LA DERIVADA, EL LENGUAJE DEL MOVIMIENTO

Galileo, al describir por vez primera una función que relacionaba el espacio y el tiempo en la caída de los cuerpos, había dejado abierta la necesidad del Cálculo Diferencial; el cálculo con derivadas.

La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantáneo en cualquier fenómeno funcional.

Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretación es especialmente precisa e interesante. De hecho, históricamente fue la que dio origen al estudio de las derivadas.

U En cualquier movimiento, el espacio recorrido s es función del tiempo transcurrido:  s = s (t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a  y  t = b es el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo: s (b) – s (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como  velocidad media:   

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la velocidad instantánea:

 

A este límite se le llama derivada. Es decir: la velocidad instantánea en un momento dado, es la derivada del espacio como función del tiempo en ese momento:

Vi (a) = s’(a)

U A su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, también es función del tiempo: v_i (t) = s’(t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a  y  t = b es la aceleración experimentada en ese intervalo de tiempo:

A _{a , b} = Vi (b) – V_i (a) = s’ (b) – s’ (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como aceleración media:   

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la aceleración instantánea:

Es decir: la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función del tiempo en un  momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice que es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese momento:

A_i (a) = Vi’ (a) = [ s’]’(a) = s”(a) 

Ejemplo.- Un movimiento viene dado por la siguiente ecuación:  s (t) = 2t² – 5. Vamos a calcular la velocidad  instantánea cuando  t = 1 seg.

En este ejemplo, para calcular la derivada no vamos a usar tablas de valores, sino que razonaremos con expresiones algebraicas. Además, al intervalo de tiempo  [1 , b]  lo llamaremos  [1 , 1 + h]. Será lo mismo decir que  b !  1  o que  h ! 0 .

Velocidad media en [1 , 1 + h]:

            

Velocidad instantánea en t = 1 :

   

LA LEY DE CAÍDA DE LOS CUERPOS

Volvemos al intento de Galileo por demostrar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, en el punto donde él no pudo seguir.

Si en el primer intervalo de tiempo el espacio recorrido era  C, Galileo había comprobado que:    

s (t) = C · t ²

¿Con qué rapidez cambia  s(t) ?. Calculemos sus velocidades media e instantánea:

Velocidad media en [t , t + h]:

           

Velocidad instantánea en t :

 

Aceleración media en [t ,t + h]:

Aceleración instantánea en t :

En definitiva, Galileo tenía razón: la aceleración de los cuerpos  que caen es constante (2·C).

U Se comprobó que la aceleración de los cuerpos en caída libre, sin rozamientos, es: g = 9,8 m/seg²,  valor llamadoaceleración de la gravedad

Entonces:  g = 2·C    Þ   C = ½ · g    Þ    s (t) = ½ · g · t²

es la expresión del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre.

U ¿Quiénes fueron capaces de completar la tarea de Galileo?... Isaac Newton y W.G. Leibnitz, ambos por separado y casi a la vez, lo cual originó una fuerte disputa entre ellos.

Newton y Leibnitz iniciaron el Cálculo Diferencial y, al medir el ritmo de cambio de los fenómenos físicos, naturales e incluso sociales, abrieron las puertas al espectacular desarrollo científico y tecnológico que ha transformado el mundo en 3 siglos tanto o más que en toda la historia anterior. Parecía que por fin se había cumplido el sueño pitagórico: explicar el mundo con Matemáticas.

TOMADO DE:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_derivada.htm

LA NECESIDAD DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

Necesidades matemáticas en el s. XVII.

Galileo quería demostrar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos en caída libre. Aquí puedes ver cómo llegó a formular la función que relaciona el espacio recorrido con el tiempo:

 s (t) = C· t ²

Pero para conseguir su propósito, pensemos en todo lo que aún le faltaba:

Había que comenzar por plantearse: ¿qué es la aceleración? ... el ritmo de cambio de la velocidad.

Lo cual nos lleva a otra pregunta: ¿qué es la velocidad? ... el ritmo de cambio de la posición del cuerpo (del espacio recorrido)

*Así que, era necesario estudiar el ritmo de cambio de una función

(años más tarde se le llamaría derivada)

Vamos a hacer una primera aproximación a ese estudio:

Para simplificar, supongamos que el cuerpo recorre un espacio de 1 m. en el primer segundo. Entonces: 

t (segundos)	1	2	3	4	5
s (t) = t 2 (metros)	1	4	9	16	25

Supongamos que queremos estudiar la velocidad en   t₀ = 2 . Para ello comparemos la situación en ese momento con la de un momento posterior, cada vez más cercano: 

t (segundos)	5	4	3
) t incremento de t desde t 0 = 2 hasta t	5 – 2 = 3 seg.	4 – 2 =  2 seg.	3 – 2 = 1 seg.
) s incremento de s desde t 0 = 2 hasta t	25 – 4 = 21 m.	16 – 4 = 12 seg.	9 – 4 = 5 seg.
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	21 / 3 = 7 m./seg.	12 / 2 = 6 m./seg.	5 / 1 = 5 m./seg.

Como vemos, la velocidad media no es la misma según la amplitud del intervalo de tiempo considerado. Así que, como nos interesa es la velocidad en t₀ = 2, vamos a acercarnos más:

t (segundos)	2,5	2,2	2,1
) t incremento de t desde t 0 = 2 hasta t	2,5 – 2 = 0,5 seg.	2,2 – 2 = 0,2 seg.	2,1 – 2 = 0,1 seg.
) s incremento de s desde t 0 = 2 hasta t	2,5 2 – 4 = 2,25 m.	2,2 2 – 4 = 0,84 m.	2,1 2 – 4 = 0,41 m.
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	2,25 / 0,5 = 4,5 m./seg.	0,84 / 0,2 = 4,2 m./seg.	0,41 / 0,1 = 4,1 m./seg.

Resumiendo resultados: 

t (segundos)	5	4	3	2,5	2,2	2,1
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	7 m./seg.	6 m./seg.	5 m./seg.	4,5 m./seg.	4,2 m./seg.	4,1 m./seg.

Vemos que al reducir el intervalo de tiempo considerado, la velocidad media cada vez varía menos: parece acercarse ilimitadamente a un número (¿4 m./seg.?). El último cálculo se refiere a un intervalo de tiempo muy breve: desde t₀ = 2 hasta t = 2,1 ... sólo una décima de segundo.

Pero nosotros no queremos saber la velocidad media de décima en décima de segundo, ¡sino al instante! (como en el velocímetro del coche, donde la vemos cambiar continuamente). Y ¿cuánto es  un instante?: diremos que un ) t casi cero. Desde luego, en ese instante, ) stambién será casi cero.

Así que también era necesario estudiar:

* El cociente del incremento de una función entre el incremento de su variable independiente (en el ejemplo, ) s / ) t).

Se le llama tasa de variación media

* El cálculo con cantidades muy pequeñas, que son “casi cero”

A esas cantidades se les llama infinitésimos y al cálculo con ellos, paso al límite.

Como ves, en Matemáticas, para resolver un problema surge la necesidad de dominar nuevos conceptos que están “por debajo” de él. Sólo asegurando esos “cimientos” se puede construir luego un “edificio” de razonamientos que llegue hasta la solución del problema inicial.

Galileo no pudo completar esta obra, pero dejó marcado el camino a sus sucesores, Isaac Newton y Wilhelm G. Leibnitz, quienes estudiaron esos conceptos necesarios, desarrollando el concepto de derivada y el Cálculo Diferencial. 

TOMADO DE:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_CDiferencial.htm