la base de una nueva teoría científica. 
Así fue fundamentada la geometría no euclidiana; su axioma del paralelismo se diferencia del euclidiano y coincide con la suposición citada anteriormente, que en lo sucesivo denominaremos axioma del paralelismo de Lobachevski. 
No obstante, no quedaba claro si se podía afirmar con seguridad que ninguno de los numerosos posibles resultados del axioma del paralelismo de Lobachevski conduciría a una contradicción. Lobachevski fijó la solución de esta cuestión: señaló que la no contrariedad de la geometría descubierta por él debe deducirse de la posibilidad de aritmetizarla, es decir, de la posibilidad de reducir la solución de cualquier problema geométrico a cálculos aritméticos y transformaciones analíticas, utilizando para ello las fórmulas de la trigonometría hiperbólica deducidas por él mismo. Ulteriormente fueron halladas por otros sabios demostraciones rigurosas de la no contrariedad de la geometría de Lobachevski. 
Las investigaciones de Lobachevski en la rama de la geometría hiperbólica son muy vastas: abarcan su parte elemental, la trigonometría, la geometría analítica y la geometría diferencial. Utilizando los métodos de la geometría creada por él, Lobachevski halló más de 200 fórmulas nuevas para el cálculo de las integrales definidas. 
El descubrimiento de Lobachevski se calificaba por sus contemporáneos, e incluso por sus discípulos, como un disparate monstruoso, como un desafío audaz a las leyes de la lógica y del sentido común. No nos asombra tal actitud respecto a la idea genial que demolía las nociones de aquella época. Con la mina hostilidad también había sido acogida la teoría heliocéntrica de Copérnico, que negaba aquello que parecía ser absolutamente evidente y afirmaba aquello que parecía ser inconcebible. Se requerían consideraciones muy profundas para comprender la admisibilidad de dos geometrías diferentes. A continuación pasamos precisamente a exponer algunas de estas consideraciones, las más comprensibles. 
En los manuales escolares de geometría, en la parte "Planimetría", se estudia el plano independientemente del espacio que lo rodea; con otras palabras; la planimetría es la geometría del plano euclidiano. También han sido bien estudiadas las geometrías de ciertas superficies curvilíneas; puede servir de ejemplo la geometría esférica, que encuentra amplio uso en la astronomía y en otras ramas de la ciencia. 
En toda ciencia los conceptos simplísimos tienen mucha importancia. En la geometría euclidiana semejantes conceptos son el punto, la recta, el plano. Estas denominaciones se conservan también en las geometrías no euclidianas, llamándose "recta" a la línea por la que se mide la distancia más corta entre dos puntos y "plano" a la superficie que tiene la siguiente propiedad: si dos puntos de la "recta" pertenecen a esta superficie, resultara ser que todos los puntos restantes de la misma "recta" también pertenecen a dicha superficie. Por ejemplo, en la geometría esférica, se denominan "plano" y "rectas", respectivamente, a la esfera y a las circunferencias de sus círculos mayores. Esta terminología es completamente oportuna ya que en cualquiera de las geometrías la "recta" es la línea más simple y el "plano" es también la superficie más simple y, además, la primera tiene la propiedad más importante de la recta euclidiana y el segundo, la propiedad más importante del plano euclidiano. 
Señalaremos algunas singularidades de la geometría esférica. Para mayor evidencia la examinaremos como la geometría de la superficie del globo. No es difícil comprender que dos "rectas" de esta geometría (por ejemplo, dos meridianos) siempre se cortan en dos puntos del globo diametralmente opuestos. Después, la suma de los ángulos del triángulo esférico es mayor que 2 d por ejemplo, en el triángulo limitado por un cuarto del ecuador y por los arcos de dos meridianos (Figura 1) todos los tres ángulos son rectos. 



Figura 1
Es sabido que en la geografía, a la par con el globo, se utilizan mapas de la superficie terrestre. Esto equivale al estudio de la geometría esférica mediante el examen de los mapas de la esfera, hecho posible si se indica de qué manera se hallan por medio de las efigies de las líneas en el mapa sus longitudes reales y las magnitudes reales de los ángulos entre ellas. La cosa consiste en que en el mapa se obtienen efigies desfiguradas y el carácter de esta desfiguración no es el mismo en todas partes. Por ejemplo, en el mapa de la superficie terrestre ejecutado en la proyección de Mercator (figura 2) a los meridianos les corresponden líneas rectas paralelas a las que son perpendiculares otras líneas rectas, equivalentes a los paralelos geográficos y, al mismo tiempo, el segmento que representa 1° del paralelo tiene, independientemente de su latitud, una misma longitud, mientras que en la realidad la longitud del grado de un paralelo es tanto menor cuanto más elevada es su latitud. 



Figura 2
En vista de que la superficie tiene dos dimensiones se ha aceptado denominar bidimensional a la geometría que estudia las figuras que se encuentran sobre una superficie determinada, y denominar espacio bidimensional a la propia superficie. Desde hace mucho tiempo se conocen dos variedades de la geometría bidimensional: la euclidiana (para el plano) y la esférica. Al hecho de existir una geometría bidimensional no euclidiana los matemáticos no le daban gran importancia por la simple razón que la esfera se estudiaba en el espacio euclidiano tridimensional, y esto obligaba a olvidar las propiedades no euclidianas de la esfera como tal 
Como resultado de las investigaciones de Lobachevski se puso en claro que no sólo son concebibles las superficies con propiedades no euclidianas, sino que también lo son los espacios no euclidianos tridimensionales. 
La introducción del concepto de las geometrías tridimensionales no euclidianas puede provocar dudas si no se hacen las aclaraciones siguientes. 
A veces es cómodo representar en forma geométrica los resultados del estudio de una clase determinada de fenómenos. Por ejemplo, los datos concernientes al incremento de la productividad del trabajo frecuentemente se exponen en forma de gráficas y diagramas. Esto demuestra que mediante imágenes geométricas se pueden describir diversos procesos y estados reales que no tienen relación directa con la geometría. 
Si se considera la gráfica como una línea del plano euclidiano, es evidente que en el ejemplo expuesto anteriormente se han empleado imágenes de la geometría euclidiana bidimensional. En otros casos más complicados se tiene que recurrir a las geometrías euclidianas y no euclidianas tridimensionales e, incluso, polidimensionales. De esto no se debe deducir que todas ellas describen relaciones de extensión; éstas son teorías que, en sus formulaciones, utilizan términos geométricos a los que, hablando en general, se les atribuye un contenido no ligado a las nociones espaciales. Así, por ejemplo, al agregar el tiempo a las tres dimensiones del espacio real en calidad de una cuarta dimensión, introducimos el concepto de espacio cuatridimensional en el que el intervalo determinado de tiempo se considera como un "segmento de la recta". En la mayoría de los casos semejante enfoque crea solamente la apariencia de claridad, cosa que, hasta cierto grado, facilita el análisis del fenómeno que se estudia por este método. 
De tal modo, la construcción de las geometrías no euclidianas se justifica por la posibilidad de utilizar sus deducciones para objetos que en la realidad existen. La circunstancia de que estas deducciones se formulan con términos de la geometría no tiene importancia esencial: las formulaciones geométricas se pueden modificar fácilmente de tal manera que correspondan a las propiedades de los objetos y fenómenos que se estudian. 
Advertiremos que en las aplicaciones de la matemática, en aquellos casos en los que la teoría presta servicio a objetos que se someten a unas mismas leyes matemáticas aunque cualitativamente son diferentes, se practica con frecuencia la sustitución de unos conceptos por otros. 
Se debe hablar especialmente de las geometrías tridimensionales. Estas pueden considerarse, independientemente de otras aplicaciones que tengan, como hipótesis que pretenden a describir las propiedades del espacio real. La cuestión respecto a cuál de estas hipótesis esté más cerca de la realidad, solamente puede ser resuella mediante la comprobación experimental de sus tesis. 
Señalaremos el hecho siguiente, muy importante para la exposición ulterior; en el plano euclidiano se puede construir (así como se hace para la esfera y, además, no por un solo procedimiento) la carta del plano de Lobachevski. El estudio de una de semejantes cartas se admitirá en nuestro libro como base para el estudio de la geometría hiperbólica. 
Es característico que la geometría de Lobachevski obtuvo reconocimiento general en las circunstancias siguientes. En el año 1868 el matemático italiano Eugenio Beltrami descubrió que en el espacio euclidiano existe una superficie que tiene las propiedades del plano de Lobachevski, mejor dicho, de cierto pedazo de este plano (si se consideran como "rectas" en esta superficie las líneas más cortas). Este descubrimiento, que al poco tiempo condujo a la construcción de diferentes cartas del plano de Lobachevski, convenció a los sabios de la justeza de las ideas del gran geómetra ruso, sirvió de impulso para el estudio profundo de sus obras y dio comienzo a numerosas investigaciones en la rama de las geometrías no euclidianas. 
El descubrimiento de las geometrías no euclidianas planteó ante la física un problema extraordinariamente complejo: aclarar si el espacio físico real es euclidiano, como antes pensaban, y si no lo es, a qué tipo de espacios no euclidianos pertenece". Para la solución de este problema se requiere una comprobación experimental de la justeza de los axiomas, estando claro que con el perfeccionamiento de los instrumentos de medición aumenta la seguridad de los datos experimentales obtenidos y aparece la posibilidad de penetrar en detalles que antes se escapaban de la atención de los investigadores. 
Así pues Lobachevski retornó la geometría a la interpretación materialista de los axiomas como proposiciones que constatan las propiedades geométricas fundamentales del espacio y que fueron concebidos por el hombre como resultado del experimento. 
Actualmente es imposible considerar resuelta hasta el fin la cuestión respecto a la estructura geométrica del espacio físico real. No obstante, señalaremos que la teoría contemporánea de la relatividad, basándose en numerosos datos, considera que el espacio real no es euclidiano y que además, por sus propiedades geométricas, es mucho más complejo que el espacio de Lobachevski. Uno de los golpes más fuertes a la convicción que la estructura del espacio real era euclidiana le asestó el descubrimiento de la ley física de acuerdo a la cual no existe velocidad alguna que supere la velocidad de la luz. 
Ahora podemos responder a una pregunta que con frecuencia oímos: ¿cuál de las dos geometrías es la verdadera, la de Euclides o la de Lobachevski? 
Semejante pregunta no surge respecto a las geometrías bidimensionales euclidiana y esférica, es absolutamente obvio que ambas son verdaderas, pero cada una de ellas tiene su campo de aplicación: no pueden ser usadas las fórmulas de la geometría esférica para las figuras planas, así como no pueden ser usadas las fórmulas de la geometría bidimensional euclidiana para las figuras en la esfera. Esto mismo es también justo respecto a las diversas geometrías tridimensionales cada una de ellas, siendo lógicamente no contradictoria, encuentra empleo en una rama determinada, no siendo obligatorio que ésta sea geométrica; no obstante, cada una de ellas se negará a servir si a sus principios se les atribuye un carácter universal. 
La cuestión referente a la estructura del espacio real, como ya señalábamos, pertenece a la competencia de la física y no puede ser resuelta con las fuerzas de la geometría pura. Su particularidad consiste, entre otras cosas, en que ninguna geometría refleja las relaciones de extensión con exactitud absoluta; así, por ejemplo, debido a la estructura molecular de la materia, no existen cuerpos accesibles a la apreciación de sus dimensiones que posean las propiedades geométricas de la esfera ideal. Precisamente por esto, la aplicación de reglas geométricas a la solución de problemas concretos conduce inevitablemente a resultados aproximados. De tal modo, nuestra noción respecto a la estructura geométrica del espacio real se reduce de hecho a la convicción científicamente basada de que una geometría determinada describe mejor que otras las relaciones reales de la extensión. 
Por el hecho que en la teoría de la relatividad se utilizan fórmulas de la geometría no euclidiana no se deduce todavía la necesidad de entregar la geometría de Euclides al archivo, tal y como ocurrió con la astrología, la alquimia y otras seudo ciencias semejantes. Tanto una como otra geometría representan un instrumento para el estudio de las formas espaciales, pero la primera permite efectuar investigaciones mas detalladas, mientras que la segunda es suficiente para la solución de la inmensa mayoría de problemas prácticamente importantes de muy elevado grado de exactitud y como, además, se distingue por ser muy simple, siempre le estará asegurada una amplia aplicación. 
Al terminar nuestro breve esbozo señalaremos aquello nuevo que aportó Lobachevski en el desarrollo de las ideas geométricas. 
Los méritos científicos de este notable pensador no se agotan con el hecho de que haya arrancado el velo del misterio milenario del axioma del paralelismo; la importancia de sus investigaciones es inmensurablemente más amplia. 
Habiendo sometido a un análisis critico uno de los axiomas euclidianos, Lobachevski dio comienzo a la revisión de algunas posiciones iniciales del sistema de Euclides, hecho que posteriormente condujo a la elaboración de principios rigurosamente científicos de construcción axiomática de la geometría y de otras ciencias matemáticas. 
El descubrimiento por Lobachevski de la geometría hiperbólica sacó a la ciencia concerniente a las formas espaciales de los estrechos limites del sistema euclidiana La geometría de Lobachevski encontró aplicación directa en la teoría de integrales definidas y en otras ramas de la matemática. 
Lobachevski suscitó la elaboración de cuestiones que no podían surgir con el estado precedente de la matemática y, entre ellas, la cuestión respecto a la estructura geométrica del espacio real. Sin su descubrimiento no hubiera podido desarrollarse la teoría de la relatividad, uno de los mayores alcances de la física contemporánea. Partiendo de las investigaciones de Lobachevski los sabios construyeron una teoría que permite efectuar el cálculo de los procesos que transcurren en el interior del núcleo atómico. 
Para concluir señalaremos la importancia gnoseológica de las ideas del gran matemático ruso. Antes de Lobachevski, durante el transcurso de muchos siglos, reinaba en la geometría el punto de vista idealista que remontaba a Platón, el filósofo de la Grecia antigua atribuyendo a los axiomas del sistema euclidiano un carácter absoluto éste negaba su procedencia experimental. Lobachevski rompió categóricamente con este punto de vista y retornó la geometría a las posiciones del materialismo. 

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