ILUSIÓN ÓPTICA Nº 9

SON LÍNEAS PARALELAS

TOMADO DE: http://www.juventudcristoredentor.org/ilusion_optica.html

CHISTE Nª 38

TOMADO DE: http://asipasa.com/2852

RAZONES TRIGONOMÈTRICAS

TOMADO DE: http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/Trigo_2.pdf

Razones Trigonométricas de la Suma y Diferencia de dos Àngulos

(En lo que sigue indicaremos en negrita las magnitudes vectoriales) Sea el sistema ortonormal {O, u1, u2} y en él la circunferencia goniométrica de centro O. Consideramos los vectores OA y OB de coordenadas respecto a dicho sistema las indicadas en la figura

OA(cos(a), sen(a)) y OB(cos(b), sen(b)) respectivamente. Sabemos que el producto escalar de dichos vectores verifica OA.OB = |OA|.|OB|.cos(a - b) = cos(a - b)     (#1) siendo |OA| y |OB| los módulos de los vectores OA y OB respectivamente y |OA| = |OB| = 1(pues la circunferencia es goniométrica). Por otra parte, los vectores OA y OB pueden expresarse respecto a la base ortonormal OA = cos(a) u1 + sen(a) u2 OB = cos(b) u1 + sen(b) u2 y multiplicando escalarmente resulta: OA.OB = (cos(a) u1 + sen(a) u2)(cos(b) u1 + sen(b) u2) = = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)     (#2) teniendo en cuenta que  por ser un sistema ortonormal.Identificando las expresiones (#1) y (#2) resulta     cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)    Corolarios    Algunas consecuencias, interesantes, que se pueden deducir de dicha expresión  Si a = 90 resulta:  cos(90 - b) = = cos(90)cos(b) + sen(90)sen(b) = =  sen(b)  Es decir, el seno y coseno de ángulos complementarios son iguales Si a = 0  cos (-b) = cos(0 - b) = = cos(0)cos(b) + sen(0)sen(-b) = =  cos(b)  Es decir los cosenos de águlos iguales y de distinto sentido son iguales  sen(-b) = cos(90 - (-b)) = cos(b - (-90)) = cos(b)cos(-90) + sen(b)sen(-90) =  - sen(b)  Los senos de ángulos iguales y distinto sentido son opuestos  Como seno y coseno de ángulos complementatios son iguales:  sen(a + b) = cos[90 - (a + b)] = = cos[(90 - a) - b] = = cos(90 - a)cos(b) + sen(90 - a)sen(b) =  = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)   cos(a + b) = cos(a - (-b)) = cos(a)cos(-b) + sen(a)sen(-b) =  = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)   sen(a - b) = cos(90 - (a - b)) = cos((90 - a) + b) = = cos(90 - a)cos(b) - sen(90 - a)sen(b) =  = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)  Supongamos que en la demostración inicial, no fuese la circunferencia goniométrica y además que |OA| = p y |OB| = q fuesen distintos Razonando de forma análoga a la anterior resulta: OA.OB = |OA|.|OB|.cos(a - b) = = p q cos(a - b) Por otra parte OA = p cos(a) u1 + p sen(a) u2 OB = q cos(b) u1 + q sen(b) u2 y efectuando el producto escalar OA.OB = pq [cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)] Identificando ambas expresiones del producto escalar resulta la igualdad obtenida anteriormente. Resumen A partir de estas igualdades podemos obtener la expresión de la tangente de una suma y diferencia habiéndose obtenido la última igualdad al dividir numerador y denominador porcos(a)cos(b). Una demostración del seno de la diferencia de dos ángulos a partir del producto vectorial. Si el ángulo formado por dichos vectores es a - bresulta El módulo de dicho vector es | OA × OB | = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) que es el área de la superficie del paralelogramo determinado por ambos vectores. Por atra parte, | OA × OB | = | OA | | OA | sen(a - b) = sen(a - b) Identificando ambas igualdades obtenemos el resultado buscado. (A lo largo de toda la demostración se ha considerado, naturalmente, un sistema de referencia ortonormal y la construcción sobre la circunferencia goniométrica). Producto Vectorial     Se define el producto vectorial de los vectores OA y OB como un nuevo vector, perpendicular a ambos, por Puede probarse que | OA × OB | = |OA ||OB | sen(δ) siendo δ el ángulo formado por los vectores. Tiene una importante propiedad geométrica. El módulo de dicho vector producto vectorial coincide con el valor del área de la superficie del paralelogramo determinado por ambos vectores. (En la figura en amarillo). Una demostración del seno de la suma de dos ángulos a partir de las áreas de los triágulos. Evidentemente Área(TABC) = Área(TAMC) + Área(TMBC) Por otra parte Área(TABC) = 1/2 a b sen(β + δ) Área(TAMC) = 1/2 b h c sen(β) Área(TMBC) = 1/2 a h c sen(δ) De donde 1/2 a b sen(β + δ) = 1/2 bh csen(β) + 1/2 ah csen(δ) Dividiendo todos los miembros por 1/2 ab sen(β + δ) = (h c/ a) sen(β) + (h c/ b) sen(δ) Como en MBC es (h c/ a) = cos(δ) y en AMC(h c/ b) = cos(β) sustituyendo en la igualdad anterior obtenemos sen(β + δ) = sen(β)cos(δ) + sen(δ)cos(β) Una demostración "clásica" del seno de la suma de dos ángulos. Consideramos los ángulos a y b y la suma de ambos a + b. Tomamos un punto C, cualquiera, sobre r 3 y trazamos una perpendicular a r 1 para determinar el punto B. También por C trazamos una perpendicular a r 2 y determinamos D. Desde ese punto D trazamos una perpendicular a r 1 y determinamos E y otra a CB para obtener M. Como los triágulos AED y CMD son semejantes (pues sus lados son perpendiculares) resulta que áng(DCM) = a En el triángulo ABC tenemos (pues MB = DE) Por otra parte en el triángulo AED es: DE = AD sen(a) en el triángulo CMD es: MC = CD cos(a) y llevando estas expresiones a (#1) En el triángulo ADC tenemos AD = AC cos(b)    y    CD = AC sen(b) y sustituyendo en (#2) y simplificando obtenemos finalmente sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b)   Propiedad El ángulo inscrito en una circunferencia vale la mitad del arco central correspondiente A partir de una circunferencia cuyo radio consideramos como unidad inscribimos el triángulo ABC A partir del triángulo AMO resulta Análogamente a = 2 r sen(a) b = 2 r sen(b) c = AH + HB = = b cos(a) + a cos(b) Sustituyendo: c = 2 r sen(δ) = = 2 r sen(180 - (a + b) = = 2 r sen(a + b) = = 2rsen(b)cos(a) + 2rsen(a)cos(b) y simplificando resulta el teorema.

TOMADO DE: http://www.arrakis.es/~mcj/notas018.htm