El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.
Cálculo de determinantes
En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:
- 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
- 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
- 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
- 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
- 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
- 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
- 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.
Propiedad 4.
Otras propiedades de los determinantes
- 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |At|.
- 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| ×|B|.
- 3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
- 4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz.
- 5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.
- 6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.
El método de Gauss
La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:
- Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.
- Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.
- Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.
- Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.
Rango de una matriz
Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h£ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A.
Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).
