sábado, 27 de septiembre de 2014

Teorema de Ceva Y Teorema de Menelao

Sean XYZ puntos de los lados BCCA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AXBY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).
Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.
El teorema de Ceva afirma:
Si las tres cevianas AXBY y CZ son concurrentes, entonces
Demostración del teorema
La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AXBY y CX se cortan en un punto P.
Entonces
De la misma forma, se obtiene que
Multiplicando,
El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que
Supongamos que las tres cevianas AXBY y CZ cumplen 
Entonces las tres cevianas son concurrentes.
El teorema Ceva, un teorema de concurrencia tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao.

Teorema de Menelao

El teorema de Menelao (Menelao de Alejandría, sobre 70-130 d.C.) proporciona un criterio de alineación, lo mismo que el teorema de Ceva proporciona un criterio de concurrencia.
Sean XY y Z puntos respectivamente sobre los lados BCAC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos XYZ estén alineados es que
Considerando signos en las medidas de los segmentos, de manera que, en general,   la igualdad anterior la podemos expresar así:
El teorema de Menelao se puede usar para demostrar el teorema de Pascal y otras muchas propiedades relacionadas con la alineación de puntos.

TOMADO DE: http://garciacapitan.99on.com/bella/htm/menelao.htm

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