Teorema de Ceva Y Teorema de Menelao

Sean X, Y, Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:

Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces

Demostración del teorema

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CX se cortan en un punto P.

Entonces

De la misma forma, se obtiene que

Multiplicando,

El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que

Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen 
Entonces las tres cevianas son concurrentes.

El teorema Ceva, un teorema de concurrencia tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao.

Teorema de Menelao

El teorema de Menelao (Menelao de Alejandría, sobre 70-130 d.C.) proporciona un criterio de alineación, lo mismo que el teorema de Ceva proporciona un criterio de concurrencia.

Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

Considerando signos en las medidas de los segmentos, de manera que, en general,   la igualdad anterior la podemos expresar así:

El teorema de Menelao se puede usar para demostrar el teorema de Pascal y otras muchas propiedades relacionadas con la alineación de puntos.

TOMADO DE: http://garciacapitan.99on.com/bella/htm/menelao.htm