PILOGE: EL POLINOMIO VILLARREAL

miércoles, 23 de julio de 2014

EL POLINOMIO VILLARREAL

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

Elevación de Polinomios
Transformación de Imaginarias
Volumen de Cuerpos Regulares
Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

$(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C$

la expresión resultante la denotamos por:

$(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots$

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de villarreal establece previamente una simbolizaría:

El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: ${b_0} = {a_0}^m$ .
Dividase el $2^{do}$ término del polinomio entre el primero y llámese el cociente $C^{\prime}$ , dividase el $3^{er}$ término entre el primero y sea el cociente $C^{\prime\prime}$ , el cuarto término entre el primero y sea el cociente $C^{\prime\prime\prime}$ …. es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,… por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino ${b_{r - 1}}$ multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{i - r}}{r}$ , el penúltimo término ${b_{r - 2}}$ multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{2i - r}}{r}$ , el antepenúltimo término ${b_{r - 3}}$ multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{3i - r}}{r}$ , ……., así tendremos: $b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots$

EJEMPLO:

Supongamos que deseamos obtener $\sqrt{3}$ con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:

Considerar $\sqrt{3}$ como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio $P(x)=(1+x+x^2)$ , es decir: $\sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}$
La expresión resultante es una serie infinita, cuyos términos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.