Los Puntazos de Pitágoras

por Miguel Olvera

Pitágoras (siglo VI a .C.) es conocido por todos por el famoso teorema que lleva su nombre (en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos) pero, pese a llevar su nombre, no fue él quien lo descubrió, pues ya era conocido por los babilonios.

En la escuela pitagórica fundada por Pitágoras en Crotona (Italia) se dedicaban por igual a la ciencia, a la filosofía, a la mística y a la política; Pitágoras además era sacerdote de ritos arcaicos y su escuela puede clasificarse como secta. Los pitagóricos convirtieron al “número” en esencia de todas las cosas; toda forma, estructura y, por lo tanto, todo objeto natural, tenía que poseer su propio número característico. El mismo Dios era numérico. Este misticismo que daban los pitagóricos a los números se vino abajo cuando descubrieron la existencia de números irracionales, es decir, la existencia de números que no eran enteros ni fraccionarios, únicos números que conocían. Parece ser que el descubrimiento se ocultó. Pero sin entrar más en dicha faceta, lo cierto es que se les puede atribuir el nacimiento de la matemática como ciencia deductiva.

Los pitagóricos no se interesaban por los métodos de cálculo, sino que cultivaban la parte más teórica o artística. A ellos se les debe la clasificación de los números (hablamos sólo de números enteros y positivos), según diversos criterios, en pares e impares, perfectos, amigos, triangulares, pentagonales, poligonales…

* Par: un número que es divisible entre 2

* Impar: el que no es par

* Perfecto: aquel número que es la suma de sus divisores excluyendo al propio número. Te damos aquí algunos números perfectos, pero tú puedes buscar dos menores que treinta que también lo son.

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...+ 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 +...+ 126 + 127

El número 2²¹⁶⁰⁹⁰· (2²¹⁶⁰⁹¹ - 1) es perfecto, y tiene mas de cien mil dígitos

* Amigos: dos números se llaman amigos cuando cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro, sin incluir a los mismos números entre dichosdivisores. No son fáciles de hallar ya que entre los números hay bastantes problemillas y es complicado encontrar dos que se lleven bien. Fuera bromas tepresentaremos algunos:

Los números 220 y 284 son amigos. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220, si los sumamos (excluyendo 220) da 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, si los sumamos (excluyendo 284) da 220. Este par de números amigos era conocido por los griegos. Otros números amigos son 17296 y 18416; y 9363584 y 9437056.

Para entender mejor otras clasificaciones representaremos los números mediante puntos, como ellos hacían, y así, tenemos otras tipos de números entre las que destacamos:

 Oblongo: si  es el producto de dos números distintos: 6 = 2 × 3

 Cuadrado: si es el producto de dos números iguales: 9 = 3 × 3

Triangular:

Sólido: si es producto de tres números: 30 = 5 × 2 × 3

Cubo: si es producto de tres factores iguales: 8 = 2 × 2 × 2

Piramidal: es la suma de una serie de números cuadrados: 5 = 1 + 4



Pues bien, esta representación de los números mediante puntos en disposiciones adecuadas, que nos puede parecer una sandez, les permitió descubrir muchas propiedades de los números, las cuales no nos parecerán bobadas:

1.- El cuadrado de un número n es la suma de los n primeros impares. El siguiente gráfico pone de manifiesto la propiedad, pues son números cuadrados que se obtienen al sumar los números representados en cada escuadra; en el último, las escuadras representan al 1, 3, 5, y 7 respectivamente, que son los cuatro primeros números impares, y su suma es el cuadrado de 4.

2.- El cuadrado de un número par es par, y el cuadrado de un impar es impar.

Es consecuencia de la anterior propiedad. Si n es par, su cuadrado es la suma de un número par (n) de impares y por tanto par. Si n es impar su cuadrado es la suma de un número impar (n) de impares y por tanto impar.

3.- La suma de los primeros n números pares sucesivos es el producto de este número n, por el siguiente. En la última representación del siguiente gráfico se ve que al sumar los números 2, 4, 6, y 8, que son los cuatro primeros pares, se obtiene el área del rectángulo que es base por altura, es decir, 4 × 5.

4.- La suma de los primeros n números naturales es el semiproducto de ese número por el sucesivo (1 + 2 + 3 +….+ n = n · (n + 1)/2, por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 · 8/2 = 28) Esto se ve fácilmente en las siguientes representaciones, el área de los triángulos que se obtiene al dividir los rectángulos en dos, se puede obtener de dos formas:

- Sumando los números que se representan verticalmente con puntos, en el último 1 + 2 + 3 + 4 = 10

- Haciendo la mitad del área del rectángulo, en el último (4 × 5)/2 = 10

TOMADO DE: http://www.oocities.org/es/matesbueno/articulos/los_puntazos_de_pitagoras.htm

BIOGRAFÍA DE PITÁGORAS

PITÁGORAS
(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.
Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.
Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».
También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

LOS PITAGÓRICOS

El nacimiento y la pervivencia del pitagorismo es uno de los fenómenos más interesantes en la historia de la ciencia y de la cultura en general. Surgió, se desarrolló y se expandió como un modo de vida religioso. Su armazón intelectual consistió en una visión del universo como un cosmos, en contraposición al caos, es decir como un todo ordenado y organizado de acuerdo con leyes asequibles a la razón humana. El mismo impulso religioso conducía hacia la búsqueda y contemplación de la armonía intelectual implantada en este universo como paradigma de conducta humana y como camino y método de elevación espiritual, en búsqueda de las raices y fuentes de la naturaleza.
En nuestra cultura actual, fuertemente impregnada por el espíritu científico, que acepta esta cosmovisión de fondo como base implícita e indiscutida, transmitida en sus líneas generales a través de los siglos desde las mismas raíces pitagóricas, el brillo de la idea fundamental de la racionalidad del universo se nos presenta apagado y desgastado por la costumbre. La armonía de las esferas no es para nosotros más que el constante ruido de fondo que escuchamos en nuestro quehacer racional.
Pero el mundo del siglo VI en que a Pitágoras le tocó vivir era muy distinto. Las invasiones persas habían aproximado hacia los griegos las milenarias culturas orientales con su abigarrado espíritu religioso y su actitud mística y contemplativa, que originaban una especial forma de racionalidad. El espíritu religioso oriental no buscaba, ni busca, su camino hacia la comunión con lo divino a través de la contemplación racional del universo, sino más bien mediante la negación de la búsqueda misma de la razón, hacia formas de comunicación en zonas más internas del espíritu. Pero junto con esta vena mística del espíritu, la cultura oriental había realizado admirables conquistas de la razón, plasmadas, por ejemplo, en los desarrollos astronómicos y aritméticos de los babilonios más de un milenio antes de que Pitágoras naciese. Tal vez una de las razones profundas del hondo enraizamiento del movimiento pitagórico en la cultura griega y en su heredera la cultura occidental en que hoy vivimos, consistió en el acierto de Pitágoras para unificar ambas tendencias, racional y contemplativo-religiosa, al dar forma a lo que llegó a ser, mucho más que una escuela de pensamiento, una forma de vida.