Los Puntazos de Pitágoras

por Miguel Olvera

Pitágoras (siglo VI a .C.) es conocido por todos por el famoso teorema que lleva su nombre (en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos) pero, pese a llevar su nombre, no fue él quien lo descubrió, pues ya era conocido por los babilonios.

En la escuela pitagórica fundada por Pitágoras en Crotona (Italia) se dedicaban por igual a la ciencia, a la filosofía, a la mística y a la política; Pitágoras además era sacerdote de ritos arcaicos y su escuela puede clasificarse como secta. Los pitagóricos convirtieron al “número” en esencia de todas las cosas; toda forma, estructura y, por lo tanto, todo objeto natural, tenía que poseer su propio número característico. El mismo Dios era numérico. Este misticismo que daban los pitagóricos a los números se vino abajo cuando descubrieron la existencia de números irracionales, es decir, la existencia de números que no eran enteros ni fraccionarios, únicos números que conocían. Parece ser que el descubrimiento se ocultó. Pero sin entrar más en dicha faceta, lo cierto es que se les puede atribuir el nacimiento de la matemática como ciencia deductiva.

Los pitagóricos no se interesaban por los métodos de cálculo, sino que cultivaban la parte más teórica o artística. A ellos se les debe la clasificación de los números (hablamos sólo de números enteros y positivos), según diversos criterios, en pares e impares, perfectos, amigos, triangulares, pentagonales, poligonales…

* Par: un número que es divisible entre 2

* Impar: el que no es par

* Perfecto: aquel número que es la suma de sus divisores excluyendo al propio número. Te damos aquí algunos números perfectos, pero tú puedes buscar dos menores que treinta que también lo son.

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...+ 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 +...+ 126 + 127

El número 2²¹⁶⁰⁹⁰· (2²¹⁶⁰⁹¹ - 1) es perfecto, y tiene mas de cien mil dígitos

* Amigos: dos números se llaman amigos cuando cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro, sin incluir a los mismos números entre dichosdivisores. No son fáciles de hallar ya que entre los números hay bastantes problemillas y es complicado encontrar dos que se lleven bien. Fuera bromas tepresentaremos algunos:

Los números 220 y 284 son amigos. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220, si los sumamos (excluyendo 220) da 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, si los sumamos (excluyendo 284) da 220. Este par de números amigos era conocido por los griegos. Otros números amigos son 17296 y 18416; y 9363584 y 9437056.

Para entender mejor otras clasificaciones representaremos los números mediante puntos, como ellos hacían, y así, tenemos otras tipos de números entre las que destacamos:

 Oblongo: si  es el producto de dos números distintos: 6 = 2 × 3

 Cuadrado: si es el producto de dos números iguales: 9 = 3 × 3

Triangular:

Sólido: si es producto de tres números: 30 = 5 × 2 × 3

Cubo: si es producto de tres factores iguales: 8 = 2 × 2 × 2

Piramidal: es la suma de una serie de números cuadrados: 5 = 1 + 4



Pues bien, esta representación de los números mediante puntos en disposiciones adecuadas, que nos puede parecer una sandez, les permitió descubrir muchas propiedades de los números, las cuales no nos parecerán bobadas:

1.- El cuadrado de un número n es la suma de los n primeros impares. El siguiente gráfico pone de manifiesto la propiedad, pues son números cuadrados que se obtienen al sumar los números representados en cada escuadra; en el último, las escuadras representan al 1, 3, 5, y 7 respectivamente, que son los cuatro primeros números impares, y su suma es el cuadrado de 4.

2.- El cuadrado de un número par es par, y el cuadrado de un impar es impar.

Es consecuencia de la anterior propiedad. Si n es par, su cuadrado es la suma de un número par (n) de impares y por tanto par. Si n es impar su cuadrado es la suma de un número impar (n) de impares y por tanto impar.

3.- La suma de los primeros n números pares sucesivos es el producto de este número n, por el siguiente. En la última representación del siguiente gráfico se ve que al sumar los números 2, 4, 6, y 8, que son los cuatro primeros pares, se obtiene el área del rectángulo que es base por altura, es decir, 4 × 5.

4.- La suma de los primeros n números naturales es el semiproducto de ese número por el sucesivo (1 + 2 + 3 +….+ n = n · (n + 1)/2, por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 · 8/2 = 28) Esto se ve fácilmente en las siguientes representaciones, el área de los triángulos que se obtiene al dividir los rectángulos en dos, se puede obtener de dos formas:

- Sumando los números que se representan verticalmente con puntos, en el último 1 + 2 + 3 + 4 = 10

- Haciendo la mitad del área del rectángulo, en el último (4 × 5)/2 = 10

TOMADO DE: http://www.oocities.org/es/matesbueno/articulos/los_puntazos_de_pitagoras.htm