miércoles, 23 de julio de 2014

CHISTE N° 18



TOMADO DE: http://bancoimagenesgratis.com/chistes-matematicos/

PRODUCTOS NOTABLES

TOMADO DE:http://uninformados.files.wordpress.com/2014/05/ejercicios-productos-notables.pdf

EL POLINOMIO VILLARREAL

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:
  1. Elevación de Polinomios
  2. Transformación de Imaginarias
  3. Volumen de Cuerpos Regulares
  4. Integración por Partes
En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:
Sea P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:
(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C
la expresión resultante la denotamos por:
(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots
Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.
El método de villarreal establece previamente una simbolizaría:
  • El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: {b_0} = {a_0}^m.
  • Dividase el 2^{do} término del polinomio entre el primero y llámese el cociente C^{\prime} , dividase el 3^{er} término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime}, el cuarto término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime\prime} ….  es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,…   por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino {b_{r - 1}} multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{i - r}}{r}, el penúltimo término {b_{r - 2}}  multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{2i - r}}{r}, el antepenúltimo término {b_{r - 3}}  multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{3i - r}}{r}, ……., así tendremos: b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots
EJEMPLO:
Supongamos que deseamos obtener \sqrt{3} con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:
  1. Considerar \sqrt{3} como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la  evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio P(x)=(1+x+x^2), es decir: \sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}
  2. La expresión resultante es una serie infinita, cuyos términos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.
Para hacer los cálculos respectivos fijamos la simbología establecida anteriormente:
C^{\prime}=1/1=1
C ^{\prime\prime}=1/1=1
i=1/2+1=3/2
2i=2\times3/2=3
Ahora recurrimos al método de Villarreal:
b_0=1^{1/2}=1
b_1=1\times1\times\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{1/2}=2
b_2=2\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}+1\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}= 6
\vdots

Luego obtendremos el siguiente resultado:
(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2}=1+2x+6x^2+\cdots
Para poder hacer  la aproximación adecuada consideramos la condición de convergencia de Newton:
(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2} converge \Longleftrightarrow \left|x+x^2\right|\leq 1
es decir se dá la convergencia si : -\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}
Luego si hacemos x=-1/2  en la expresión resultante:
(P(-1/2))^{1/2}=1+(-1/2)+(-1/2)^2+\cdots \approx 1.5
Esto significa que la convergencia será mas adecuada si tomásemos más términos en la expresión resultante.

TOMADO DE: http://aprendiendomate.wordpress.com/2009/04/05/el-polinomio-villarreal/

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