CUATRO PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS

1. ¿Cómo cortar el queso?   Los aficionados al queso de Camembert saben que este suele presentarse en piezas discoidales. Saben también que suele cortarse en sectores para su consumo, y que al dejar parte del queso cortado y sin consumir,la zona del del corte se seca y pierde su delicioso sabor. Procede pues, si no vamos a terminar en un día todo el disco de queso, cortarlo de la forma más eficaz posible para evitar pérdidas. Centraremos nuestra atención en el caso de que deseemos hace porciones del mismo tamaño. El problema, matemáticamente, se planteará así: Dado un círculo de radio unidad, ¿cómo dividirlo en n partes de la misma área de forma que el perímetro fronterizo sea de la menor longitud posible?
2. ¿Discriminación?Una empresa es acusada por un sindicato de discriminación sexual por contratar mayor proporción de hombres que de mujeres. La empresa alega que el promedio de contratación de mujeres en cada departamento es siempre mayor que el de hombres. Las afirmaciones de la empresa y del sindicato parecen contradictorias, pero, ¿podría suceder que ninguno mintiera?
3. Otra de naipes.Tomamos una baraja, volvemos la primera carta, la siguiente la colocamos debajo del mazo, volvemos la siguiente carta, la siguiente la volvemos a poner debajo y seguimos así hasta que estén todas vueltas. Resulta que las cartas han salido en orden creciente, primero oros, luego copas, luego espadas y finalmente bastos. ¿Cómo estaban colocadas en un principio?
4. Uno de cinemática.Dados dos puntos A y B situados en un plano vertical, encontrar otro punto C del mismo plano tal que dos móviles que parten de A y B simultáneamente cayendo por planos inclinados AC y BC se encuentren en C en un tiempo mínimo

SOLUCIONES:

1. Para n=2 ó n=3 las soluciones con triviales: el corte se hará según un diámetro en el primer caso, y según tres sectores de 120 grados en el segundo. 

Pero para n=4 la cosa comienza ya a complicarse. Pues un corte según cuatro sectores de noventa grados arrojaría una longitud de corte L=4, mientras que en el sistema indicado en la figura de la izquierda basta con L=3,9624. 

Esta división se ha obtenido recordando la conocida propiedad de que el punto situado en el interior de un triángulo cuya suma de distancias a los tres vértices es mínima es el que ve estos bajo ángulos de 120 grados. Sin embargo, todavía puede mejorarse: intuitivamente se comprende que, al no ser los segmentos rectos incidentes sobre la circunferencia perpendiculares a ésta podrían ser sustituídos por arcos de circunferencia que cumplieran con esta condición. Se mejora todavía algo, llegando a la figura de la derecha donde L=3,9412.

2.  Ambas entidades pueden tener razón porque más importantes que los promedios en sí mismos son las cantidades que dieron origen a esos promedios. Para ilustrarlo, lo mejor un ejemplo. En el departamento A se contrataron 4 de las 8 mujeres presentadas y 32 de los 80 hombres presentados. En el departamento B se contrataron 10 de las 40 mujeres presentadas y 4 de los 20 hombres. 

Estos datos conducen a un 50% y un 40% de contratación para mujeres y hombres en el departamento A, y un 25% y un 20% respectivamente, para el departamento B. En conjunto, la empresa ha contratado a 14 de las 48 mujeres (29,1%) y a 36 de los 100 hombres con lo que vemos que ambas afirmaciones eran ciertas.

3. Para explicarlo voy a suponer que sólo tengo las 10 cartas de un palo. La solución es fácilmente generalizable a cualquier número de cartas. 

Pensemos en que tenemos diez lugares en los que debemos ir colocando la carta adecuada. Es evidente que que los lugares primero, tercero, quinto, séptimo y noveno deberán estar ocupados por el As, 2, 3, 4 y 5. Una vez colocada la primera carta, el proceso que se ha seguido consiste en dejar un hueco y colocar la siguiente carta. Este es el proceso que deberemos aplicar hasta el final, pasar por alto un hueco y colocar la carta en el hueco siguiente. Por hueco entiendo cada uno de los lugares iniciales que aún están libres. 

Una vez colocado el 5 en el noveno lugar dejamos pasar el hueco décimo y ponemos el 6 en el siguiente hueco que es el segundo. Dejamos pasar el cuarto y colocamos el 7 en el sexto. Saltamos el octavo y ponemos la sota en el décimo y finalmente ponemos en rey en el cuarto. 

Las cartas de arriba a abajo, quedarían colocadas del siguiente modo: As, 6, 2, Rey, 3, 7, 4, Caballo, 5, Sota. 
Este procedimiento es extrapolable a cualquier número de cartas y generalizable para cualquier relación cartas vueltas/ cartas puestas.

4.  Para este problema se han recibido soluciones basadas en álgebra, pero resultan algo largas. Puede ser una buena ocasión para recordar el teorema de las esferas isocronas, tan útil en casos como éste, y que parece algo olvidado. Como es fácil comprobar, un móvil partiendo mediante un plano inclinado del polo N de una esfera alcanza cualquier punto de ésta en el mismo tiempo t = 2(R/g)½. 

En el caso precedente, las dos esferas centradas en Oa y Ob deberán tener el mismo radio. La condición de tiempo mínimo exige que sean tangentes, así que dicho radio será la mitad de la distancia AB, igual, por paralelismo, a la OaOb. 

 

TOMADO DE: 

http://www.mensa.es/juegosmensa/e031035.html

http://www.mensa.es/juegosmensa/s031035.html#SOLU031