Estiramiento de un muelle

Analicemos ahora un último ejemplo , extraído de la física, que se resuelve de forma sencilla con la estrategia del límite.
La mayoría de las fuerzas que actúan en la naturaleza son variables, no permanecen constantes : así, al estirar un muelle , el esfuerzo de alargarlo el primer decímetro es menor que el del segundo decímetro. Cuanto más estirado está el muelle, más fuerza tenemos que emplear para mantenerlo en dicha posición.La fuerza que tiende a recuperar su posición es cada vez mayor, de modo proporcional a la longitud estirada ( F = -kx , la constante k depende de cada muelle). Cuanto más estirado está el muelle, más nos cuesta alargarlo. La constante k depende de cada muelle.

¿Cómo calcular el trabajo que se emplea para estirar un muelle ,de constante k, una longitud L ?

Sabemos que el trabajo es el producto escalar de la fuerza que actúa sobre unn objeto por sudesplazamiento . Pero en nuestro caso la fuerza es variable, como hemos indicado antes. ¿Qué valor asignamos a la fuerza durante todo el proceso de alargamiento? ¿La que actúa al principio del proceso? ¿La que actúa en un punto intermedio?
Está claro que en todos estos casos cometemos un error significativo. La estrategia del límite nos da la solución de nuevo a este problema....
Dividimos en 4 partes iguales el desplazamiento y suponemos que la fuerza es constante en cada una de éstas, eligiendo en cada intervalo la fuerza que actúa en su extremo derecha:

Con estas hipótesis ¿ cuál es el trabajo para estirar la longitud L ?
En el primer tramo la fuerza F= -k* L/4,y el desplazamiento es L/4. El trabajo es , por tanto, -k*L/4 *L/4 = -k*L^2/4^2.

En el segundo tramo, el trabajo es -k*(2L)/4*L/4

..............
El trabajo total es la suma de estos trabajos : -k*(L^2/4^2) *(1+2+3+4)

Como antes, si ahora dividimos el trayecto en 8 partes , la aproximación al valor buscado es mejor:

-k*(L^2/8^2)*(1+2+....+8)

Por último, dividiendo el trayecto en n partes,

-k*(L^2/n^2)*(1+2+.....+n)= -k*(L^2/2)*(1+1/n)

El trabajo total es el límite de esta expresión cuando el número n de intervalos iguales tienda a ( de esta forma, la longitud de cada intervalo es infinitamente pequeña y no hay error al considerar constante la fuerza en él).

Por tanto, el trabajo de estirar el muelle de constante k una longitud L es
-k*(L^2)/2

El límite y los infinitésimos

El método del límite proporciona un modo de fundamentar con rigor el cálculo diferencial sin recurrir a los infinitésimos , que , aunque eficaces en la resolución de problemas, resultaban conceptos muy oscuros y difusos tal y como los concibieron inicialmente Newton y Leibniz.
Supongamos que un coche parte del reposo y alcanza una velocidad de 110 km/h. Está claro , por la continuidad de la velocidad, que al menos en un instante este coche iba a 100 Km/h, según marcaba su cronómetro. Esta velocidad no es una cuestión simplemente teórica , sino que tiene un significado real y práctico: si el coche en ese instante tuviera un accidente, sus consecuencia dependen de esta velocidad. Del mismo modo, el alcance y altura de un proyectil lanzado por un cañón depende de la velocidad instantánea de salida por el tubo de éste.
Pero analicemos detenidamente este concepto que en principio parece evidente y sencillo. ¿Qué significa que en un instante la velocidad es de 100 Km/h? Suponemos que el coche no se ha mantenido con esa velocidad durante una hora en la que habría recorrido 100 kms. Está claro que para el cálculo de la velocidad no necesitamos que el coche esté en marcha durante una hora. Si la velocidad es constante, es suficiente con medir la distancia recorrida durante un tiempo determinado y calcular el cociente de esta distancia entre el tiempo empleado.
Si la velocidad no se ha mantenido constante en ningún período de tiempo ¿ cómo calcular ésta en un instante dado, que es distinta a la de un instante anterior y posterior? Si el tiempo de un instante es 0, también lo es la distancia recorrida en ese tiempo.¿Cómo calcular entonces la velocidad instantánea como un cociente 0/0?
Newton y Leibniz suponen la existencia de cantidades muy pequeñas, próximas a 0, a las que denominan infinitésimos, que aparecen y se desvanecen en el cálculo de su cociente, que sí es distinto de 0. Se trata evidentemente de un proceso nada riguroso: se sacan de la manga cantidades que apenas se diferencian de 0 y después desaparecen cuando han cumplido su misión como numerador o denominador. Sin embargo, los resultados obtenidos por estos dos grandes matemáticos no eran nada triviales y solucionaban problemas que durante siglos habían permanecido sin ser resueltos ( cálculo de velocidades, de máximos y mínimos, de cálculo de tangentes a curvas,...).
La estrategia del límite resuelve esta dificultad sin recurrir a los difusos infinitésimos. La noción de límite se aplica a distancias y tiempos pequeños, pero no infinitesimales.
Si conocemos el espacio recorrido en cada período de tiempo, calculamos las velocidades del coche en los intervalos previos al instante t:
(t -1,t ), (t -1/2,t ), ......(t -1/n,t)).....
Estas velocidades forman una sucesión cuyo límite , cuando n se hace tan grande como se quiera, coincide con la velocidad v en el instante .
Si analizamos este ejemplo, observamos que el método del límite no sólo permite calcular algunos valores exactamente, sino que es además una herramienta adecuada para definir conceptos y magnitudes físicas. ¿Cómo, si no, podemos definir la velocidad instantánea?
Como veremos en los capítulos de la derivada e integral, la mayoría de los conceptos de la física se definen mediante la estrategia del límite.

TOMADO DE:http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nanagonza/limite.htm