UNA NUEVA PROPIEDAD DEL NÚMERO ÁUREO

En los libros de geometría de bachillerato es frecuente el siguiente problema:
hallar un triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión aritmética. El planteamiento conduce fácilmente al famoso triángulo de lados 3, 4, 5 o a todos sus semejantes, entre los que podemos tomar, por facilidad de comparación, el de hipotenusa igual a la unidad, con lo que los catetos son el coseno y el
seno de uno de los ángulos agudos. Los lados del triángulo resultan ser (0,6; 0,8; 1) y ángulo agudo menor B = 36,87º.
Siempre me sorprendió que no se plantee el obvio correlato: hallar el triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión geométrica. Unas fáciles ecuaciones conducen a que, para la hipotenusa unidad, los catetos valen 1/√φ y 1/φ respectivamente, siendo φ el conocido número áureo, o sea φ = (1+√5)/2 = 1,618...
El triángulo es el de lados (0,618; 0,786; 1), y el ángulo agudo vale 38,18º.

COMPLEMENTO. Podríamos preguntarnos por el triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión armónica. Cálculos no muy difíciles conducen est vez a una ecuación de cuarto grado, cuya solución es el triángulo de lados (0,632; 0,775; 1), y el ángulo, B = 39,22º.

Josep M. Albaigès i Olivart
Barcelona, noviembre 1999

TOMADO DE:http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf