CUATRO PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS

1. ¿Cómo cortar el queso?   Los aficionados al queso de Camembert saben que este suele presentarse en piezas discoidales. Saben también que suele cortarse en sectores para su consumo, y que al dejar parte del queso cortado y sin consumir,la zona del del corte se seca y pierde su delicioso sabor. Procede pues, si no vamos a terminar en un día todo el disco de queso, cortarlo de la forma más eficaz posible para evitar pérdidas. Centraremos nuestra atención en el caso de que deseemos hace porciones del mismo tamaño. El problema, matemáticamente, se planteará así: Dado un círculo de radio unidad, ¿cómo dividirlo en n partes de la misma área de forma que el perímetro fronterizo sea de la menor longitud posible?
2. ¿Discriminación?Una empresa es acusada por un sindicato de discriminación sexual por contratar mayor proporción de hombres que de mujeres. La empresa alega que el promedio de contratación de mujeres en cada departamento es siempre mayor que el de hombres. Las afirmaciones de la empresa y del sindicato parecen contradictorias, pero, ¿podría suceder que ninguno mintiera?
3. Otra de naipes.Tomamos una baraja, volvemos la primera carta, la siguiente la colocamos debajo del mazo, volvemos la siguiente carta, la siguiente la volvemos a poner debajo y seguimos así hasta que estén todas vueltas. Resulta que las cartas han salido en orden creciente, primero oros, luego copas, luego espadas y finalmente bastos. ¿Cómo estaban colocadas en un principio?
4. Uno de cinemática.Dados dos puntos A y B situados en un plano vertical, encontrar otro punto C del mismo plano tal que dos móviles que parten de A y B simultáneamente cayendo por planos inclinados AC y BC se encuentren en C en un tiempo mínimo

SOLUCIONES:

1. Para n=2 ó n=3 las soluciones con triviales: el corte se hará según un diámetro en el primer caso, y según tres sectores de 120 grados en el segundo. 

Pero para n=4 la cosa comienza ya a complicarse. Pues un corte según cuatro sectores de noventa grados arrojaría una longitud de corte L=4, mientras que en el sistema indicado en la figura de la izquierda basta con L=3,9624. 

Esta división se ha obtenido recordando la conocida propiedad de que el punto situado en el interior de un triángulo cuya suma de distancias a los tres vértices es mínima es el que ve estos bajo ángulos de 120 grados. Sin embargo, todavía puede mejorarse: intuitivamente se comprende que, al no ser los segmentos rectos incidentes sobre la circunferencia perpendiculares a ésta podrían ser sustituídos por arcos de circunferencia que cumplieran con esta condición. Se mejora todavía algo, llegando a la figura de la derecha donde L=3,9412.

2.  Ambas entidades pueden tener razón porque más importantes que los promedios en sí mismos son las cantidades que dieron origen a esos promedios. Para ilustrarlo, lo mejor un ejemplo. En el departamento A se contrataron 4 de las 8 mujeres presentadas y 32 de los 80 hombres presentados. En el departamento B se contrataron 10 de las 40 mujeres presentadas y 4 de los 20 hombres. 

Estos datos conducen a un 50% y un 40% de contratación para mujeres y hombres en el departamento A, y un 25% y un 20% respectivamente, para el departamento B. En conjunto, la empresa ha contratado a 14 de las 48 mujeres (29,1%) y a 36 de los 100 hombres con lo que vemos que ambas afirmaciones eran ciertas.

3. Para explicarlo voy a suponer que sólo tengo las 10 cartas de un palo. La solución es fácilmente generalizable a cualquier número de cartas. 

Pensemos en que tenemos diez lugares en los que debemos ir colocando la carta adecuada. Es evidente que que los lugares primero, tercero, quinto, séptimo y noveno deberán estar ocupados por el As, 2, 3, 4 y 5. Una vez colocada la primera carta, el proceso que se ha seguido consiste en dejar un hueco y colocar la siguiente carta. Este es el proceso que deberemos aplicar hasta el final, pasar por alto un hueco y colocar la carta en el hueco siguiente. Por hueco entiendo cada uno de los lugares iniciales que aún están libres. 

Una vez colocado el 5 en el noveno lugar dejamos pasar el hueco décimo y ponemos el 6 en el siguiente hueco que es el segundo. Dejamos pasar el cuarto y colocamos el 7 en el sexto. Saltamos el octavo y ponemos la sota en el décimo y finalmente ponemos en rey en el cuarto. 

Las cartas de arriba a abajo, quedarían colocadas del siguiente modo: As, 6, 2, Rey, 3, 7, 4, Caballo, 5, Sota. 
Este procedimiento es extrapolable a cualquier número de cartas y generalizable para cualquier relación cartas vueltas/ cartas puestas.

4.  Para este problema se han recibido soluciones basadas en álgebra, pero resultan algo largas. Puede ser una buena ocasión para recordar el teorema de las esferas isocronas, tan útil en casos como éste, y que parece algo olvidado. Como es fácil comprobar, un móvil partiendo mediante un plano inclinado del polo N de una esfera alcanza cualquier punto de ésta en el mismo tiempo t = 2(R/g)½. 

En el caso precedente, las dos esferas centradas en Oa y Ob deberán tener el mismo radio. La condición de tiempo mínimo exige que sean tangentes, así que dicho radio será la mitad de la distancia AB, igual, por paralelismo, a la OaOb. 

 

TOMADO DE: 

http://www.mensa.es/juegosmensa/e031035.html

http://www.mensa.es/juegosmensa/s031035.html#SOLU031

GEOMETRÍA RECREATIVA

Dos métodos más 
Sepueden medir las alturas sin ayuda de las sombras. Existen diversas formas;empezaremos examinando dos de ellas, bastante simples.
Parainiciar podemos emplear las propiedades del triángulo rectángulo isósceles,utilizando un sencillo instrumento, el cual se construye con suma facilidad,con una tablilla y tres alfileres. Sobre una tablilla lisa marcamos trespuntos, los vértices del triángulo rectángulo isósceles, en estos puntosclavamos los alfileres (Figura 4).

Figura 4. El instrumento hecho con alfileres para medir alturas

Si nodispone de escuadra y compás para dibujar el triángulo, puede coger un papel,lo dobla una vez, lo dobla luego en sentido transversal respecto al primerdoblez, de modo que se unan los extremos del mismo, de este modo se obtiene elángulo recto. Se puede emplear el mismo papel para medir los trazos ab y bc, demodo que tengan igual longitud.
Comovemos, podemos construir el instrumento de diversas formas.
Esteinstrumento es tan fácil de usar como de construir. Alejándose del árbol,coloque el instrumento de modo que uno de los catetos del triángulo se orienteverticalmente. Para facilitar la medición, puede utilizar una plomada (un hilocon un objeto pesado atado a un extremo) atada al alfiler superior de estecateto.

Figura 5. Esquema del uso de la tablilla con alfileres.

Acercándoseal árbol o alejándose de él, encontrará un sitio A (Figura 5), desde el cual,verá que los alfileres a y c, tapan la copa C del árbol: eso significa que laprolongación de la hipotenusa ac pasa por el punto C. Como ya lo hemos visto enel ejemplo anterior, la separación entre ab es igual a CB, ya que el ángulo α= 45°.
Finalmente,después de medir el trazo aB y agregarle la longitud de BD, equivalente a laaltura aA de los ojos al piso, se obtiene la altura del árbol.
Existeotro método, que no usa la tablilla con los alfileres. Usted necesita un jalón;se clava verticalmente éste en la tierra de modo que la parte que sobresalgadel piso sea igual a su estatura. Debe elegir el sitio para el jalón de modoque le permita, al tumbarse como se muestra en la Figura 6, ver la copa delárbol y el punto superior del jalón en línea recta.

Figura 6. Otro método más para medir la altura.

Comoel triángulo Aba, es isósceles y rectangular, entonces el ángulo A = 45°, y porlo tanto AB = BC, es la altura buscada del árbol.

3. El método de Julio Verne 
El siguientemétodo también es sencillo. Julio Verne describió en su novela “La islamisteriosa” la forma de medir los objetos de gran altura:
– Hoyvamos a medir la altura del acantilado de Vista Lejana, –dijo el ingeniero.
–¿Necesitamos algunos instrumentos? –preguntó Gebert.
– Nohace falta. Lo haremos de otra manera, más fácil y más segura.
Eljoven, caminó desde el acantilado hasta la orilla. Cogió un jalón de 12 pies delongitud, el ingeniero comprobó la medida con su estatura, la cual conocíabien. Gebert entregó una plomada al ingeniero; ésta no era más que una piedraatada al extremo de una cuerda. Situándose a 500 pies del acantilado vertical,el ingeniero clavó el jalón verticalmente en la arena, con la ayuda de laplomada, enterrándola a dos pies de profundidad. Luego se alejó del jalón,hasta que tumbándose en el suelo pudo ver el extremo saliente del jalón y lacresta del acantilado en línea recta (Figura 7). Marcó este punto con unaestaca.
–¿Tienes algunas nociones de geometría?– preguntó a Gebert.
– Sí.
–¿Recuerdas las propiedades de los triángulos semejantes?
– Suslados correspondientes son proporcionales.
–Exacto. Ahora voy a construir dos triángulos rectángulos semejantes. Un catetodel triángulo pequeño será el jalón, el otro cateto, será la distancia desde laestaca hasta el pie del jalón; la hipotenusa, es mi línea de vista. En eltriángulo mayor los catetos son el acantilado, cuya altura queremos medir, y ladistancia desde la estaca hasta el pie del acantilado; la hipotenusa es milínea de vista, que se une con la hipotenusa del triángulo menor.

Figura 7. Como encontraron la altura de un acantilado los personajes de Julio Verne

– ¡He entendido! – exclamó el joven. La distancia de la estaca hasta el jalón es a la distancia desde la estaca hasta el pie del acantilado, como la altura del jalónes a la altura del acantilado.
–Exactamente. Sigamos, si medimos las dos primeras distancias, y sabemos la altura del jalón, podemos calcular el cuarto miembro de la proporción que es la altura del acantilado.
Se midieron ambas distancias horizontales: la pequeña midió 15 pies, la grande                                                                                      midió 500 pies.
Finalmenteel ingeniero anotó:

15 : 500 = 10 : x

15 x = 500 x 10

x=333,3 pies

Entonces,la altura del acantilado es de 333 pies.

TOMADO DE: http://www.librosmaravillosos.com/geometriarecreativa/capitulo01.html