CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 3

1.- Miedo a viajar en los aviones.-

                 Un hombre que viajaba mucho estaba preocupado por la posibilidad de que hubiese una bomba en su avión. Calculó la probabilidad de que así fuese y, aunque ésta era baja, no era lo suficiente para dejarlo tranquilo. Desde entonces lleva una bomba en su maleta. Según él, la probabilidad de que haya dos bombas a bordo es infinitesimal.

2.- Encuentro fortuitos.- Dos extraños, procedentes de puntos opuestos de EEUU, se sientan juntos en un viaje de negocios a Milwaukee y descubren que la mujer de uno de ellos estuvo en un campo de tenis que dirigía un conocido del otro. Esta clase de coincidencias es sorprendentemente corriente. Si suponemos que uno de los aproximadamente 200 millones de adultos que viven en EEUU conoce a unas 1500 personas, las cuales están razonablemente dispersas por el país, entonces la probabilidad de que cada dos tengan un conocido en común es del 1%. La cuenta sería la siguiente P(de que al menos una de las personas conocida por una de ellas, sea conocida por la otra) 1-P(no conozca a ninguna de las 1500 ) = 1- P(no conozca a la 1ª).P(No conozca a la segunda/Si no ha conocido a la primera).......P(no conozca a la nº 1500/no ha conocido a ninguna de las 1499 anteriores)
 = 1-0.9888 @ 0,1 =1%

                Pero la probabilidad de que la cadena se una por al menos dos intermediarios supera el 99 %.

                 Aunque las suposiciones anteriores se consideren excesivamente rígidas, dado que los conocidos suelen estar próximos a los lugares donde se ha residido, la probabilidad de que dos personas elegidas al azar estén unidas por una cadena de como mucho dos intermediarios es muy alta.

(En España donde nos relacionamos más ,   la cosa es más exagerada, así que no os extrañéis que vuestro compañero de viaja a Honolulu pueda tener un conocido  que conozca a otro conocido vuestro, la probabilidad es alta).

  

3. El timo bursátil.-

                 Los asesores bursátiles están en todas partes y es muy probable encontrar a alguno que diga cualquier cosa que uno quiera oír. Normalmente son enérgicos, parecen muy expertos y hablan una extraña jerga de opciones de compra y de venta, cupones 0 y cosas por el estilo. A la luz de mi humilde experiencia, la mayoría no tienen mucha idea de lo que están hablando, pero cabe esperar que algunos sí que sepan.

                Si durante seis semanas seguidas recibieras por correo las predicciones de un asesor de bolsa acerca de cierto índice del mercado de valores y acertara las seis, ¿Estarías dispuesto a pagar para recibir la séptima predicción?. Supón que te has planteado hacer una inversión y tanto si estás dispuesto a pagar como sino, piensa en el siguiente timo:

                 “Uno que se hace pasar por asesor financiero imprime un logotipo en papel de lujo y envía 32.000 cartas a otros tantos inversores potenciales en un cierto valor de la bolsa. Las cartas hablan de un elaborado sistema informático de su compañía, de su experiencia financiera y de sus contactos. En 16000 de ellas, predice que las acciones subirán y en las otras 16000 que bajarán o se mantendrán estables. Pase lo que pase, en 16000 de ellas acertará. La semana siguiente manda 8000 cartas diciendo que va a subir y otras 8000 que no va a subir a los 16000 potenciales inversores a los que acertó la predicción, siguiendo hasta 6 veces, 500 personas habrán recibido la predicción correcta. En la carta siguiente se les recuerda esto y se les dice que para seguir recibiendo una información tan valiosa una séptima vez habrán de aportar 500:Si todos pagan, en 7 semanas nuestro asesor se saca 250000 , la friolera de 41.596.500 pts,  que le haya costado a 150 pts cada carta (63500x150 = 9.525.000pts), aún le queda buen jornal, siendo además que todo lo que ha hecho debe ser hasta legal”^[1]

4.- Eligiendo cónyuge.-

 Hay dos  maneras de enfocar el amor: con el corazón  y con la cabeza. Por separado, ninguno de los dos da buenos resultados, pero juntos......tampoco funcionan demasiado bien. Sin embargo, si se emplean ambos a la vez, quizá las probabilidades de éxito sean mayores. Es muy posible que, al recordar amores pasados, alguien que enfoque sus romances con el corazón se lamente de las oportunidades perdidas y que piense que nunca jamás volverá a amar así. Otra persona más práctica, que se decida por un enfoque más realista, seguramente esté interesado en el siguiente resultado probabilístico.

Nuestro modelo supone que nuestra protagonista – a la que llamaremos María- tiene buenas razones para pensar que se encontrará con N potenciales cónyuges mientras está en edad núbil. Para algunas mujeres N puede ser dos, y para otras 200. La pregunta que se plantea María es: ¿Cuándo habría de aceptar al señor X y renunciar a los otros pretendientes que vinieran después, aunque alguno de éstos quizá fuese “mejor” que él?

Para concretar más, supongamos que María ha conocido ya a seis hombres y que los ha clasificado así: 3 5 1 6 2 4. Es decir, el primero que conoció ocupa el tercer lugar en el orden de preferencia, el segundo en aparecer ocupa el quinto lugar, prefiere el tercero a todos los demás.... Si ahora resulta que el séptimo de los hombres que conoce es mejor que todos los demás excepto su favorito, modificará la clasificación 4 6 1 7 3 4 2. Después de cada hombre, María reordena la clasificación relativa de sus pretendientes y se pregunta ¿Qué regla habrá de seguir para maximizar la probabilidad de escoger al mejor de los N pretendientes que espera tener?.

 Utilizando la probabilidad condicionada, y planteando las siguientes hipótesis:

1ª María los va conociendo uno  a uno , valora la conveniencia relativa de cada uno y que, una vez que ha rechazado a uno, lo pierde para siempre

2ª Diremos que un pretendiente es un novio si es mejor que todos los candidatos anteriores

 El resultado probabilístico es que María debe rechazar a los primeros 37% pretendientes y elegir al primer novio entre los  próximos pretendientes, si es que lo encuentra.

                Así si María espera tener 7 pretendientes debería desechar a los dos primeros y elegir al primer novio que le salga; si solamente espera tener 1 debería convertirlo en novio y acertará al 100%, si espera 2 le da igual elegir al primer pretendiente o rechazar al primero y elegir al segundo, siempre tendrá un 50% de probabilidad de acertar; o si espera tener 20 su mejor estrategia sería rechazar a los 7 primeros y elegir al primer novio de entre los siguientes pretendientes . Luego viene lo más difícil y es convivir con el hombre ideal, parece sensato que ante esta decisión se tengan en cuenta otros condicionantes desde el punto de vista romántico.

Como se comprenderá lo difícil es calcular el número de hipotéticos pretendientes que va a tener María, pero es posible que alguien se atreva a estimarlo y en ese caso la opción probabilística tiene una base científica. Huelga decir que el análisis vale lo mismo para María que para Juan.

                Para que se vea más claro, vamos a suponer que María va a tener 4 pretendientes  los  ordena por orden de llegada y por orden de preferencia: Así la secuencia 2314, indica que el primer pretendiente que tuvo lo hubiese colocado en el lugar 2 de sus preferencias, el  segundo pretendiente en el tercer lugar, considera que su preferido hubiese sido el que llegó en tercer lugar, y el cuarto pretendiente que conoció lo situaría también en cuarto lugar de sus preferencias. Veamos todas las permutaciones posibles que serían 4!=4.3.2.1= 24

1234        1243    1324    1342    1423    1432     2134     2143    2314    2341     2413     2431

3214        3241   3124    3142    3421    3412     4231    4243    4321      4312     4123     4132

Siguiendo  el criterio marcado antes, rechazaría al primer pretendiente y elegiría al primer novio (El primero que sea mejor que los anteriores)[2]. Por ejemplo si la secuencia ha sido 1234, ya no podrá elegir correctamente, de hecho se quedará sin novio ya que cada pretendientes es peor que el anterior; la secuencia 2134, elegiría a su segundo pretendiente al ser mejor que el primero y por tanto un novio, teniendo además la suerte que, sin conocer a los siguientes, ha sido el mejor; La secuencia 2431 también hubiese sido exitosa, porque descartando a priori al primer pretendiente, el primer novio será el cuarto pretendiente; la secuencia 3241 no hubiese conseguido éxito al ser el segundo pretendiente mejor que el primero y se convertiría, por tanto, en novio y no hubiese coincidido con el mejor (ella no lo sabia como es obvio). Hubiese acertado en 11 de las 24 ocasiones (las marcadas en negrita). Se deja al lector que pruebe con cualquier otra opción: Elegir al primer novio, rechazar a los dos primeros pretendientes y después elegir al primer novio (Recordemos que un pretendiente será un novio si es mejor que los anteriores pretendientes) o  rechazar a los tres primeros pretendientes y quedarse con el cuarto.

                5.- Una de Juicios[3]

En 1964 una mujer rubia peinada con una cola de caballo robó a otra mujer en Los Angeles. La ladrona huyó a pie, pero posteriormente alguien la reconoció cuando montaba en un coche amarillo conducido por un negro  con barba y bigote. Las investigaciones de la policía acabaron por encontrar a una mujer rubia con cola de caballo que regularmente frecuentaba la compañía de un negro de barba y bigote que conducía un coche amarillo. No había ninguna prueba fehaciente que relacionara el delito con la pareja, ni testigos que pudiesen identificar a ninguno de los dos. Se estaba de acuerdo, no obstante, en los hechos citados.

El fiscal basó sus conclusiones en que, como la probabilidad de que tal pareja existiera era tan baja, la investigación de la policía tenía que haber dado con los verdaderos culpables .Asignó las siguientes probabilidades en función de la estructura poblacional del Estados :

Probabilidad de coche amarillo =1/10.

Probabilidad de hombre con bigote = 1/4

Probabilidad mujer con cola de caballo = 1/10

Probabilidad mujer rubia =1/3

Probabilidad hombre negro con barba = 1/10

Probabilidad Pareja interracial en coche =1/1000

El fiscal arguyó que estos sucesos se pueden considerar independientes, por tanto la probabilidad de encontrar todas las características en una pareja eran igual a (1/10)x(1/4)x(1/10)x(1/3)x(1/10)x(1/1000) = 1/12.000.000, un número tan pequeño que la pareja había de ser culpable. El jurado los condenó.

Los condenados recurrieron ante el  Tribunal Supremo de California , que anuló la sentencia sobre la base de otro argumento probabilístico. En una ciudad de las dimensiones de Los Ángeles con 2.000.000de parejas la probabilidad de que más de una pareja cumpla las características de la pareja anterior no es tan extraño, en concreto hablaríamos del 8 % que para el Tribunal Supremo fue suficiente argumento para absolverlos.

El cálculo es muy sencillo. Consideremos la v.a.  X= “Nº de parejas que se pueden encontrar en la zona de Los Ángeles de características similares a la anterior” ºB(2.000.000, 1/12.000.000)

La probabilidad de que haya más de una pareja = P(X>1)= 1-(P(X=0)+P(X=1)= 0.08

TOMADO DE:http://matematicas.iesvegadelturia.es/curiosidades.htm