PILOGE: El problema de la dieta: aplicaciones de programación lineal en la crianza animal

miércoles, 6 de agosto de 2014

El problema de la dieta: aplicaciones de programación lineal en la crianza animal

Desde un punto de vista económico, la programación lineal es tal vez el avance matemático más importante del siglo XX.

Si preguntas algo como: ¿Que invención de la segunda guerra mundial permite el balanceo de una dieta animal … Posiblemente te pase por la mente escenas de la serie de televisión combate o de la película la lista de shindler .Y luego quedes confundido .Pero en 1947 George B. Dantzig propone un modelo matemático para optimizar el entrenamiento, abastecimiento logístico y movimiento de tropas en la Fuerza Aérea de los EEUU. Reemplazando el uso de reglas empíricas subjetivas por desigualdades lineales y una función objetivo.

Desarrolla luego un método de solución: El algoritmo del simplex.

George B. Dantzig

(1914 – 2005)

Hablemos de matemática

Un problema de programación lineal es un problema de optimización donde: Se pretende maximizar o minimizar (Mínimo costo o máximo beneficio por ejemplo.).

A la expresión matemática de nuestro problema le llamaremos función objetivo. ( función costo o función rentabilidad por ejemplo ).
A nuestros parámetros les llamaremos restricciones.( no mas de , solo una vez , no superior a ,por ejemplo . ). Cada una de las restricciones será una ecuación lineal o una desigualdad lineal en las variables de decisión.
Llamaremos Región Factible a un área donde todas las líneas constituidas por las restricciones crean una figura que las cumple y hallaremos una respuesta posible en cada intersección de ellas determinando la mínima o máxima.

A este punto es difícil entender que es el simplex y como funciona .Pero veamos el primer problema de la dieta planteado por el matemático Stigler:

"El problema de la dieta" de Stigler

Objetivo:

Encontrar la combinación de alimentos de costo mínimo que permita satisfacer nueve requerimientos nutricionales básicos de una persona de peso promedio.

Motivación:

Reducir costos en el abastecimiento de tropas.

Modelación matemática

Función objetivo :

min. x1 + x2 ( Buscar el mínimo costo al combinar cantidades x de alimento por su costo unitario)

Restricciones :

2x1 + x2 = 3 ( Requerimiento mínimo de proteína )

x1 + 2x2 = 3 ( Requerimiento mínimo de carbohidratos )

x1 = 0 ( cantidad mínima de papas en la dieta )

x2 = 0 (Cantidad mínima de fréjoles en la dieta )

En su intento por resolverlo, Stigler obtiene una de las primeras formulaciones de programación lineal : con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una solución por métodos heurísticos: $39.93 en 1939.

Algunos años después Laderman en 1947 usó el simplex para encontrar la solución óptima siendo el primer cálculo a gran escala que preciso de 120 días-hombre empleando 10 calculadores de escritorio manuales con $39.69 sólo 24 ctvs. más barato que Stigler.

Claro el avance de la computación hace de estas experiencias simplemente anecdóticas. Pero la idea básica es la misma .Ahora veamos un ejemplo donde la programación lineal cobra importancia .

Un ejemplo :

Alimento Balanceado Para Pollos (1- 21 días) a su Mínimo Costo

El Crecimiento De Los Pollos Depende De Una Sólida Alimentación Que Cumpla Los Requerimientos Nutritivos De Los Mismos .Este ejemplo desarrolla un balanceo simple de dos alimentos con restricciones de energía , proteína y metionina..

Tomemos en cuenta que el método de cuadrado pearson no puede dar una solución con más de un requerimiento y tampoco asegura una respuesta mínima en función al costo.

El cuadro 1 muestra las exigencias nutricionales mínimas de pollos de cría (1 a 21 días ) .

Para producir la ración balanceada se usara maíz y soya .El cuadro 2 muestra la composición nutritiva de estos dos insumos .Y el cuadro 3 presenta el precio por Kg. . de cada uno .

Ahora modelemos el problema diciendo que : x,y son Kg. . de alimento , el cual claro debe ser mayor igual a 0 (Puede ser que solo uno de ellos cumpla los requerimientos que buscamos ).

El objetivo es minimizar el costo de la ración y diremos que la función costo seria : costo = (precio del insumo x * cantidad de x ) + ( precio del insumo y * cantidad del insumo y) .

Como deseamos minimizar escribamos esto :

A esto le llamaremos función objetivo ( mínimo costo de dieta).

Pues bien formulemos unas restricciones :

Figura 1 Debe haber en dieta una cantidad mayor igual a 3050 Kcal./Kg. de energía con el aporte energético de los insumos en cantidades x ,y.

Figura 2 Sumaremos otra restricción , La proteína debe ser mayor igual 22 % .

Figura 3 Ahora para concluir la metionina debe ser mayor igual a 14 mg/ Kg.

Figura 4 La región factible es nada mas que un área geométrica delimitada por los signos mayor igual y nuestras restricciones .Aquí es donde existe la posibilidad de hallar una solución donde se satisfagan todas las restricciones . según los postulados de G.danzit la solución se encuentra donde se cruzan dos líneas o en toda la frontera de la zona factible .

Bueno como revisar proyecciones de gradientes con matemática vectorial es muy complejo identifiquemos los puntos de intersección :

(0,1.12) Intersección de la energía con el eje y .

Remplazando en la función costo da 0.27

(0.444,0.653) Este punto es la intersección de metionina y energía .Y se encuentra resolviendo el sistema lineal con dos incógnitas y dos ecuaciones :