Por lo que sabemos, Newton había comenzado a trabajar desde 1666, cuando apenas contaba con 23 años, en una forma de cálculo cuyo manuscrito denominó (en secreto porque nunca lo publicó en vida) Método de las Fluxiones y Fluentes. Sabemos también que desde 1669, Newton había hecho circular entre un reducido grupo de sus más cercanos discípulos su manuscrito de De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas, en el que hacía un breve recuento, nada explícito, de una de las aplicaciones de las fluxiones (pero, como veremos, De Analysi per Equationes era un texto secreto, sólo para iniciados, que no saldría a la luz pública hasta 35 años más tarde).
Por otra parte sabemos, gracias a los papeles privados de Leibniz, que éste comenzó a trabajar en su versión del cálculo en 1674 (ocho años después de Newton), cumplidos ya los 28 años, y sin que supiera nada de las fluxiones de Newton puesto que éste nada había publicado al respecto. Dos años después, el 11 de noviembre de 1675, de acuerdo con sus notas de trabajo, Leibniz alcanzó un hito en el desarrollo de su método al lograr emplear el cálculo para encontrar el área bajo la curva de una función.
Debido a la masa de papeles supervivientes de Newton, ahora se ha establecido fuera de toda duda que Newton fue el primero en llegar al cálculo. Él desarrolló por primera vez su teoría de "fluxiones"[[iii]] entre 1665 y 1666. A mediados de 1665, Newton fue capaz de establecer los algoritmos en la generalidad con la que iban a ser expuesta por Leibniz dos décadas después. Además, esto demuestra que Newton no pudo haber plagiado a Leibniz precisamente por el hecho de que alrededor de 1665-66, Leibniz, con veinte años, todavía no sabía nada de matemáticas. Ahora, la otra pregunta que queda por responder es si Leibniz era culpable de plagio. Mientras que los historiadores rápidamente establecieron desde el principio que Newton había llegado al cálculo mucho antes que Leibniz, el caso de Leibniz era diferente. Partidarios de Newton en el siglo 20 elevaron acusaciones de plagio en contra de Leibniz, algunas de las cuales rayan lo ridículo. Por ejemplo deslizan la idea de Leibniz como un propagandista alemán acostumbrado al engaño político y al cual se lo acusa de un bien pensado plan para privar a Newton de todo el crédito. Además de inaugurar el sistema de espionaje en el ámbito científico. En este punto, sin embargo, se ha establecido más allá de toda duda de que Leibniz llegó al cálculo de manera independiente durante el período de 1673 a 1676. En el sentido de que los descubrimientos de Leibniz ocurren cronológicamente en el tiempo después de los de Newton, algunos historiadores han considerado a Leibniz como el segundo inventor del cálculo. Sin embargo, esto no impide ni debería quitarle a Leibniz el crédito que se le deba por inventar los procedimientos algorítmicos del cálculo diferencial.
Las acusaciones contra Leibniz tienen sus raíces en una secuencia de acontecimientos que se produjeron entre 1673 y 1676. Estos eventos jugaron un papel crucial en la disputa que surgió después.
Primera visita de Leibniz a Londres
Antes de 1672, Leibniz era un novato en Matemáticas. Estando en París, conoció a Christiaan Huygens y estudió bajo su tutela. En 1673, Leibniz visitó por primera vez Londres en una misión diplomática. En este momento, él sabía muy poco de Newton, pero tenía impresiones favorables de los conocidos más íntimos de Newton en la Royal Society, Henry Oldenburg[[iv]] y John Collins. Durante su estancia de dos meses en Londres, nunca conoció a Newton. Ni se enteró de nada sobre el trabajo realizado por Newton, ya que ninguna de sus obras estaban todavía impresas. Sin embargo, sí se reunió con Oldenburg y otros matemáticos, estos probablemente tenían una idea de los trabajos sobre series realizado por los matemáticos en el continente. Durante su estancia en Londres, compró una copia de las Conferencias geométricas de Isaac Barrow, el predecesor de Newton en la cátedra Lucasiana de matemáticas en Cambridge. Esto es significativo ya que Barrow había trabajado en el método de tangentes (íntimamente relacionado con el cálculo diferencial) y el libro contenía una exposición sobre este tema. Newton y sus seguidores utilizaron este hecho en el conflicto y acusaron a Leibniz de no darle el crédito merecido a Barrow. Sin embargo, los seguidores de Leibniz negaron que este haya leído dicho libro antes de desarrollar su cálculo diferencial. Fue durante esta visita a Londres que Leibniz fue acusado de plagio por Pell. Aunque Leibniz se las arregló para absolver el caso al mostrar sus notas privadas, este incidente fue utilizado más adelante por Newton contra él.
La obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió a Newton la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La foto muestra la portada de su primera edición donde además se puede ver el cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas.
Una vez que Leibniz volvió a París, comenzó a estudiar las obras matemáticas de Cavalieri, James Gregory, Pascal, Sluse y otros. También comenzó a trabajar en series. Además él estaba en correspondencia con Henry Oldenburg. De los informes matemáticos y cartas que Leibniz recibió de Oldenburg, aprendió del trabajo británico sobre las series infinitas y así se enteró de que algunos de sus trabajos sobre series había sido anticipado por los británicos (en particular, Gregory y Newton). Como resultado, Leibniz todo el tiempo tenía la impresión de que la mayor experiencia de Newton era en el método de series. Los dos famosas cartas de 1676 escrita por Newton no hizo más que confirmar esta impresión de Leibniz.
En octubre de 1675, Leibniz desarrolló las ideas de su cálculo diferencial. Dado que, hasta la fecha, ninguna de las obras de Newton habían sido publicados, Leibniz no tenía forma de saber que Newton ya había llegado al cálculo. La única manera que podía saber algo acerca de la obra de Newton era a través de su correspondencia con Oldenburg y Collins. Sin embargo, Hall menciona que esta correspondencia a principios del verano de 1675 estaba relacionada con álgebra en lugar del cálculo. Más tarde, cuando la disputa ya estaba en marcha, Los Newtonianos argumentaron que Leibniz aprendió mucho acerca de las matemáticas británicas de Tschirnhaus[[v]] que pasó algún tiempo en Inglaterra antes de su visita a Leibniz en 1675. Sin embargo, las notas hechas por Leibniz indican que sólo tenía conversaciones casuales con Tschirnhaus y por lo tanto no pudo haber aprendido mucho.
Nueva visita a Londres en 1676
Para ese entonces Leibniz llevaba más de dos años trabajando en su versión del cálculo. Durante su segunda visita a Londres se reunió con Oldenburg y Collins y con otros discípulos de Newton, nunca con éste, y cabe la posibilidad de que Collins le hubiese mostrado una copia del manuscrito de De Analysi per Equationes, que habría llegado a sus manos a través de Isaac Barrow a quien se la había prestado el propio Newton. Este tipo de intercambio científico no era extraño y, dado el carácter de Leibniz, tampoco parece ni extraño ni imposible que éste hubiese indagado hasta llegar a ver una copia del manuscrito. La avidez de Leibniz por el conocimiento era, incluso entonces, proverbial: había viajado por Europa de un extremo a otro visitando los centros culturales más importantes, conocía la mayor parte de las lenguas del viejo continente y mantenía (y mantuvo a lo largo de su vida) intercambio epistolar permanente con los académicos más destacados de su tiempo.
Collins preparó un compendio de la obra de Gregory y también del cálculo Fluxional de Newton. Durante su segunda visita a Londres en 1676, Leibniz tuvo la oportunidad obtener este compendio. Se plantea la sospecha de que Leibniz llegó a importantes conclusiones de tal lectura. El historiador Hall admite que Leibniz podía haber dado los primeros pasos independientes sobre diferenciación, y luego, al ver La obra de Newton y de haber apreciado su valor, pasó a "Tomar prestado" el desarrollo del cálculo con su propia notación. Leibniz tomó largas notas sobre el Análisis de Newton, escrito en 1669, pero estas notas se ocupaban exclusivamente de series. Leibniz hizo alusiones breves y oscuras a lo que es el equivalente a la diferenciación de Newton porque no había en ello nada nuevo para él. Por lo tanto, si se acepta que Leibniz desarrolló su cálculo diferencial en 1675, este razonamiento suena muy plausible.
A su regreso de Londres, lleno de nuevas ideas, Leibniz siguió con fervor desde París los avances matemáticos de los británicos en especial a través de un constante intercambio epistolar con Oldenburg. La correspondencia Leibniz-Oldenburg muestra el interés de Leibniz no sólo por todos los problemas científicos de entonces, sino ante todo por los relacionados con series infinitas y curvaturas. En varias ocasiones, cuando Oldenburg no se consideró en capacidad de responder las preguntas de su corresponsal, remitió la carta a alguno de los miembros de la Royal Society para que le diera respuesta directa.
Cartas entre Newton y Leibniz
En una de esas ocasiones la carta de Leibniz a Oldenburg terminó en manos de Newton quien, a pesar de su renuencia, le dio respuesta. La primera misiva de Newton a Leibniz fechada el 13 de junio de 1676 y conocida como epístola prior, está llena de generalidades sobre el desarrollo de las matemáticas británicas. En junio de 1676, Newton Menciona que todas las curvas por lo tanto pueden ser reducidas a series infinitas y que las áreas y longitudes de curvas, y los volúmenes y superficies de sólidos puede calcularse a partir de estas series. Newton no discute fluxiones en toda la carta. Newton no habla de su cálculo fluxional explícitamente y dado que Leibniz pensaba que Newton esencialmente era un experto en el método de series, Leibniz no vio ninguna similitud con su propio trabajo sobre el cálculo. Inmediatamente, De todas maneras, es indudable que, a partir de las preguntas de su interlocutor, Newton había captado que los hallazgos de Leibniz iban en la misma dirección que su Método de las Fluxiones y Fluentes, pero como no sabía qué tan cerca estaba, no quería darle la más mínima pista.
En su inmediata respuesta a la epístola prior, el 27 de agosto de 1676, Leibniz se muestra demasiado entusiasmado con las vagas respuestas de Newton e indaga por más, añadiendo al final que él mismo posee un Nuevo Método capaz de resolver todos esos problemas mencionados por Newton sin necesidad de los múltiples métodos individuales que serían necesarios para resolver cada caso particular.
Se tiene una curva continua no cerrada cuya ecuación es y = f(x) en coordenadas cartesianas. Si Procedemos como Arquímedes hizo, dividiendo el área pedida en fajas paralelas de igual anchura, considerando estas fajas como rectángulos, despreciando los fragmentos triangulares superiores, sumando las áreas de todos estos rectángulos, y finalmente calculando el límite de esta suma cuando el número de rectángulos aumenta indefinidamente, se puede obtener el area de la curva. Este limite se puede obtener empleando el teorema fundamental del calculo, que Newton logró desarrollar, en donde la integral de f(x) de 'a' a 'b'(el area que queremos calcular) es igual a la derivada de f(x) en a menos la derivada de f(x) en b ó F(a)-F(b).
Ante semejante afirmación, la segunda misiva de Newton, conocida como epístola posterior, no se hizo esperar. Fechada el 24 de octubre de 1676, ya es obvio en ella que Newton no quería seguir jugando al gato y al ratón y que había comprendido el alcance de la invención de Leibniz. La conjetura de Newton era que, si era cierta la afirmación de aquél sobre el tal Nuevo Método, era éste una herramienta superior o por lo menos igual de poderosa a su inédito Método de las Fluxiones y Fluentes y, en consecuencia, lo que en realidad preguntaba Leibniz con tanta insistencia a los miembros de la Royal Society a través de Oldenburg era si los británicos habían desarrollado algo similar o cercano al Nuevo Método. Puesto que la respuesta estaba ahora en manos del propio Newton, éste tuvo muy claro que en su réplica a Leibniz no podía quedar ninguna duda sobre a quién correspondía la prioridad en la invención de un método cualquiera para hacer esos cálculos, pero Newton ya había calibrado la enormidad de los conocimientos de Leibniz; de hecho, en la misiva a Oldenburg que acompañaba a la epistola posterior antes de que éste la reenviara a Leibniz lo reconoce abiertamente (aunque a su manera): “Leibniz ha desarrollado varios métodos, uno de los cuales es desconocido para mí”. Si algo tenía claro Newton era qué responderle a Leibniz, incluso de manera indirecta mostrándole en acción lo que podía hacer a partir de su método, así fuese con un solo ejemplo, hubiese significado señalarle la vía hacia el sendero secreto de su nunca publicado Método de las Fluxiones y Fluentes. En esta segunda carta que Newton escribió en Octubre 1676 como una respuesta a la carta de Leibniz, Newton mencionó que había obtenido un método general de dibujar tangentes, para determinar los mínimos y máximos y otros temas que no quería revelar. Ocultó la mención de "fluxiones" y "fluentes" (que son en cierto modo, similar a las derivadas e integrales), en un anagrama. Por lo tanto, estas dos cartas de 1676 no le dijo mucho a Leibniz acerca del cálculo fluxional de Newton salvo que Newton tenía algo similar al cálculo desarrollado por Leibniz.
Mediante ambos artilugios, el anagrama y el criptograma, Newton escondió una frase que, una vez develada, probaría de manera indudable que, al momento de sellar el enigma, poseía un método matemático capaz de realizar todos los cálculos que afirmaba. Dejar una respuesta cifrada en una carta o en una presentación académica era un método bastante común en esos días de asegurar la prioridad de un descubrimiento sin revelarlo. Obviamente, Newton lo sabía, su acertijo era indescifrable mediante cualquier método diferente a preguntarle al propio Newton cuáles habían sido las claves utilizadas, primero para transponer todas las letras de la frase original en una nueva frase y, segundo, para codificar por sustitución cada letra remplazándola por una diferente o por un número.
Newton reivindicaría, justificadamente, que: “... no se resolvió ni un solo problema de los que no se habían resuelto anteriormente...”.
Ahora bien, cuando la epístola posterior llegó a París, Leibniz ya no estaba allí, se había trasladado a Hanover. La carta no lo alcanzaría sino ocho meses después, en junio de 1677. Leibniz le respondió a Newton el 21 de ese mismo mes con una carta transparente, sin ambigüedades, sin anagramas ni criptogramas, revelándole su Nuevo Método: todo cuanto ha desarrollado del cálculo integral, de sus reglas, de su algoritmo, de la manera de formar ecuaciones diferenciales y de cómo aplicar este proceso a la geometría analítica. En ese momento Newton tuvo la certeza de que no se había equivocado un ápice en su valoración inicial de las capacidades de Leibniz, de hecho el método de las fluxiones carecía de un algoritmo general como el que poseía el Nuevo Método de Leibniz y por tanto no tenía ni la generalidad ni los alcances de éste. Al fin de cuentas, Newton había ido desarrollando su método de manera sintética, como se solía decir entonces, partiendo de problemas concretos (en su caso los del movimiento de los cuerpos) para llegar a generalizaciones cada vez más vastas pero nunca completas.
Extrañamente, Newton nunca dio respuesta a la carta de Leibniz, y por el momento tampoco comentó nada a nadie sobre el Nuevo Método que Leibniz había desarrollado y que, además, le había comunicado sin tapujos. El 3 de septiembre de 1677, a los 58 años de edad, murió Oldenburg como consecuencia de una enfermedad febril, de tal manera que no hubo quien acicateara la correspondencia entre los dos. En un comentario que haría Newton veinte años más tarde con respecto a la respuesta de Leibniz, dejó en claro que consideraba que éste se había tomado ocho meses sin responder su epístola posterior con el único fin de preparar la respuesta, comentario que obliga a pensar que Newton no tomó en cuenta que su epístola posterior había tardado todo ese tiempo en llegar a manos del destinatario.
