Una involución de Dirichlet

“Permíteme, querido amigo, volver un instante sobre la conversación que hemos tenido últimamente sobre el bello teorema de Jacobi relativo al número de descomposiciones de un entero en cuatro cuadrados, teorema que el iluste geómetra ha deducido primero de sus series elípticas y del que ha dado después una demostración aritmética….”

Así comienza el extracto de la carta de Lejeune-Dirichlet a Liouville, que éste publicó en su Journal de Mathematiques en 1856, y donde Dirichlet presenta una involución del conjunto de soluciones de , para un  par dado, con  impares positivos y .

Representamos una solución  de la ecuación , con  impares positivos y , como en la figura adjunta. donde tenemos representada la solución .

Como  son impares,  y  serán pares.

Transformamos una solución reflejando primero su figura sobre una recta vertical y dividiéndola en tantas partes de anchura  como podamos, de forma que tendremos una parte (1) de anchura , y, según la anchura del resto, ninguna o varias partes (2) y finalmente una parte (3) con un resto no vacío porque la anchura total de la figura es impar y  es par.
Separamos las partes, todas de anchura  menos la última con anchura menor, manteniendo su orden, y giramos cada parte .
Uniendo las partes una vez giradas tendremos la figura

que representa otra solución  de la ecuación , en este caso .

Es claro, por el procedimiento de transformación de  en  que

•  son impares positivos y   .
•    y   .
• Aplicando la misma transformación a la solución  volvemos a obtener la solución original .

Entonces la transformación que acabamos de describir es una involución del conjunto de soluciones impares positivas  de , con , que intercambia los valores de  y .

Soluciones impares, con a>c,
  de a·b+c·d = 

 a x  b +  c x  d   a-c   b+d

 3 x  1 +  1 x 21     2    22
 5 x  1 +  1 x 19     4    20
 7 x  1 +  1 x 17     6    18
 3 x  3 +  1 x 15     2    18
 9 x  1 +  1 x 15     8    16
 9 x  1 +  3 x  5     6     6
 9 x  1 +  5 x  3     4     4
11 x  1 +  1 x 13    10    14
13 x  1 +  1 x 11    12    12
13 x  1 + 11 x  1     2     2
 3 x  5 +  1 x  9     2    14
 5 x  3 +  1 x  9     4    12
 5 x  3 +  3 x  3     2     6
15 x  1 +  1 x  9    14    10
15 x  1 +  3 x  3    12     4
15 x  1 +  9 x  1     6     2
17 x  1 +  1 x  7    16     8
17 x  1 +  7 x  1    10     2
19 x  1 +  1 x  5    18     6
19 x  1 +  5 x  1    14     2
 3 x  7 +  1 x  3     2    10
 7 x  3 +  1 x  3     6     6
 7 x  3 +  3 x  1     4     4
21 x  1 +  1 x  3    20     4
21 x  1 +  3 x  1    18     2
23 x  1 +  1 x  1    22     2

Para un  par dado, que se puede modificar, en el recuadro aparecen todas las soluciones , con  impares positivos y de la ecuación , y dos columnas adicionales con los valores de  y .

Por la involución descrita las columnas  y  contienen los mismos valores con las mismas repeticiones, y para cada par  de la misma fila existe una fila en que aparece ese par invertido.

Si  no es múltiplo de 4, uno de los dos valores pares ,    es múltiplo de 4 y el otro no lo es. Porque si ,    son los dos múltiplos de 4,  y , y  sería múltiplo de 4. Si ninguno de esos valores es múltiplo de 4, en los pares  uno de los términos es de la forma  y el otro de la forma , y entonces  y, y  sería múltiplo de 4.

De donde se concluye que si  no es múltiplo de 4, en la columna  (o  ) el número de elementos que son múltiplos de 4 es igual al número de elementos que no lo son.
En la siguiente entrada usamos este resultado para obtener, siguiendo a Dirichlet, el número de soluciones impares de la ecuación , para un impar dado.

TOMADO DE:http://apolonio.es/guirnalda/una-involucion-de-dirichlet/#more-2730