miércoles, 21 de enero de 2015

El número e

Hablemos ahora de los intereses que produce una cantidad de dinero colocada en un banco. La práctica usual es que los intereses se contabilizan y acumulan al final de cada año.
Así, si se pone 1 euro al interés anual de i por unidad ¿En qué se convierte después de t años?
Durante el primer año, el euro se convierte en 1+i.Durante el segundo año, cada euro se convierte en 1+i. Como al principio de este año, había 1+i, éstos se convierten en (1+i)^2
Repitiendo este proceso , a los t años el euro inicial se ha convertido en (1+i)^t
Supongamos ahora que el interés anual es del 1 por unidad y los períodos de capitalización son los trimestres; es decir, los intereses generados en el primer trimestre se acumulan al capital para producir en adelante nuevos intereses, y así sucesivamente en cada trimestre. El interés por unidad en cada período es ahora i/4 y durante un año hay 4 períodos de acumulación. Por tanto, al cabo de un año 1 euro se habrá convertido en (1+i/4)^4.
Razonando análogamente, si el período de acumulación de intereses fuera un mes, entonces 1 euro se convierte al final de un año en (1+i/12)^12.
Si el período de acumulación fuera un día, entonces 1 euro se convierte al final de año en (1+i/360)^360.
Como cabía esperar , cuanto más breve es el período de acumulación , más beneficio produce el capital inicial
( antes empiezan los interesados generados a producir nuevos intereses ).

Siguiendo este razonamiento, surge de forma natural la siguiente pregunta ¿ Y si el período de acumulación es un instante ? es decir ¿ y si el interés desde el mismo instante en que es generado, empieza a su vez a generar nuevos intereses ? Estamos entonces ante lo que se llama un interés continuo. El concepto de instante y su relación con la idea de límite se analizarán con más profundidad en el capítulo de las derivadas.
La estrategia del límite nos da de nuevo la solución a este problema. Nos permite dar el salto de un proceso discreto a otro continuo. Buscamos un proceso en el que cada vez obtengamos aproximaciones mejores al valor buscado y además estas aproximaciones se acerquen al valor tanto como se quiera .
Si utilizamos n períodos iguales de acumulación durante el año, argumentando como antes , 1 euro se convierte al final del año en (1+1/n)^n.
Cuanto mayor sea n, menor será el período de acumulación, de modo que éste tenderá a 0 ( será un instante ) cuando n tienda a infinito.
Así, con un interés continuo del 100 %, 1 euro se convierte , al final de un año, en el valor  lim (1+1/n)^n . Sabemos que este límite es el número e. Su nombre se debe al gran matemático Euler, quien descubrió la relación existente entre los tres números más famosos de la matemática .
Si es famoso el número e, no es por el interés continuo , que nunca se da en la práctica habitual en los términos anteriores ( ninguna entidad financiera ofrece un interés continuo, y menos al 100 % anual ). Pero el interés continuo simboliza muy bien el modelo que siguen todos los procesos de crecimiento y decrecimiento continuos , tan frecuentes en la naturaleza.
El crecimiento de la masa forestal de un extenso bosque, el crecimiento de una colonia de insectos o virus, la desintegración radiactiva ,....son procesos continuos, en los que la acumulación o el decrecimiento se producen instantáneamente ( no hay un período de tiempo en el que los elementos generados permanecen inactivos esperando una señal para incorporarse al proceso , sino que ,desde el mismo instante en que son generados, participan como el resto en el proceso de crecimiento) . Por eso, en las ecuaciones que rigen estos modelos aparece siempre el número e

TOMADO DE:http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nanagonza/limite.htm

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