EL BENDITO 59

Seguimos en la zona de los números "poco interesantes". ¿Qué podremos decir sobre el 59? Antonio
Cebrián nos demostrará un poco más adelante que mucho. Como editor, permítaseme citar solamente
estas propiedades:
Platón, en el Libro V de Leyes, dice que éste es el número de divisores que debía tener el número de
parcelas en que se fraccionaba el territorio de una nueva ciudad.
La solución tradicionalmente propuesta es 5040, que en efecto es la menor de las posibles. Sin
embargo, hay muchas más. Recordemos que si un número admite la descomposición en factores
primos N = aα bβ cγ …lλ , el número total de divisores (incluido el propio número) vale N(D) = (α
+1)(β +1)( γ +1)…(λ +1). Para N = 60, es efectivamente 60 = 24·32·5·7, conque N(D) = 5·3·2·2 = 60,
pero infinidad de otros números con los mismos exponentes y distintos factores primos cumplen con
la condición, por ejemplo 17820 = 22·34·5·11.
Observemos que 5040 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7. Es decir, que el número de Platón es también el número de
diferentes permutaciones que podrían formarse con los días de la semana, por ejemplo.
¿Recordáis el número de Ramanujan? Era 1.729, el primero que era dos veces suma de dos cubos,
pues 1.729 = 103 + 93 = 123 + 13. Pues bien, similarmente el 59 interviene en un célebre problema
propuesto ya mucho antes por Euler, en 1772: hallar el menor número que es dos veces suma de
cuartas potencias. El mismo Euler halló la solución:
635.318.657 = 594 + 1584 = 1334 + 1344
 59 es también el número de regiones de R3 delimitadas por las caras de un octaedro regular.
También es el segundo primo irregular (el primero es 37). Los primos irregulares son aquéllos tales
que el número de clases de divisores de Q(ξ p) es divisible por p (ξ p es una raíz primitiva de la unidad
de grado p). Estos números deben dividir el numerador de uno de los p - 3 primeros números de
Bernouilli.
Antes de la definitiva demostración por Wiles del Gran Teorema de Fermat, los números primos
irregulares jugaban un importante papel, pues la mejor aproximación a que se había llegado era
demostrar que el teorema no se verificaba para ningún número, salvo los primos irregulares.


TOMADO DE: https://www.mensa.es/carrollia/c59.pdf