OPERACIÓN DE UNIÓN

OPERACION DE DIFERENCIA

LÓGICA PROPOSICIONAL (TEORÍA)

LÓGICA PROPOSICIONAL

1. El lenguaje de la lógica proposicional consta de los siguientes elementos
· Las variables. Simbolizan proposiciones simples, es decir, aquellas proposiciones inanalizables. Son las letras p, q, r, s, t, etc.
· Las conectivas lógicas, también llamadas constantes u operadores lògicos. Sirven para enlazar las variables y formar proposiciones complejas. Destacamos las siguientes:
· La negación (¬). Se lee "no ...". Por ejemplo, la proposición No llueve se simboliza "¬p". Se trata de una conectiva singular ya que es la única que no relaciona variables entre sí, sino que sólo puede afectar a una expresión del cálculo
· La conjunción (^). Se lee "... y ...". Por ejemplo, la proposición LLueve y me aburro se simboliza "p ^ q".
· La disyunción inclusiva o débil (v). Se lee "... o ..., o bien ... y ..." Por ejemplo, la proposición Es verdad que llueve o que soy feliz, o bien que llueve y soy feliz se simboliza "p v q".
· El condicional (→). Se lee "si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si llueve, entonces las calles se mojan se simboliza "p →q".
· El bicondicional (↔). Se lee "si y sólo si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si y sólo si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo se simboliza "p↔q".
· Los signos auxiliares, que son los paréntesis, los corchetes y las llaves: (, ), [, ], { }.
2. La lógica proposicional, como LENGUAJE FORMALIZADO, puede considerarse como la unión de un una sintaxis y una semántica
a) La sintaxis hace referencia a aquellas reglas que determinan cuáles son las combinaciones correctas de signos. Son las siguientes:
· p, q, r, s, t, ... son fórmulas bien formadas del cálculo proposicional.
· Si A es una fórmula bien formada del cálculo, entonces ¬A es también una fórmula bien formada del cálculo.
· Si A y B son fórmulas bien formadas del cálculo, entonces A ^ B, A v B, A → B y A ↔ B son también fórmulas bien formadas del cálculo.
b) La semántica hace referencia fundamentalmente a la manera en que se asignan valores de verdad a las expresiones del cálculo. Diremos que el cálculo proposicional es veritativo funcional en el sentido de que el valor de verdad de sus fórmulas depende (o es función de) los valores de verdad asignados a sus variables. Las conectivas son las que desempeñan el papel de funciones de verdad.
Además de la sintaxis y la semántica, se deben añadir las reglas de inferencia que son las que permiten realizar deducciones.
3. La lógica proposicional posee las siguientes propiedades metalógicas:
· Consistencia, ya que del cálculo proposicional no puede derivarse ninguna contradicción.
· Completud, puesto que todas las expresiones verdaderas construidas con los signos del cálculo son demostrables en él.
· Decidibilidad, porque para cualquier fórmula dada puede determinarse por un procedimiento bien pautado en un número finito de pasos su validez en el cálculo. Este procedimiento algorítmico son las tablas de verdad.
· La independencia de los axiomas, en el sentido de que ningún axioma del cálculo puede deducirse de otro.

BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LA LÓGICA

RESUMEN HISTÓRICO DE LA LÓGICA

ARISTÓTELES Y LOS ORÍGENES DE LA LÓGICA
La disciplina científica conocida como lógica, en sentido más propio, se denomina Lógica Matemática debido a que una de sus principales características, a partir del siglo pasado, ha sido la incorporación a su campo de métodos y símbolos algebraicos. El desarrollo desbordante de esta disciplina durante el último siglo ha dado lugar a que influya decisivamente en la ciencia contemporánea, tanto en sus proyecciones teóricas como tecnológicas. Así, por ejemplo, puede afirmarse que la actual revolución electrónica debe su dinamismo y eficacia a las contribuciones del álgebra de Boole, a las creaciones de Turing y a la teoría lógica de circuitos electrónicos de Claudio Shannon, entre otros aportes.
Los orígenes de la lógica científica se remontan al filósofo griego Aristóteles (384-322 a.C.) quien en su trabajo conocido como el Organon desarrolló el primer estudio sistemático de la deducción en la sección denominada Primeros Analíticos. Aristóteles examinó en particular un tipo especial de deducción: el silogismo. Un ejemplo típico de él nos lo proporciona el razonamiento: Si todos los cuadrados son rombos y todos los rombos son paralelogramos, entonces todos los cuadrados son paralelogramos.
El acierto de Aristóteles radico principalmente en estudiar estas deducciones considerando solo su forma o estructura con independencia de su significado o contenido. De esta manera un razonamiento como: Si todos los peruanos son americanos y todos los americanos son occidentales es, desde el punto de vista lógico, igual al anterior porque tienen exactamente la misma estructura o forma. Desde el punto de vista de su significado, el primero habla de figuras geométricas y el segundo de seres humanos pero, si se examina las relaciones que existen entre sus términos, se encontrara que ambos casos son las mismas. Los dos ejemplos corresponden al esquema “Si todo A es B y todo B es C, luego todo A es C”.
Lo dicho anteriormente nos sirve para hacer comprensible que la notable contribución aristotélica fue desarrollar una teoría sobre los razonamientos o deducciones que no tenga en cuenta el contenido de los mismos, sino su forma o estructura. Esta es la razón por la que la lógica desde su creación es una ciencia formal o estructural y este carácter lo mantiene hasta nuestros días después de veinticuatro siglos. Asimismo, el tratamiento estructural que hizo el estagirita (así se le llama a Aristóteles por haber nacido en Estagira) de la deducción, le posibilito otro aporte sustancial al desarrollo de la lógica y de la matemática: el método axiomático. Debido a todos los razonamientos podían ser considerados como estructuras, Aristóteles axiomatizo su teoría del silogismo, o silogística, seleccionando como puntos de partida cuatro estructuras básicas, a las que llamo axiomas, y luego construyó todas las demás como derivaciones de las básicas. De esta manera la teoría del silogismo constituye el primer sistema axiomático de la historia de la ciencia.
Casi contemporáneos con Aristóteles fueron los lógicos estoicos, quienes tuvieron el merito de profundizar en algunos campos a los que el autor del Organon no les había concebido suficiente atención. Estos filósofos son los precursores más lejanos de la actual lógica proposicional y de las teorías que incluyen predicados relacionales que son indispensables para dotar a la matemática de una lógica adecuada que el silogismo no proporciona. También los lógicos conocidos como megaricos hicieron en épocas cercanas a Aristóteles, aportes ingeniosos a la llamada lógica modal. El más importante de ellos, Diodoro Cronos, se dedico a la lógica de las modalidades temporales esclareciendo relaciones importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo, el influjo de Aristóteles fue avasallador y los estoicos y megaricos fueron desconocidos en la Edad Media durante la cual las investigaciones lógicas se centraron en el silogismo y sus aplicaciones. Esta temática acaparo las preocupaciones de Boecio, Tomas de Aquino, Pedro Hispano y Juan Buridano. Escaparon a ella Abelardo, Lulio y Occam que visualizaron otros horizontes, especialmente este ultimo que trabajo apreciablemente la lógica proposicional y conoció sus principales reglas de inferencia, a pesar de no manejar un lenguaje simbólico adecuado, lo que hizo muy difícil su tarea. Por añadidura, su conocida concepción nominalista de los universales, que interpreta a los conceptos como nombres genéricos, es muy próxima a la noción contemporánea de predicado lógico.

LOS PRECURSORES DE LA LÓGICA MATEMÁTICA
Los especialistas consideran al filosofé alemán Leibniz (1646-1716) como el primer genuino precursor de la lógica matemática, aunque reconocen que esta idea ya estaba en germen en la obra Ars Magna del español medieval Raimundo Lulio. Leibniz fue el primero que sostuvo con claridad que el método para convertir la teoría de la deducción lógica en una ciencia estricta e infalible era convertirla en un cálculo mediante la utilización de procedimientos matemáticos. Esta nueva ciencia seria una mathesis universalis, cuya función consistiría en demostrar la verdad de las afirmaciones filosóficas y científicas sin tener en cuenta su significado sino solamente su estructura expresada en símbolos de un lenguaje artificial, construido especialmente para calcular. Leibniz decía que calcular era operar con símbolos y consecuentemente, así como se podía calcular con símbolos aritméticos también ello era factible con símbolos que representen estructuras deductivas. El ideal leibniziano era lograr un instrumento lógico lo suficientemente poderoso como para traducir cualquier discusión significativa sobre la corrección de las deducciones a una operación en la que los oponentes se limiten a revisar los cálculos para ubicar el error, de manera parecida a como se corrige una suma cualquiera.
El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y por ello fracaso. Aunque su intuición fue grande, estuvo lejos de lo posible y de la construcción de un lenguaje simbólico que supere significativamente la vieja silogística aristotélica. Fue la inexistencia de un lenguaje lógico – matemático adecuado hasta mediados del siglo XIX lo que llevo al filosofo Kant (1724 - 1804), a pesar de su genialidad, a afirmar erróneamente que la lógica creada por Aristóteles era un conocimiento acabado, cerrado y completo, puesto que la investigación post – aristotélica no había ni refutado ni aportado nada nuevo en relación con las enseñanzas del Organon. Este famoso error del filósofo de Konisberg se debió fundamentalmente a que no conoció o no valoro suficientemente los avances de los estoicos, de los megáricos y de Guillermo de Occam.
El creador indiscutible de la Lógica Matemática fue el inglés George Boole (1815 – 1864) a través de sus obras Análisis matemático de la lógica e Investigaciones de las leyes de pensamiento. Boole utilizo el lenguaje del álgebra para atacar los problemas lógicos tradicionales planteados por el silogismo aristotélico, los cuales resolvió a través de procedimientos mecánicos de cálculo. Sin embargo, este nuevo lenguaje, conocido como Álgebra de Boole, manifestó su potencia resolviendo problemas que excedían los alcances de la lógica aristotélica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del estagirita. El Álgebra de Boole también se conoce como álgebra de clases o un álgebra de conjuntos que continuo investigando Augusto De Morgan (1806 – 1878). Posteriormente el inglés Jevons, el alemán Schroeder y el soviético Poretskiy convirtieron el álgebra de clases en un álgebra de proposiciones; y Gottlob Frege en su trabajo titulado Begriffsschrift (en español, Ideografía), propuso un método de cálculo de matrices para la lógica proposicional muy semejante al que se uso actualmente. Asimismo, Frege desarrolló de manera importante la lógica predicativa con el fin de aplicar el método axiomático a la naciente teoría de conjuntos de G. Cantor.

LA LÓGICA MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA
La Lógica Matemática contemporánea debe mucho de manera inmediata a las enseñanzas de Frege y el hito que marca su inicio es la obra monumental de Bertrand Russell y Alfred Whitehead titulada Principia Matemática aparecida en 1910, editada en Inglaterra, en tres tomos. El propósito de esta obra fue poner toda la matemática conocida hasta entonces en estricto orden lógico, utilizando lo que ahora se conoce como un lenguaje lógico de primer orden. Para ello Russell y Whitehead aprovecharon los hallazgos del matemático italiano Peano expuestos en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método, en el que se aplica por primera vez el método axiomático a la aritmética. Debido a este hecho, el simbolismo lógico mas usado actualmente (es el que se usa en este manual) recibe el nombre de notación Peano – Russell.
La aparición de las geometrías no euclidianas por creación de Lobachevski (1793 – 1856), Bolyai (1802 – 1860) y Riemann (1826 – 1866) introdujo en la matemática espacios hiperbólicos y esféricos que alteraban el espacio rectilíneo trabajado por Euclides. Alteraciones semejantes en el álgebra tradicional habían sido introducidas por la creación del álgebra abstracta por Evaristo Galois antes de 1832. Estos hechos crearon la necesidad de estudiar a las teorías matemáticas mismas a fin de determinar sus propiedades. David Hilbert, en esta línea de trabajo, invento la Metamatemática cuyo objetivo es el estudio de las teorías matemáticas aplicando los lenguajes lógicos que habían sido creados por Frege y Russell. Notables investigadores han dedicado sus mejores esfuerzos a la Metamatemática y a la solución de sus grandes problemas que en gran medida fueron planteados por Hilbert en un Congreso de Matemáticas realizado en 1900. El más conspicuo de todos ha sido Kart CODEL, quien demostró alrededor de 1930 el más importante teorema de Lógica Matemática de este siglo, conocido como Teorema de las proposiciones indecidibles. En 1938, Claudio Shannon aplico el álgebra de las proposiciones al diseño de circuitos eléctricos a conmutadores y relays que constituye el aporte mas importante a la construcción de las modernas computadoras electrónicas digitales. De esta manera, la Lógica Matemática dejó de ser un instrumento puramente teórico para convertirse en un instrumento que sirve de soporte a la tecnología mas sofisticada de nuestro siglo.
La diversificación de las investigaciones en Lógica Matemática, durante los últimos sesenta años, ha conducido al surgimiento de ramas altamente especializadas. El polaco Lukasiewicz desarrollo las lógicas polivalentes y Tarski, del mismo origen, creo la semántica lógica con sus investigaciones sobre el concepto de verdad en los lenguajes formalizados y demostró la necesidad ineludible de usar metalenguajes, reafirmando así los resultados de Russell y Hilbert. A partir de estos resultados se ha formulado la moderna teoría de modelos que tiene entre sus representantes a Keisler, Kreisel, Morley y Robinson. De otra parte Hans Reichenbah, Keynes, Camap y Popper han desarrollado las lógicas probabilitarias y la han aplicado al análisis de teorías físicas y del método de investigación científica. Estos estudios y sus resultados han contribuido al nacimiento y afianzamiento de una nueva disciplina llamada Epistemología, cuyo sentido es el análisis de la ciencia utilizando instrumentos proporcionados por la Lógica Matemática a través de sus diferentes ramas. Han destacado como epistemòlogos el mismo Popper, Hempel , y el argentino Mario Bunge. En EEUU han descollado alrededor de la década de los 50 los trabajos de Kleene y los de Church sobre funciones recursivas cuyos resultados han permitido esclarecer a nivel teórico y práctico las limitaciones y alcances de una computadora electrónica cualquiera .

TOMADO DE:

http://74.125.93.104/search?q=cache:99dtRTQvkPcJ:campus.carmelitas.edu.pe/courses/CCP001/document/Historia_de_la_Logica.doc%3FcidReq%3DCCP001+LOGICA+PROPOSICIONAL&cd=9&hl=es&ct=clnk&gl=pe

HISTORIA DE LA LÓGICA (INICIO)

LOS ESTOICOS
Fue la última de las grandes escuelas atenienses, fundada poco antes del año 300 a.C. por Zenón de Cición (Citium), y fue la menos íntimamente ligada a Atenas -y a Grecia-
Su fundador era "fenicio", lo que tiene que significar que al menos uno de sus progenitores era semita. Los sucesivos jefes de l escuela procedían por lo general, de las partes exteriores del mundo griego, especialmente del Asia Menor, donde la mezcla de griegos y orientales se realizó con mayor rapidez, y sólo en el siglo I a.C., cuando la escuela de Atenas hubo cesado de ser el centro del estoicismo, tuvo como jefe a un ateniense. Así Crisipo, la segunda gran figura, procedía de Cilicia, y Panecio, que llevó al estoicismo a Roma, de Rodas. En consecuencia, el estoicismo fue desde el principio una escuela helenística y no griega. Zenón rompió con los cínicos por la crudeza e indecencia a las que lleva su naturalismo. La finalidad ética del estoicismo era semejante a la de las otras filosofías postaristotélicas, es decir, producir la autarquía y el bienestar individual. Para un estoico la autarquía se enseñaba a través de una rigurosa educación de la voluntad; sus virtudes eran la resolución, la fortaleza, la devoción al deber y la indiferencia al placer. Tenían la creencia en el poder abrumador de la divina providencia; consideraban sus vidas como vocación, deber asignado por Dios, de la misma manera que un soldado tiene un deber asignado por su jefe. La enseñanza fundamental de los estoicos era una convicción religiosa de la unicidad y perfección de la naturaleza o de un verdadero orden moral. Vivir con arreglo a la naturaleza significaba para ellos la resignación a la voluntad de Dios, la cooperación con todas las fuerzas del bien, un sentido de dependencia de un poder superior al hombre que favorece la rectitud y una tranquilidad espiritual que resulta de la fe en la bondad y la racionalidad del mundo. Pensaban al hombre como racional y a Dios como racional. El mismo fuego divino que anima el mundo ha prendido una chispa en las almas de los hombres. Tanto los dioses como los hombres son ciudadanos de un estado universal que tiene una constitución -la recta razón- que enseña a los hombres lo que se debe hacer y lo que se debe evitar. Se proclama la igualdad de los griegos y bárbaros, nobles y plebeyos, esclavos y libres, ricos y pobres. La única diferencia entre los hombres es la que existe entre el sabio y el insensato, entre el hombre al que Dios puede conducir y el hombre al que tiene que arrastrar. La ciudadanía, al menos potencialmente, está abierta a todos, ya que se basa en la razón. Al esclavo hay que tratarlo como un trabajador contratado de por vida. Hay siempre dos leyes para todo hombre, la ley de su ciudad y la ley de la ciudad universal, la ley de la costumbre y la ley de la razón. Esta versión del estoicismo no estuvo ajena de un profundo rechazo, fundamentalmente en lo que respecta a la concepción del hombre sabio, por su intención de extirpar todo sentimiento y emoción.
Con Panecio el estoicismo perdió en rigor lógico, pero ganó en urbanidad y en posibilidad de atraerse a hombres educados. La gran labor realizada por Panecio consistió en reexponer el estoicismo en una forma aceptable y de posible asimilación para los romanos pertenecientes de la clase aristocrática, que no sabían nada de filosofía y que estaban encendidos de entusiasmo por el saber griego. Ningún otro sistema griego era tan apropiado como el estoicismo para ensamblar con las virtudes originarias de dominio de sí mismo, devoción al deber y espíritu público de que se enorgullecían especialmente los romanos, y ninguna concepción política estaba tan bien cualificada como la doctrina estoica del estado universal para introducir un cierto idealismo en el negocio, demasiado sórdido, de la conquista romana. El contacto más férreo del estoicismo con la vida romana se produjo a partir de la relación existente entre Panecio y Polibio, los que junto a aristócratas romanos conformaban el círculo de Escipión. Por último, se consideraba que todos los hombres son, por naturaleza, fundamentalmente "sociales". Esta idea no tenía una precisión comparable a la ofrecida por la teoría aristotélica de que el hombre es un animal que alcanza la etapa superior de su desarrollo en la civilización de la ciudad-estado. No hacía sino sugerir que el respeto a las leyes de Dios y de los hombres es un don innato de la naturaleza humana y que, siguiendo la guía de esa reverencia innata el hombre perfecciona su propia naturaleza, en tanto que se degrada si decide lo contrario.
La relación que veían los griegos entre la naturaleza y lo divino sirvió como base a los ESTOICOS para elaborar éste principio.
Para los estoicos la naturaleza ha hecho al hombre bueno. El principio de sobriedad que sigue la Naturaleza evita los males físicos y sociales. El mal surgió con el impulso de querer más de lo necesario.
La inteligencia también es responsable de todas las manifestaciones del mal. Si la inteligencia es lo que nos hace diferentes a los animales y al mismo tiempola causa del mal, lo bueno sería regresar a la animalidad. La animalidad supone la sumisión a la Naturaleza y por lo tanto la desaparición de todo tipo de problemas.
*LAS DOS RAZAS DE HOMBRES DEL ESTOICISMO :
Arato y Dicearco retoman el “mito de las razas” de Hesíodo, que según ellos tiene fundamentos históricos. En la antigüedad primitiva es vista como una especie de “raza de oro”, mientras que ven a los hombres del presente como vulgares e inauténticos. (Este pesimismo está en el espíritu de su tiempo, no es exclusivo del estoicismo de Atenas). La separación entre los hombres es determinada por la virtud y el vicio, para los estoicos quien posee una virtud las posee todas y con los vicios pasa lo mismo. Es decir: los hombres sólo pueden ser completamente buenos o completamente malos. -Los Sabios son quienes poseen todas las virtudes (internas y exteriores) y son ajenos a todo mal; son de acuerdo a la naturaleza. Están unidos a lo divino. Los estoicos aceptan que han existido algunos en el pasado pero niegan que haya alguno en su tiempo. -Los hombres de la actualidad no tienen nada que ver con la naturaleza, son desgraciados y están afectados por todos los males. Viven separados de lo divino. No son considerados como verdaderos hombres.
*EL NACIMIENTO DE LA PSICOLOGÍA O EL HOMBRE CONTINUO”
Al analizar a los hombres, los estoicos dieron nacimiento a la psicología. Los estoicos no separan la pasión de la inteligencia. Esta concepción unitaria del alma humana significó la aparición del concepto de “hombre continuo”.
*LA “INTELIGENCIA” Y LA “RECTA RAZÓN DE LA NATURALEZA”
El hecho de que los estoicos definan la pasión como un “impulso desmedido, contrario a la naturaleza y poco conforme a la razón” y al mismo tiempo digan que no hay diferencia entre la pasión y la razón, crea un problema. El problema se soluciona al dar dos significados a la razón: uno como parte del alma (la inteligencia), que no es diferente de la pasión y es atribuida a los hombres del presente, y otro como la “recta razón de la naturaleza”, que en el sabio se vuelve conciencia.
*LA PSICOLOGÍA ESTOICA Y EL PRIMITIVISMO HELENÍSTICO
El Sabio no razona, sabe. Para sentir pasión, se necesita inteligencia, ella aleja al hombre de la felicidad. La felicidad estoica supone el estar privado de razón (y por lo tanto de pasión) como los animales.

MATEMÁTICA FILOSOFÍA Y LÓGICA MODERNA

BERTRAND RUSSELL


Filósofo y matemático británico, galardonado con el premio Nobel, cuyo énfasis en el análisis lógico repercutió sobre el curso de la filosofía del siglo XX. Nacido en Trelleck (Gales), el 18 de mayo de 1872, Russell estudió en el Trinity College de la Universidad de Cambridge. Tras graduarse en 1894, viajó a Francia, Alemania y Estados Unidos, y luego fue nombrado miembro del consejo de gobierno del Trinity College. Desde muy joven mostró un acusado sentido de conciencia social; al mismo tiempo se especializó en cuestiones de lógica y matemáticas, áreas de las que dio conferencias en muchas instituciones de todo el mundo. Russell alcanzó el éxito con su primera gran obra Principios de matemáticas (1902), en la que intentó trasladar las matemáticas al área de la filosofía lógica y dotarlas de un marco científico preciso. Colaboró durante ocho años con el filósofo y matemático británico Alfred North Whitehead para elaborar la monumental obra Principia Mathematica Principios Matemáticos (3 volúmenes, 1910-1913), donde se mostraba que esta materia puede ser planteada en los términos conceptuales de la lógica general, como clase y pertenencia a una clase. Este libro se convirtió en una obra maestra del pensamiento racional. Russell y Whitehead demostraron que los números pueden ser definidos como clases de un tipo determinado, y en este proceso desarrollaron conceptos racionales y una anotación que hizo de la lógica simbólica una especialización importante dentro del campo de la filosofía occidental. En su siguiente gran obra, Los problemas de la filosofía (1912), Russell recurrió a la sociología, la psicología, la física y las matemáticas para refutar las doctrinas del idealismo, la escuela filosófica dominante en ese tiempo, que mantenía que todos los objetos y experiencias son fruto del intelecto; Russell, una persona realista, creía que los objetos percibidos por los sentidos poseen una realidad inherente al margen de la mente. Russell condenó a ambos bandos en la I Guerra Mundial y por su posición íntegra fue encarcelado y privado de su puesto de trabajo en Cambridge. En la cárcel escribió Introducción a la filosofía matemática (1919), donde combina las dos áreas del saber que él consideraba inseparables. Después de la guerra visitó la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas, y en su libro Práctica y teoría del bolchevismo (1920) mostró su desacuerdo con la forma en que allí se llevaba a cabo el socialismo. Consideraba que los métodos utilizados para alcanzar un sistema comunista eran intolerables y que los resultados obtenidos no justificaban el precio que se estaba pagando. Russell impartió clases en la Universidad de Pekín, en China, durante 1921 y 1922. Desde 1928 hasta 1932, tras regresar al Reino Unido, dirigió el Beacon Hill School, escuela privada y muy progresista donde se aplicaban innovadores métodos de enseñanza para niños. Desde 1938 hasta 1944 fue profesor en varias instituciones de los Estados Unidos. Allí escribió Historia de la filosofía occidental (1945). Sin embargo, la Corte Suprema de Nueva York le prohibió dar clases en el College de esta ciudad (ahora City College de la Universidad de Nueva York) por lo que consideraban sus ataques a la religión contenidos en textos como Lo que creo (1925) y su defensa de la libertad sexual, manifestada en Modales y morales (1929). Russell regresó a Inglaterra en 1944 y fue restituido en su puesto del Trinity College. Aunque abandonó el pacifismo para apoyar la causa aliada en la II Guerra Mundial, fue un ardiente y activo detractor de las armas nucleares. En 1949 el rey Jorge VI le otorgó la Orden al Mérito. Russell recibió en 1950 el Premio Nobel de Literatura y fue calificado como "un campeón de la humanidad y de la libertad de pensamiento". Encabezó un movimiento a finales de la década de 1950 que exigía el desarme nuclear unilateral del Reino Unido y fue encarcelado a los 89 años tras una manifestación antinuclear. Murió el 2 de febrero de 1970. Además de sus primeros trabajos, Russell contribuyó al desarrollo del positivismo lógico, fuerte corriente filosófica durante las décadas de 1930 y 1940. El más importante pensador autriaco de aquellos tiempos, Ludwig Wittgenstein, que fue alumno de Russell en Cambridge, recibió su influencia en sus primeros estudios filosóficos por su original concepto del atomismo lógico. En su búsqueda de la naturaleza y límites del conocimiento, Russell desempeñó un gran papel en el resurgir del empirismo dentro del campo más amplio de la epistemología. En Sobre el conocimiento del mundo exterior (1926) e Investigación sobre el significado y la verdad (1962), intentó explicar todo el conocimiento objetivo como construido a partir de las experiencias inmediatas. Escribió, entre otros libros, El ABC de la relatividad (1925), Educación y orden social (1932), El impacto de la ciencia sobre la sociedad (1952), Mi desarrollo filosófico (1959), Crímenes de guerra en Vietnam (1967) y La autobiografía de Bertrand Russell (3 volúmenes, 1967-1969).

FRASES DE BERTRAND RUSSELL

Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se deben a que los ignorantes están completamente seguros y los inteligentes llenos de dudas.

Carecer de algunas de las cosas que uno desea es condición indispensable de la felicidad.

Una generación que no soporta el aburrimiento será una generación de escaso valor.

cuánto placer se obtiene del conocimiento inútil. ...

EL PADRE DE LA LÓGICA

ARISTÓTELES

Aristóteles nació en el año 384 a.C. en una pequeña localidad macedonia cercana al monte Athos llamada Estagira, de donde proviene su sobrenombre, el Estagirita. Su padre, Nicómaco, era médico de la corte de Amintas III, padre de Filipo y, por tanto, abuelo de Alejandro Magno. Nicómaco pertenecía a la familia de los Asclepíades, que se reclamaba descendiente del dios fundador de la medicina y cuyo saber se transmitía de generación en generación. Ello invita a pensar que Aristóteles fue iniciado de niño en los secretos de la medicina y de ahí le vino su afición a la investigación experimental y a la ciencia positiva. Huérfano de padre y madre en plena adolescencia, fue adoptado por Proxeno, al cual pudo mostrar años después su gratitud adoptando a un hijo suyo llamado Nicanor.
En el año 367, es decir, cuando contaba diecisiete años de edad, fue enviado a Atenas para estudiar en la Academia de Platón. No se sabe qué clase de relación personal se estableció entre ambos filósofos, pero, a juzgar por las escasas referencias que hacen el uno del otro en sus escritos, no cabe hablar de una amistad imperecedera. Lo cual, por otra parte, resulta lógico si se tiene en cuenta que Aristóteles iba a iniciar su propio sistema filosófico fundándolo en una profunda critica al platónico. Ambos partían de Sócrates y de su concepto de eidos, pero las dificultades de Platón para insertar su mundo eidético, el de las ideas, en el mundo real obligaron a Aristóteles a ir perfilando términos como «sustancia», «esencia» y «forma» que le alejarían definitivamente de la Academia. En cambio es absolutamente falsa la leyenda según la cual Aristóteles se marchó de Atenas despechado porque Platón, a su muerte, designase a su sobrino Espeusipo para hacerse cargo de la Academia. En su condición de macedonio Aristóteles no era legalmente elegible para ese puesto.

CON ALEJANDRO MAGNO
A la muerte de Platón, ocurrida en el 348, Aristóteles contaba treinta y seis años de edad, habla pasado veinte de ellos simultaneando la enseñanza con el estudio y se encontraba en Atenas, como suele decirse, sin oficio ni beneficio. Así que no debió de pensárselo mucho cuando supo que Hermias de Atarneo, un soldado de fortuna griego (por más detalles, eunuco) que se habla apoderado del sector noroeste de Asia Menor, estaba reuniendo en la ciudad de Axos a cuantos discípulos de la Academia quisieran colaborar con él en la helenización de sus dominios. Aristóteles se instaló en Axos en compañía de Xenócrates de Calcedonia, un colega académico, y de Teofrasto, discípulo y futuro heredero del legado aristotélico.
El Estagirita pasaría allí tres años apacibles y fructíferos, dedicándose a la enseñanza, a la escritura (gran parte de su Política la redactó allí) y a la reproducción, ya que primero se casó con una sobrina de Hermias llamada Pitias, con la que tuvo una hija. Pitias debió de morir muy poco después y Aristóteles se unió a otra estagirita, de nombre Erpilis, que le dio un hijo, Nicómaco, al que dedicaría su Ética. Dado que el propio Aristóteles dejó escrito que el varón debe casarse a los treinta y siete años y la mujer a los dieciocho, resulta fácil deducir qué edades debían tener una y otra cuando se unió a ellas.
Tras el asesinato de Hermias, en el 345, Aristóteles se instaló en Mitilene (isla de Lesbos), dedicándose, en compañía de Teofrasto, al estudio de la biología. Dos años más tarde, en el 343, fue contratado por Filipo de Macedonia para que se hiciese cargo de la educación de su hijo Alejandro, a la sazón de trece años de edad. Tampoco se sabe mucho de la relación entre ambos, ya que las leyendas y las falsificaciones han borrado todo rastro de verdad. Pero de ser cierto el carácter que sus contemporáneos atribuyen a Alejandro (al que tachan unánimemente de arrogante, bebedor, cruel, vengativo e ignorante), no se advierte rasgo alguno de la influencia que Aristóteles pudo ejercer sobre él. Como tampoco se advierte la influencia de Alejandro sobre su maestro en el terreno político, pues Aristóteles seguía predicando la superioridad de las ciudades estado cuando su presunto discípulo estaba poniendo ya las bases de un imperio universal sin el que, al decir de los historiadores, la civilización helénica hubiera sucumbido mucho antes.

VENGANZA CONTRA EL MAESTRO
Poco después de la muerte de Filipo, Alejandro hizo ejecutar a un sobrino de Aristóteles, Calístenes de Olinto, a quien acusaba de traidor. Conociendo el carácter vengativo de su discípulo, Aristóteles se refugió un año en sus propiedades de Estagira, trasladándose en el 334 a Atenas para fundar, siempre en compañía de Teofrasto, el Liceo, una institución pedagógica que durante años habría de competir con la Academia platónica, dirigida en ese momento por su viejo camarada Xenócrates de Calcedonia.
Los once años que median entre su regreso a Atenas y la muerte de Alejandro, en el 323, fueron aprovechados por Aristóteles para llevar a cabo una profunda revisión de una obra que, al decir de Hegel, constituye el fundamento de todas las ciencias. Para decirlo de la forma más sucinta posible, Aristóteles fue un prodigioso sintetizador del saber, tan atento a las generalizaciones que constituyen la ciencia como a las diferencias que no sólo distinguen a los individuos entre sí, sino que impiden la reducción de los grandes géneros de fenómenos y las ciencias que los estudian. Como él mismo dice, los seres pueden ser móviles e inmóviles, y al mismo tiempo separados (de la materia) o no separados. La ciencia que estudia los seres móviles y no separados es la física; la de los seres inmóviles y no separados es la matemática, y la de los seres inmóviles y separados.

TEOLOGÍA
La amplitud y la profundidad de su pensamiento son tales que fue preciso esperar dos mil años para que surgiese alguien de talla parecida. Y durante ese período su autoridad llegó a quedar tan establecida e incuestionada como la que ejercía la Iglesia, y tanto en la ciencia como en la filosofía todo intento de avance intelectual ha tenido que empezar con un ataque a cualquiera de los principios filosóficos aristotélicos.
Sin embargo, el camino seguido por el pensamiento de Aristóteles hasta alcanzar su actual preeminencia es tan asombroso que, aun descontando lo que la leyenda haya podido añadir, parece un argumento de novela de aventuras.

MANUSCRITOS
Con la muerte de Alejandro, en el 323, se extendió en Atenas una oleada de nacionalismo (antimacedonio) desencadenado por Demóstenes, hecho que le supuso a Aristóteles enfrentarse a una acusación de impiedad. No estando en su ánimo repetir la aventura de Sócrates, Aristóteles se exilió a la isla de Chalcis, donde murió en el 322. Según la tradición, Aristóteles le cedió sus obras a Teofrasto, el cual se las cedió a su vez a Neleo, quien las envió a casa de sus padres en Esquepsis sólidamente embaladas en cajas y con la orden de que las escondiesen en una cueva para evitar que fuesen requisadas con destino a la biblioteca de Pérgamo.
Muchos años después, los herederos de Neleo se las vendieron a Apelicón de Teos, un filósofo que se las llevó consigo a Atenas. En el 86 a.C., en plena ocupación romana, Sila se enteró de la existencia de esas cajas y las requisó para enviarlas a Roma, donde fueron compradas por Tiranión el Gramático. De mano en mano, esas obras fueron sufriendo sucesivos deterioros hasta que, en el año 60 a.C., fueron adquiridas por Andrónico de Rodas, el último responsable del Liceo, quien procedió a su edición definitiva. A él se debe, por ejemplo, la invención del término «metafísica», título bajo el que se agrupan los libros VII, VIII y IX y que significa, sencillamente, que salen a continuación de la física.
Con la caída del Imperio romano, las obras de Aristóteles, como las del resto de la cultura grecorromana, desaparecieron hasta que, bien entrado el siglo XIII, fueron recuperadas por el árabe Averroes, quien las conoció a través de las versiones sirias, árabes y judías. Del total de 170 obras que los catálogos antiguos recogían, sólo se han salvado 30, que vienen a ocupar unas 2.000 páginas impresas. La mayoría de ellas proceden de los llamados escritos «acroamáticos», concebidos para ser utilizados como tratados en el Liceo y no para ser publicados. En cambio, todas las obras publicadas en vida del propio Aristóteles, escritas para el público general en forma de diálogos, se han perdido.

BIOGRAFÍA DE PITÁGORAS

PITÁGORAS
(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.
Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.
Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».
También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

LOS PITAGÓRICOS

El nacimiento y la pervivencia del pitagorismo es uno de los fenómenos más interesantes en la historia de la ciencia y de la cultura en general. Surgió, se desarrolló y se expandió como un modo de vida religioso. Su armazón intelectual consistió en una visión del universo como un cosmos, en contraposición al caos, es decir como un todo ordenado y organizado de acuerdo con leyes asequibles a la razón humana. El mismo impulso religioso conducía hacia la búsqueda y contemplación de la armonía intelectual implantada en este universo como paradigma de conducta humana y como camino y método de elevación espiritual, en búsqueda de las raices y fuentes de la naturaleza.
En nuestra cultura actual, fuertemente impregnada por el espíritu científico, que acepta esta cosmovisión de fondo como base implícita e indiscutida, transmitida en sus líneas generales a través de los siglos desde las mismas raíces pitagóricas, el brillo de la idea fundamental de la racionalidad del universo se nos presenta apagado y desgastado por la costumbre. La armonía de las esferas no es para nosotros más que el constante ruido de fondo que escuchamos en nuestro quehacer racional.
Pero el mundo del siglo VI en que a Pitágoras le tocó vivir era muy distinto. Las invasiones persas habían aproximado hacia los griegos las milenarias culturas orientales con su abigarrado espíritu religioso y su actitud mística y contemplativa, que originaban una especial forma de racionalidad. El espíritu religioso oriental no buscaba, ni busca, su camino hacia la comunión con lo divino a través de la contemplación racional del universo, sino más bien mediante la negación de la búsqueda misma de la razón, hacia formas de comunicación en zonas más internas del espíritu. Pero junto con esta vena mística del espíritu, la cultura oriental había realizado admirables conquistas de la razón, plasmadas, por ejemplo, en los desarrollos astronómicos y aritméticos de los babilonios más de un milenio antes de que Pitágoras naciese. Tal vez una de las razones profundas del hondo enraizamiento del movimiento pitagórico en la cultura griega y en su heredera la cultura occidental en que hoy vivimos, consistió en el acierto de Pitágoras para unificar ambas tendencias, racional y contemplativo-religiosa, al dar forma a lo que llegó a ser, mucho más que una escuela de pensamiento, una forma de vida.