LAS GEOMETRÍAS NO-EUCLIDIANAS

LAS GEOMETRÍAS NO-EUCLIDIANAS

AL HABLAR de los sabios griegos, mencionamos que la geometría y las teorías físicas sobre la gravitación han evolucionado de la mano. El desarrollo de una de estas ramas de la ciencia influyó siempre sobre la otra. Esta afirmación es muy clara si nos referimos a la teoría general de la relatividad: las ideas de Einstein sobre la gravitación son profundamente geométricas. Como ya vimos en la nota histórica escrita por el propio Einstein, la presencia de una masa gravitacional altera la estructura del espaciotiempo, curvándolo. Por ello, para establecer sus ecuaciones del campo gravitatorio, Einstein empleó los conceptos de la geometría de espacios curvos, propuesta el siglo pasado por Riemann. La geometría riemanniana forma parte de lo que hoy se llama la geometría no-euclidiana, pedazo de las matemáticas cuya historia fascinante ahora relataremos.

Euclides resumió en sus Elementos lo que en su tiempo sabían los griegos sobre la geometría. Su tratado es, como los Principia, o los libros de Maxwell sobre la teoría electromagnética, o El origen de las especies de Darwin, un libro de síntesis, donde se recolectan los conocimientos de una ciencia y se relacionan hechos en apariencia disconexos. En su libro, Euclides formula las premisas fundamentales de la geometría, con el uso de postulados y axiomas. De éstos, el que habría de alcanzar una mayor notoriedad es el quinto postulado, que se refiere a la existencia de una línea paralela a otra, es decir, de dos líneas rectas que no se cortan. Según el postulado quinto, por un punto fuera de una recta sólo se puede trazar una paralela a esta última.

En el quinto postulado, que Euclides formuló de manera complicada, está implícito el concepto de infinito, y por ello desde tiempos muy remotos se trató de expresarlo de manera diferente para, de plano, eliminar el postulado y deducirlo de otros axiomas. En sus intentos, muchos matemáticos reemplazaron el postulado quinto por otras aseveraciones que luego buscaban demostrar. Un ejemplo de esas afirmaciones es: la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. Otro ejemplo lo dio el mismo Gauss, uno de los mayores matemáticos de la historia, quien sustituyó el quinto postulado de Euclides por otro supuesto: existen triángulos con áreas tan grandes como se quiera. Parece ser que el gran Gauss llegó a plantear correctamente la cuestión y, finalmente, decidió abandonar el postulado quinto. No se atrevió a publicar sus deducciones, tal vez por temor a las críticas que resultarían si alguien como él se desviaba de una verdad absoluta tan evidente.

Fue el joven matemático ruso Nikolai Lobachevski quien en 1826 finalmente se percató de que el quinto postulado no puede deducirse de las otras proposiciones fundamentales de la geometría y se atrevió a negar la "verdad evidente" de ese postulado de Euclides. Tomó como cierta la proposición contraria: por un punto fuera de una línea recta, se puede trazar no una, sino al menos dos líneas paralelas a ella. De ahí dedujo una larga serie de teoremas, sin llegar a contradicción alguna. Con su trabajo, Lobachevski enseñó no sólo que el postulado quinto es indemostrable sino algo aún más importante: desde un punto de vista estrictamente lógico, se pueden concebir varias geometrías: la de Euclides cede su lugar como verdad absoluta.

Como otros grandes avances en el conocimiento, las ideas de Lobachevski no fueron aceptadas de inmediato; ideas tan radicales, que chocaban con los prejuicios de casi todos los matemáticos, no habrían de anclarse fácilmente como parte de la ciencia. Sin embargo, Lobachevski defendió sus ideas, que ahí quedaron como la esencia de una gran revolución en la geometría. Igual que sucedió con otros grandes hitos en la ciencia —como ocurrió, por ejemplo, con el cálculo diferencial que inventaron casi al mismo tiempo Newton y Leibniz—, la idea de una geometría no-euclidiana surgió de muchos autores. Ya hemos mencionado al gran Gauss; también el matemático húngaro Janos Bolyai descubrió la imposibilidad de probar el quinto postulado y publicó sus resultados en un apéndice al tratado sobre geometría que escribió su padre en 1832, tres años depués que Lobachevski. Además de Bolyai, los matemáticos alemanes Schweikart y Taurinus seguían también sendas parecidas. No obstante, el joven ruso llegó más lejos y por ello la nueva geometría lleva su nombre.

En el preciso instante en que se reemplaza el postulado quinto de Euclides por el de Lobachevski, las figuras geométricas que tanto ayudan para entender mejor la geometría elemental dejan de ser útiles. La hoja del cuaderno que usamos en la escuela secundaria es un plano euclidiano. En esa hoja plana es imposible construir esquemas a la Lobachevski. Para ello requeriríamos de una superficie en forma de corneta, que técnicamente se llama seudoesfera. Si en lugar de líneas rectas usamos las líneas más cortas en la seudoesfera —líneas que llamaremos geodésicas—, la geometría intrínseca de esa corneta coincide con la del plano a la Lobachevski, plano en que por un punto fuera de una recta puede trazarse más de una línea paralela a ella. En 1868, el geómetra italiano Beltrami descubrió lo que acabamos de mencionar y la actitud de los matemáticos cambió de pronto: de algo ficticio, la geometría no-euclidiana de Lobachevski se tornó en algo real.

En la geometría de Lobachevski se pueden probar muchos teoremas, que parecen extraños pues no son válidos en el plano euclidiano que nos es familiar. Basten algunos ejemplos para ser conscientes de cuán rara es la geometría no-euclidiana: Dos líneas paralelas se cortan en el punto del infinito, pero su distancia crece indefinidamente en la dirección contraria; si dos líneas tienen una perpendicular común, la distancia entre ellas se vuelve infinita al alejarnos de esa perpendicular en cualquier dirección; la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre menor que 180° y no puede haber triángulos con un área tan grande como se quiera; la circunferencia ya no vale 2p veces el radio, y el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos ha de ser modificado. Por otro lado, para regiones muy pequeñas del espacio, la geometría de Lobachevski se parece mucho a la de Euclides. Decimos que ésta es un caso límite de aquélla. La nueva teoría incluye a la antigua, representa un caso más general; nuestro conocimiento ha, pues, avanzado.

La década de los setentas del siglo pasado fue crucial para las nuevas ideas geométricas. Ya mencionamos que en 1868 Beltrami dio un ejemplo real de la geometría de Lobachevski al demostrar que la seudoesfera, intrínsecamente, cumple las condiciones no-euclidianas de esa nueva geometría. Sin embargo, el ejemplo del matemático italiano no es completo, pues superficies como la seudoesfera no pueden extenderse infinitamente en todas las direcciones sin que hallemos puntos singulares. Lo último no es cierto para el plano de Lobachevski y, por ello, la geometría intrínseca de la seudoesfera no es equivalente a la de todo el plano a la Lobachevski. En 1870, sin embargo, el matemático alemán Klein encontró otra forma de cumplir los postulados de esa geometría no-euclidiana. Más aún, Klein mismo propuso en 1872, durante una conferencia en la Universidad de Erlangen, lo que habría de llamarse el "Programa de Erlangen", en el que se resumían los avances geométricos recientes —la geometría proyectiva, la afín, por mencionar sólo dos de ellos— y se requería la investigación de las propiedades de las figuras geométricas bajo una transformación que podría ser arbitraria salvo que siempre llevara de un solo punto a otro solo punto del espacio. Surgen así muchas otras geometrías —la conforme, por ejemplo— y se abre el camino al estudio de los espacios geométricos abstractos. Ya no se limitaría nuestro análisis a las figuras en el plano, o en el espacio de tres dimensiones en que nos movemos; ahora podríamos pensar en muchas dimensiones y en variables no forzosamente espaciales. Así, por ejemplo, hablamos del espacio de las variables termodinámicas de un gas, que bien pueden ser más de tres, como la presión, el volumen, la temperatura y las diversas concentraciones de las substancias que forman ese gas. En este espacio multidimensional también estudiamos propiedades geométricas, ahora desde un punto de vista más abstracto. Por otro lado, en la historia que relatamos, la de las ondas gravitacionales, será indispensable usar el espaciotiempo, que tiene cuatro dimensiones, como ya hemos visto.
TOMADO DE: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/41/htm/lagran3.htm