DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO EN FACTORES PRIMOS Y CANTIDAD DE DIVISORES

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO EN FACTORES PRIMOS Y CANTIDAD DE DIVISORES

Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre 1 y él mismo número, esto sucede en el campo de los números naturales. Pero hay números que tienen más de dos divisores y estos son los números compuestos; también hay que considerar al uno, que escapa de éstas dos ideas. Entonces la clasificación más común es la siguiente:

Los números primos: 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97;101;103; 107; …

La importancia de los números primos es que nos permiten expresar un número compuesto, es decir, podemos representar un número compuesto en función de sus factores primos.

Esta forma de expresar los números compuestos tiene como base dos aspectos importantes que hay que conocer: los criterios de divisibilidad y leyes de exponentes.

Por ejemplo:

 Para descomponer el número 360 y expresarlo en sus factores primos, tenemos que considerar los criterios de divisibilidad por dos (porque la última cifra es cero), por tres (porque la suma de sus cifras es múltiplo de tres) y por cinco (porque la última cifra es cero).

Ya tenemos expresado a 360 en función de sus factores primos con esta descomposición podemos determinar la cantidad de divisores que tiene y cuáles son:

TABLA DE DIVISORES

Para construir la tabla de divisores primero tomamos las potencias sucesivas del factor con mayor exponente obtenido en la descomposición, en el ejemplo sería 2³ y se haría lo siguiente:

2⁰; 2¹ ;2² ;2³   y los otros factores de la misma forma, pero sin el exponente cero, luego lo disponemos de la siguiente forma: se colocan líneas divisorias para cada sucesión de potencias de cada factor primo diferente

Se multiplican los números que están en el lado vertical con cada fila, pero considerando solo las filas por encima de la línea divisoria:

En el ejemplo las potencias del tres solo se multiplicarán con las potencias del factor 2 y las potencias del factor 5 se van a multiplicar con las tres filas que se encuentran por encima de su línea divisoria, así como indica los gráficos anteriores.

Podemos ver fácilmente que la cantidad de divisores de 360 es 24, es decir, que hay 24 números que dividen exactamente a 360, pero existe otra forma para calcular la cantidad de divisores de 360, sin usar la tabla de divisores:

·       ¿Cuántos divisores pares, tiene 360?

Viendo la tabla de divisores contamos 18 divisores pares: 2;4;6;8;10;12;18;20,24;30;36;40;60;72;90;120;180 y 360

La otra forma sería la siguiente:

360= 2x2x2x3x3x5= 2(2²x 3²x 5¹) colocamos el 2 delante de los otros factores para obtener todos los divisores múltiplos de dos (o sea pares) ahora aplicamos la fórmula a los factores dentro del paréntesis: (2+1) (2+1) (1+1) = 3x3x2 =18 divisores

·        ¿Cuántos divisores múltiplos de 5, tiene 360?

Mirando la tabla tenemos: 5;10;15;20;30;40;45;60;90;120;180 y 360 en total 12 divisores múltiplos de 5. Ahora:

360= 2x2x2x3x3x5= 5(2³x 3²) aplicamos la fórmula para los términos dentro del paréntesis: (3+1) (2+1) = 4x3=12

·        ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos, tiene 360?

En la tabla: 1;4;9 y 36 son cuatro divisores cuadrados perfectos. Aplicando la fórmula sería así: se expresan los factores primos de la descomposición con exponentes 2 (aquellos que se puedan)

·        ¿Cuántos divisores impares, tiene 360?

Esto se resuelve considerando el total de divisores y la cantidad de divisores pares: