miércoles, 14 de mayo de 2014

PROBLEMA INTERESANTE

¿Qué pasaría si...
... cortáramos un cubo con un plano? ¿Podríamos obtener un triángulo semejante a cualquier triángulo dado?





SOLUCIÒN

Recordemos en primer lugar que dos triángulos son semejantes si los cocientes de los lados correspondientes son todos iguales a un número fijo. Por ejemplo, la Figura 1 muestra dos triángulos semejantes:

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Estos dos triángulos satisfacen las relaciones


Una vez hecha esta aclaración, la respuesta a la pregunta es que no es posible obtener un triángulo semejante a cualquier triángulo dado. Por ejemplo, veamos que este proceso de cortar el cubo con un plano no nos puede dar un triángulo recto. En la Figura 2 se ve un posible corte.


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Los tres triángulos que aparecen en otras tantas caras del cubo son rectos, por lo cual sabemos que se cumplen las siguientes relaciones:


Si además queremos que se cumpla, digamos, la relación , usando las tres relaciones anteriores podemos escribir:


de donde resulta , lo cual está claro que no puede ser. Desde luego, llegaríamos a una contradicción semejante si supusiéramos que el lado    ó el   es la hipotenusa del triángulo.

En este tema de cortar un cubo con un plano se pueden hacer muchas otras preguntas. Por ejemplo, ¿es posible obtener triángulos isósceles o equiláteros?, ¿es posible obtener un cuadrado o un rectángulo?, ¿se puede tener una sección pentagonal o hexagonal?, ¿qué polígonos regulares se pueden obtener?

Una manera divertida de experimentar es cortando patatas en forma de cubos y luego cortando los cubos de diferentes maneras. Los cortes, sumergidos en pintura, se convierten en sellos que pueden forman efectos interesantes sobre una hoja de papel.


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Sobre la autora
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Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la dirección de A.P. Calderón











TOMADO DE: http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=452&Itemid=275

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