Una curiosa propiedad cuadrática.

De antiguo es conocido el triángulo pitagórico: 3 ² + 4 ² = 5 ² 
Para algunos resultarán una sorpresa las siguientes generalizaciones de esa igualdad  cuadrática: 10 ² + 11 ² + 12 ² = 13 ² + 14 ² = 365 
21 ² + 22 ² + 23 ² + 24 ² = 25 ² + 26 ² + 27 ² 
Es inevitable preguntarse si estas igualdades son casuales u obedecen a alguna ley. ¿Es así?

SOLUCIÓN:

Si existe una ley, la correspondiente ecuación tomará la forma:

Desarrollando y simplificando se llega a:

O sea, finalmente:

n = 2p(p + 1)

De donde salen fácilmente los siguientes términos:

36 ² + 37 ² + 38 ² + 39 ² + 40 ² = 41 ² + 42 ² + 43 ² + 44 ²
55 ² + 56 ² + 57 ² + 58 ² + 59 ² + 60 ² = 61 ² + 62 ² + 63 ² + 64 ² + 65 ²

Obsérvese que la base del último cuadrado del término de la izquierda es siempre el
cuádruple de un número triangular.

Estas series presentan una analogía trivial con las del tipo:

1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

que es también muy fácil generalizar.

TOMADO DE:http://www.mensa.es/juegosmensa/s151155.html#SOLU152