viernes, 1 de agosto de 2014

El logaritmo. Ese gran desconocido.

Los logaritmos son quizás una de las herramientas matemáticas mas desaprovechadas en la educación escolar, ya que no se le da un fundamento real a dicha función. Ésta, fuera de cálculos técnicos presenta utilidades como se remarca a continuación:

 Los logaritmos como normalizadores.
Los logaritmos entre otras cosas, se utilizan para la escritura de los números que se encuentran en potencias de 10, determinados por su exponente o logaritmo. Si representas en una recta en vez de los números, su logaritmo, se dice que utilizas la escala logarítmica. Por ejemplo, puedes representar en una recta los 16 órdenes (logaritmos) que hemos indicado para comparar los pesos de los distintos animales.
Animales
Características
Logaritmo
Orden
ballena
El mayor de todos los animales
8,08
8
Cachalote
Braquiosaurio
Tiburón gifante
Alosaurio
Beluchiterio
Tiburón blanco
El mayor de los carnívoros
El mayor animal terrestre (extinguido)
El mayor de los peces
El mayor carnívoro terrestre (exting.)
El mayor mamífero terrestre (exting.)
El mayor pez carnívoro
7.83
7.83
7.61
7.26
7.26
7.03
7
Elefante
Calamar gigante
Cocodrilo
Pez Rueda
El mayor animal terrestre
El mayor invertebrado
El mayor reptil
El mayor pez de huesos grandes
6.99
6.26
6.25
6.13
6
Tortuga marina
Oso de Kodiak
Aepyornis
Almeja gigante
Galápago
Pitón reticulada
Avestruz
Verano de Cómodo
La mayor tortuga
El mayor carnívoro terrestre
La mayor de las aves
El mayor gasterópodo
El mayor reptil terrestre
La mayor serpiente
La mayor ave
El mayor lagarto
5.93
5.87
5.66
5.50
5.42
5.32
5.20
5.05
5
Hombre
De unos 80 kg
4.96
4
Salamandra gigante
Albatros
Langosta
El mayor batracio
El mayor ave voladora
El mayor artrópodo
4.60
4.26
4.19
4
Escarabajo gigante
El mayor insecto
2.00
2
Pájaro mosca
Musaraña
La menor ave
El menor mamífero
0.30
0.18
0
Gobio
El menor de los peces vertebrados
-2.70
-2
Mosca duende
El menor de los insectos
-5.30
-5
Rotífero
El menor animal pluricelular
-8.22
-8


También podría utilizarse para distancias, como es el caso de la astrofísica.

 Los logaritmos "hacia las estrellas"
Al observar las estrellas vemos que no todas son igualmente brillantes. Vamos a asociar a cada estrella un número que nos da idea de la cantidad de energía que recibimos de la estrella y a este número le llamaremos magnitud de la estrella. Para ello, tenemos que fijar una escala y una unidad.
Ya desde la antigüedad existía una escala que clasificaba a simple vista desde las estrellas más luminosas (primera magnitud) hasta las estrellas menos luminosos ( sexta magnitud).

Cuando en el siglo pasado se intentó una clasificación racional, se quiso adaptar lo más posible a la anterior. Para hacerlo se basaron en la ley de Weber-Feschner: "Cuando una causa produce una sensación, si la causa varía en progresión geométrica la sensación lo hace en progresión geométrica".
En nuestro caso, la causa es la intensidad y la sensación es la magnitud. Se mantuvo la costumbre de llamar estrellas de primera magnitud a las más brillantes y se vio experimentalmente que la intensidad de las estrellas de primera magnitud era 100 veces mayor que la de la sexta magnitud:

Intensidad
100
40
16
6,4
2,5
1
Log 2.5
5
4
3
2
1
0
Magnitud
1
2
3
4
5
6

Las intensidades forman una progresión geométrica de razón 2.5. En la tabla se han aproximado los valores para seis primeras magnitudes conocidas.
Las magnitudes de las estrellas están ligadas también a las intensidades o brillos de las mismas por la sencilla fórmula de Pogson:

M1 - M2 = 2.5 Log (I1/I2)
Siendo 1 y 2. dos estrellas de magnitudes M, respectivas, y brillos Im.
Es fácil comprender que la magnitud de una estrella no es otra cosa que el logaritmo de su luminosidad física. En otras palabras, el astrónomo al establecer la luminosidad visible de una estrella opera con logaritmos en base 2.5.
 Los logaritmos y los seismos.
La magnitud M de un seísmo en la escala de Richter es:
M = 0.67 log (0.37E) + 1.46
Donde E, es la energía del seísmo en kw/hora.

 Logaritmos y decibelios.

La sensación sonora, se mide en decibelios en honor a Alexander Graham Bell, inventor del teléfono.

Si la variación de la presión es P libras por pulgada cuadrada, la intensidad L en decibelios es:
L = 20 log (121,3P)
 Logaritmos y la cosmética.
La utilización de los logaritmos es frecuente y útiles tanto en la misma matemática, como en otras ciencias.
En química, se utiliza, por ejemplo, para expresar el carácter ácido, básico o neutro de las disoluciones. Expresar concentraciones de iones con exponente negativo resulta en la práctica incómodo; por esta razón en el año 1909, el químico danés Soren P. L. Sorensen introdujo el concepto de pH, como logaritmo decimal del inverso de la concentración de inones expresada en moles/ litro:

PH = log[1/[H+]]
Aplicando ahora el logaritmo de un cociente, la expresión anterior puede escribirse como la conocemos:
PH = log 1 - log [H+] = - log [H+]
La concentración de una disolución neutra, es aquella en la que [ H+] =10-7 moles/litro, luego un pH inferior a 7 es el de las disoluciones ácidas, y uno superior básicas.
Una señora en una tienda pide un champú neutro, ¿qué significa esto? El pH de este champú es 7, y se adapta mejor al proceso biológico de limpieza del cabello, que si es ácido o básico. Los champús suaves, tiene pH = 7.
Nótese que éste es uno de los casos raros, en el que pedimos una sustancia por su logaritmo.

TOMADO DE: http://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0898/index.htm

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