TOMADO DE:http://www.taringa.net/LucaBeatle/mi/jv1R
MATEMÁTICA PARA TODOS
sábado, 13 de septiembre de 2014
Medida en el Antiguo Egipto
¿Cómo medían la longitud?
Las unidades de longitud empleadas por los antiguos egipcios son de naturaleza antropomórfica, es decir, tienen relación con medidas corporales. De esta forma se pueden encontrar tanto una unidad fundamental (codo o cubito) como subunidades relacionadas del mismo tipo:
La unidad administrativa que supuso la organización centralizada de Egipto conllevó la adopción de unidades comunes para las distintas partes del país. Sin embargo, recientemente se ha sostenido el hecho de que la unidad de longitud antes expuesta debe recibir el calificativo de 'codo real', siendo su uso el más extendido en la administración, en contraposición a otra unidad denominada 'codo corto'.
Este 'codo corto' sería un palmo más reducido ( 1 codo corto = 6 palmos ) y su utilización estaría presente en todas las formas artísticas (pintura y escultura). Más cuestionable es el hecho de si existían subunidades de la misma naturaleza antropomórfica para el 'codo corto', entre las que habría que contar:
Sin embargo, una alternativa a estas fracciones de 'setat' la constituía el 'codo de tierra', equivalente a una franja del 'setat' de 1 'khet' de largo (100 codos) por un codo de ancho, es decir, 100 codos cuadrados.
¿Cómo medían la capacidad?
Algunos problemas matemáticos del papiro Rhind se refieren al cálculo del volumen y la capacidad subsiguiente de un granero. Para ello se calcula dicho volumen multiplicando la superficie de la base por la altura de forma que, al darse estas medidas en codos, el resultado se expresa en codos cúbicos. Pero al escriba egipcio no le importaba tanto el volumen como la capacidad expresable por la cantidad de grano que era posible almacenar. Esta capacidad se expresaba en 'khar', la unidad fundamental de mayor tamaño. Así pues, conviene precisar en primer lugar la relación del 'khar' con los codos cúbicos y la existencia y relaciones de subunidades del 'khar' dentro de las de menor tamaño.
Sin embargo, no se puede abandonar esta pregunta sin referirse brevemente a una fracción aún más pequeña del heqat, en concreto la correspondiente a 1/320 de heqat que, expresado como 'ro', equivale a la cantidad de grano que un hombre puede llevarse a la boca y cuyo símbolo será el utilizado preferentemente al representar las distintas fracciones.
¿Cómo pesaban y determinaban el precio?
Egipto careció durante la mayor parte de su historia antigua de una moneda acuñada. Sin embargo, al objeto de realizar transacciones aplazadas se utilizaban distintos pesos tanto de cobre (en el uso cotidiano) como de plata e incluso oro (fundamentalmente en la administración).
El peso que se utilizaba en estos casos era el 'deben', correspondiente en la actualidad a unos 91 gramos. Así, se registraba el uso del deben de cobre y de plata e incluso el medio deben de cada material. Para la plata sola también se utilizaba la décima parte del peso del deben, llamado 'kite'. Un kite de cobre no era planteable porque su peso (unos 9 gramos) sería de muy escaso valor.
Dado que en distintos papiros administrativos se encuentra una equivalencia entre un kite de plata y 10 deben de cobre, se puede afirmar que, durante la mayor parte de la historia antigua de Egipto, se utilizaron las equivalencias:
Aunque estas medidas del peso se utilizaban asiduamente, es necesario recordar que las transacciones económicas, sobre todo entre particulares, consistían en trueques. Por ello, para unos campesinos o miembros de la pequeña nobleza que no disponían de cobre y plata suficientes, los trueques debían realizarse con todo tipo de elementos (grano, utensilios, aceite, etc.). Este hecho provocaba que se alternase en el trueque el peso en deben o kite junto a medidas de capacidad equivalentes así como directamente objetos susceptibles de ser cambiados.
Con el uso cotidiano, se puede extraer de los ostraca encontrados una cierta regularidad en cuanto a las equivalencias, como es el hecho de que un deben de cobre resultaba similar en cuanto precio a 1/5 de 'sniw' (una pieza de plata de introducción tardía), así como a 1/2 khar de grano o 2 oipe de líquido. Todo esto comportaba una serie de reglas que determinaban en cada época las formas de transacción oportunas.
TOMADO DE:http://personal.us.es/cmaza/egipto/aritmetica2.htm
Las unidades de longitud empleadas por los antiguos egipcios son de naturaleza antropomórfica, es decir, tienen relación con medidas corporales. De esta forma se pueden encontrar tanto una unidad fundamental (codo o cubito) como subunidades relacionadas del mismo tipo:
- La unidad principal es el 'codo', equivalente a 52,3 cm.
- La primera subunidad del codo es el 'palmo', de manera que 1 codo = 7 palmos.
- La siguiente subunidad es el 'dedo', resultando que 1 palmo = 4 dedos y, por tanto, 1 codo = 28 dedos.
La unidad administrativa que supuso la organización centralizada de Egipto conllevó la adopción de unidades comunes para las distintas partes del país. Sin embargo, recientemente se ha sostenido el hecho de que la unidad de longitud antes expuesta debe recibir el calificativo de 'codo real', siendo su uso el más extendido en la administración, en contraposición a otra unidad denominada 'codo corto'.Este 'codo corto' sería un palmo más reducido ( 1 codo corto = 6 palmos ) y su utilización estaría presente en todas las formas artísticas (pintura y escultura). Más cuestionable es el hecho de si existían subunidades de la misma naturaleza antropomórfica para el 'codo corto', entre las que habría que contar:
- El 'antebrazo', equivalente a los 4 palmos entre el codo y la muñeca.
- El 'puño cerrado', correspondiente al resto del 'codo corto', o sea 2 palmos.
- El 'remen' ( 5 palmos ), distancia entre el hombro y el codo.
¿Cómo medían la superficie?
El problema 50 del importante papiro Rhind muestra el cálculo de un campo donde se multiplican los lados de un cuadrado de longitud 8 'khet' para obtener 64 'setat' de tierra. Dado que el 'khet' era un múltiplo del codo equivalente a 1 khet = 100 codos reales todo ello indica que:
- El 'setat' es la unidad fundamental de superficie equivalente a un cuadrado de 1 'khet' de lado.
- Dada la equivalencia del 'khet' de longitud, resulta que 1 setat = 10.000 codos cuadrados.
Sin embargo, una alternativa a estas fracciones de 'setat' la constituía el 'codo de tierra', equivalente a una franja del 'setat' de 1 'khet' de largo (100 codos) por un codo de ancho, es decir, 100 codos cuadrados.
¿Cómo medían la capacidad?
Algunos problemas matemáticos del papiro Rhind se refieren al cálculo del volumen y la capacidad subsiguiente de un granero. Para ello se calcula dicho volumen multiplicando la superficie de la base por la altura de forma que, al darse estas medidas en codos, el resultado se expresa en codos cúbicos. Pero al escriba egipcio no le importaba tanto el volumen como la capacidad expresable por la cantidad de grano que era posible almacenar. Esta capacidad se expresaba en 'khar', la unidad fundamental de mayor tamaño. Así pues, conviene precisar en primer lugar la relación del 'khar' con los codos cúbicos y la existencia y relaciones de subunidades del 'khar' dentro de las de menor tamaño.
- Un 'khar' equivalía a 2/3 de codo cúbico, lo que se corresponde con el hecho de que un codo cúbico fuera igual a un khar y medio, estableciéndose una de las correspondencias más interesantes desde el punto de vista aritmético entre dos fracciones recíprocas: 1 1/2 y 2/3.
- Si el 'khar' se dividía en veinte partes iguales se obtenía otra de las unidades más utilizadas, el 'heqat'. En ocasiones cuatro de estas últimas se expresaban como 'heqat-cuádruple' (también denominado 'oipe', preferentemente al tratar de líquidos).
- 1 khar = 5 heqat-cuádruple = 20 heqat = 200 hin
- 1 heqat-cuádruple = 4 heqat = 40 hin
- 1 heqat = 10 hin
Sin embargo, no se puede abandonar esta pregunta sin referirse brevemente a una fracción aún más pequeña del heqat, en concreto la correspondiente a 1/320 de heqat que, expresado como 'ro', equivale a la cantidad de grano que un hombre puede llevarse a la boca y cuyo símbolo será el utilizado preferentemente al representar las distintas fracciones.
¿Cómo pesaban y determinaban el precio?
Egipto careció durante la mayor parte de su historia antigua de una moneda acuñada. Sin embargo, al objeto de realizar transacciones aplazadas se utilizaban distintos pesos tanto de cobre (en el uso cotidiano) como de plata e incluso oro (fundamentalmente en la administración).
El peso que se utilizaba en estos casos era el 'deben', correspondiente en la actualidad a unos 91 gramos. Así, se registraba el uso del deben de cobre y de plata e incluso el medio deben de cada material. Para la plata sola también se utilizaba la décima parte del peso del deben, llamado 'kite'. Un kite de cobre no era planteable porque su peso (unos 9 gramos) sería de muy escaso valor.
Dado que en distintos papiros administrativos se encuentra una equivalencia entre un kite de plata y 10 deben de cobre, se puede afirmar que, durante la mayor parte de la historia antigua de Egipto, se utilizaron las equivalencias:
- 1 deben de plata = 10 kite de plata
- 1 kite de plata = 10 deben de cobre
- 1 deben de plata = 100 deben de cobre
Aunque estas medidas del peso se utilizaban asiduamente, es necesario recordar que las transacciones económicas, sobre todo entre particulares, consistían en trueques. Por ello, para unos campesinos o miembros de la pequeña nobleza que no disponían de cobre y plata suficientes, los trueques debían realizarse con todo tipo de elementos (grano, utensilios, aceite, etc.). Este hecho provocaba que se alternase en el trueque el peso en deben o kite junto a medidas de capacidad equivalentes así como directamente objetos susceptibles de ser cambiados.
Con el uso cotidiano, se puede extraer de los ostraca encontrados una cierta regularidad en cuanto a las equivalencias, como es el hecho de que un deben de cobre resultaba similar en cuanto precio a 1/5 de 'sniw' (una pieza de plata de introducción tardía), así como a 1/2 khar de grano o 2 oipe de líquido. Todo esto comportaba una serie de reglas que determinaban en cada época las formas de transacción oportunas.
TOMADO DE:http://personal.us.es/cmaza/egipto/aritmetica2.htm
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA EN EGIPTO ¿Qué necesitaban cuantificar?
El antiguo egipcio tuvo varias necesidades que le llevaron a cuantificar en primer lugar y a expresar los resultados numéricos de dicha cuantificación posteriormente. Existe una cuantificación primitiva, al igual que en otros pueblos, sobre distintos elementos a contar: cabezas de ganado, hombres que van a luchar, lunaciones, distancias a recorrer, etc. Estas necesidades pueden o no dar lugar al empleo de grandes números. Son conocidas las denominaciones primitivas que rebelan un uso limitado de la numeración del tipo uno-dos-tres-muchos.
Sin embargo, las necesidades de cuantificación se extienden y requieren un mayor rigor en la descripción numérica cuando Egipto establece, gracias a un gobierno centralizado, una burocracia destinada a la administración de los bienes. De esta forma, se hace necesario precisar el número de hombres disponibles mediante un censo, las provisiones a llevar en cualquier expedición militar o comercial, la extensión de las superficies de cultivo, la productividad de las mismas, las tasas que se imponen al campesinado. Del mismo modo se hace necesario guardar la cosecha, llevar un inventario del grano disponible, de la capacidad de los graneros que lo albergan. En suma, un conjunto de situaciones administrativas que están en la base, por medio de la contabilidad oportuna, de un uso generalizado del número como expresión escrita de la cuantificación realizada.
A pesar de que estas necesidades hagan de la cuantificación y su expresión posterior una actividad cotidiana entre los escribas, existen otras que se relacionan bien con el culto, bien con la necesidad de glorificar el poder del faraón. Así, en el culto resultaba necesario precisar por escrito la cantidad de ofrendas que se debían presentar en la tumba del fallecido:
El sistema de numeración egipcio es decimal. Esto quiere decir que agrupaban las unidades por un lado, las decenas por otro, centenas después, etc., exactamente de la misma forma que actualmente. Naturalmente, ello requiere el empleo de símbolos para designar las cantidades dentro del mismo grupo. En el sistema indo-arábigo que sigue el Occidente hoy en día se utilizan un total de diez símbolos (del 0 al 9) dentro de cada grupo (unidades, decenas, centenas, etc.). Los egipcios, sin embargo, usaban distintos símbolos para cada uno de los elementos de cada grupo, repitiendo ese símbolo tantas veces como fuera necesario para describir la cantidad de elementos de ese grupo.
Así, 246 describe hoy la existencia de seis unidades, cuatro decenas y dos centenas. En la forma numérica egipcia la unidad se repetiría seis veces, el símbolo de la decena se repetiría cuatro veces y aparecerían dos signos de la centena. Esta forma aditiva de numeración implicaba el uso de un conjunto de símbolos jeroglíficos, como se ha comentado, para describir un elemento de cada grupo (una unidad, una decena, una centena, etc.).
Sin embargo, las necesidades de cuantificación se extienden y requieren un mayor rigor en la descripción numérica cuando Egipto establece, gracias a un gobierno centralizado, una burocracia destinada a la administración de los bienes. De esta forma, se hace necesario precisar el número de hombres disponibles mediante un censo, las provisiones a llevar en cualquier expedición militar o comercial, la extensión de las superficies de cultivo, la productividad de las mismas, las tasas que se imponen al campesinado. Del mismo modo se hace necesario guardar la cosecha, llevar un inventario del grano disponible, de la capacidad de los graneros que lo albergan. En suma, un conjunto de situaciones administrativas que están en la base, por medio de la contabilidad oportuna, de un uso generalizado del número como expresión escrita de la cuantificación realizada.
A pesar de que estas necesidades hagan de la cuantificación y su expresión posterior una actividad cotidiana entre los escribas, existen otras que se relacionan bien con el culto, bien con la necesidad de glorificar el poder del faraón. Así, en el culto resultaba necesario precisar por escrito la cantidad de ofrendas que se debían presentar en la tumba del fallecido:
Una ofrenda que el rey da y Osiris, señor de Busiris; una voz-ofrenda a Neferyu. 1000 libaciones de agua y pan, 1000 cervezas, 1000 de carne, ave y gacelas, 1000 oryx, 1000 alabastros, 1000 ropas, 1000 de todas las cosas buenas para el Neferyu honrado
Además, la glorificación del faraón en estelas y monumentos debía mencionar sus posesiones, sus conquistas. En la maza del rey Narmer ya se menciona un importante botín, que se mencionará en la siguiente pregunta, pero esta necesidad de cuantificación se expresa en los mismos términos en el templo de Karnak para describir el botín obtenido por Tutmosis III en la ciudad asiática de Meggido:
340 prisioneros vivos; 83 manos; 2401 caballos, 191 yeguas, 6 sementales... 892 carros que habían pertenecido a su ejército
¿Qué símbolos jeroglíficos utilizaron?
Así, 246 describe hoy la existencia de seis unidades, cuatro decenas y dos centenas. En la forma numérica egipcia la unidad se repetiría seis veces, el símbolo de la decena se repetiría cuatro veces y aparecerían dos signos de la centena. Esta forma aditiva de numeración implicaba el uso de un conjunto de símbolos jeroglíficos, como se ha comentado, para describir un elemento de cada grupo (una unidad, una decena, una centena, etc.).
- La unidad se representa por una barra vertical, como en otras culturas de la Antigüedad.
- La decena (una U invertida) puede representar la cuerda que sirviese antiguamente para atar diez manojos de palos.
- La centena (una espiral) es un símbolo de una cuerda, material fundamental para la realización de las medidas de un campo.
- El millar (una flor de loto) muestra la más abundante flor acuática que crecía en la orilla del Nilo.
- La decena de millar (un dedo levantado y algo flexionado) recuerda los conteos manuales que se realizaban en todas las culturas antiguas.
- La centena de millar (un renacuajo), al igual que la flor de loto, recoge un símbolo de un elemento muy abundante en el río.
- El millón (un hombre arrodillado con los brazos hacia arriba) puede representar tanto el gesto de un hombre asustado ante la inmensidad de las estrellas del cielo o sujetando la bóveda celeste.
¿Cómo escribieron grandes números?
Posiblemente la maza del rey Narmer sea el primer testimonio numérico en la historia egipcia. En su parte inferior aparecen algunos animales con símbolos numéricos bajo ellos. Así, al toro le acompañan las figuras 
de cuatro renacuajos mientras que bajo una cabra se muestran cuatro figuras como las anteriores junto a dos dedos flexionados, un hombre extendiendo los brazos y dos flores de loto. En otras palabras y tras el examen anterior de los símbolos numéricos, 400.000 toros y 1.422.000 cabras. De igual modo, en una estatua del rey Jasejem encontrada en Hierakómpolis han de describirse los 47.209 enemigos muertos por el faraón.
Inicialmente, estas cantidades parecen haberse dibujado desordenadamente pero muy pronto se empezaron a escribir de derecha a izquierda y desde las de mayor valor a las de menor (es decir, en el mismo orden pero en sentido contrario del nuestro occidental). Al ser de carácter aditivo y presentarse las unidades de distinto orden como claramente reconocibles resulta, en todo caso, indistinto el orden empleado. En efecto, cuatro unidades (4 trazos verticales) y tres decenas (3 U invertidas) pueden mostrarse en el orden que se quiera. Siempre representarán las mismas cantidades.
En líneas generales, se puede afirmar del sistema de numeración egipcio, sistema que permite la descripción de grandes cantidades, que sus principales características son:
de cuatro renacuajos mientras que bajo una cabra se muestran cuatro figuras como las anteriores junto a dos dedos flexionados, un hombre extendiendo los brazos y dos flores de loto. En otras palabras y tras el examen anterior de los símbolos numéricos, 400.000 toros y 1.422.000 cabras. De igual modo, en una estatua del rey Jasejem encontrada en Hierakómpolis han de describirse los 47.209 enemigos muertos por el faraón.Inicialmente, estas cantidades parecen haberse dibujado desordenadamente pero muy pronto se empezaron a escribir de derecha a izquierda y desde las de mayor valor a las de menor (es decir, en el mismo orden pero en sentido contrario del nuestro occidental). Al ser de carácter aditivo y presentarse las unidades de distinto orden como claramente reconocibles resulta, en todo caso, indistinto el orden empleado. En efecto, cuatro unidades (4 trazos verticales) y tres decenas (3 U invertidas) pueden mostrarse en el orden que se quiera. Siempre representarán las mismas cantidades.
En líneas generales, se puede afirmar del sistema de numeración egipcio, sistema que permite la descripción de grandes cantidades, que sus principales características son:
- Es un sistema decimal que dispone de símbolos específicos para las unidades del mismo orden.
- Es aditivo dentro de cada unidad.
- No conoce el valor de posición, ya que cada símbolo representa la cantidad asociada al mismo independientemente del orden en que aparezca.
- No tiene símbolo para el cero, por cuanto no hay necesidad de representar la ausencia de unidades en un orden determinado.
¿Qué símbolos hieráticos emplearon?
El lenguaje jeroglífico era de difícil ejecución limitándose desde los primeros tiempos de la historia egipcia a los textos sagrados, ofrendas e invocaciones propias del culto. La naturaleza de estos escritos, fundamentalmente religiosa, se asociaba al elemento sobre el que escribir: las paredes de piedra de los templos y las tumbas, así como las estelas. Sin embargo, el uso administrativo común requería de una mayor facilidad de realización de escritos. En ocasiones se utilizaban trozos de cerámica o piedras aplanadas (los ostraca) pero éste era un material precindible, un material en el que establecer un acuerdo concreto, unas cuentas provisionales.
De forma general los escribas de la administración egipcia usaron como material donde escribir el papiro, una planta que crecía abundantemente en el Delta del Nilo y cuyo tallo, tratado adecuadamente, daba lugar a unas extensiones flexibles de superficie vegetal donde se podía escribir mediante un junco de punta suavizada y utilizando una tinta lograda por la mezcla de hollín y otros pigmentos minerales con el agua.
Estas herramientas permitieron un trazado flexible y cursivo de los símbolos que dieron paso, desde los primeros tiempos dinásticos, a la escritura hierática. Dentro de ella se conformaron los símbolos numéricos que respondían, salvo en un detalle, al esquema numérico que se ha tratado en preguntas anteriores. La cuestión diferente respecto a la numeración jeroglífica consiste en la aparición de abreviaturas para denotar un número concreto de unidades. Así, hasta el cuatro se conservan tantos trazos rectos como indica la cantidad pero el cinco introduce, no otros tantos trazos rectos, sino uno largo y dos cortos. Algo semejante pasará en otras cantidades como el siete, el ocho o el nueve. Algo semejante sucede en las decenas. De este modo, se eludía en la práctica el trazado exhaustivo de tantos elementos como cantidades hubiera en un orden determinado. Con ello, una cantidad como 2.959, que requería 25 signos en jeroglífico se reducía solamente a cinco en el hierático.
Al no contar con el valor posicional de las cifras, una desventaja de este procedimiento de escritura numérica hierática es el hecho de que multiplicaba el número de símbolos que el escriba tenía que aprender. De este modo, para escribir un número de cuatro cifras, el escriba debía memorizar cuatro símbolos diferentes en jeroglífico que se transformaban en 36 en el hierático (9 símbolos diferentes para cada orden de unidades).
De forma general los escribas de la administración egipcia usaron como material donde escribir el papiro, una planta que crecía abundantemente en el Delta del Nilo y cuyo tallo, tratado adecuadamente, daba lugar a unas extensiones flexibles de superficie vegetal donde se podía escribir mediante un junco de punta suavizada y utilizando una tinta lograda por la mezcla de hollín y otros pigmentos minerales con el agua.Estas herramientas permitieron un trazado flexible y cursivo de los símbolos que dieron paso, desde los primeros tiempos dinásticos, a la escritura hierática. Dentro de ella se conformaron los símbolos numéricos que respondían, salvo en un detalle, al esquema numérico que se ha tratado en preguntas anteriores. La cuestión diferente respecto a la numeración jeroglífica consiste en la aparición de abreviaturas para denotar un número concreto de unidades. Así, hasta el cuatro se conservan tantos trazos rectos como indica la cantidad pero el cinco introduce, no otros tantos trazos rectos, sino uno largo y dos cortos. Algo semejante pasará en otras cantidades como el siete, el ocho o el nueve. Algo semejante sucede en las decenas. De este modo, se eludía en la práctica el trazado exhaustivo de tantos elementos como cantidades hubiera en un orden determinado. Con ello, una cantidad como 2.959, que requería 25 signos en jeroglífico se reducía solamente a cinco en el hierático.
Al no contar con el valor posicional de las cifras, una desventaja de este procedimiento de escritura numérica hierática es el hecho de que multiplicaba el número de símbolos que el escriba tenía que aprender. De este modo, para escribir un número de cuatro cifras, el escriba debía memorizar cuatro símbolos diferentes en jeroglífico que se transformaban en 36 en el hierático (9 símbolos diferentes para cada orden de unidades).
TOMADO DE:http://personal.us.es/cmaza/egipto/aritmetica1.htm
Suscribirse a:
Entradas (Atom)