NÚMEROS TRANSFINITOS
George
Cantor conceptuó a un conjunto de la siguiente manera: “Es una colección de objetos
concretos o abstractos definibles y distinguibles considerada como un todo”.
A la definición le falta la formalidad necesaria para poder construir el
verdadero edificio de la Teoría de Conjuntos, esta falencia lo hicieron ver, en
su tiempo, muchos matemáticos notables, enfatizando la generalidad de la idea
de conjunto y las inexactitudes que tenía para ser considerada como una
verdadera definición.
Cantor tenía
una obsesión por el infinito, y buscó la manera de poder demostrar que los
diferentes conjuntos de números infinitos tenían la misma cantidad de elementos
y también demostró que el conjunto de los números reales no es numerable; la
base para él fue el conjunto de los enteros positivos con el cual pudo comparar
los demás conjuntos: pares, impares, ´primos, etc. A esa comparación se le
conoce como correspondencia biunívoca, es decir, uno a uno, elemento a elemento
y tuvo como antecedente lo que había pensado Galileo, al encontrar esa
correspondencia entre los números enteros positivos y sus cuadrados.
Ese inicio
sirvió a Cantor para definir el conjunto infinito: “…es aquel que se puede poner en
correspondencia uno a uno con alguna de sus partes”, claramente nos
damos cuenta que esta definición entra en contradicción con el axioma de
Euclides: “El todo es más grande que sus partes”, para Cantor este axioma
no afectaba a las cantidades infinitas.
La forma de
realizar esta comparación es la siguiente:
Primero: Números
naturales y números pares
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Números Naturales
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1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
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7
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8
|
9
|
10
|
11
|
…..
|
|
Números Pares
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2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
22
|
…..
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Segundo: Números
naturales y números enteros
|
Números Naturales
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1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
…..
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|
Números Enteros
|
-1
|
-2
|
-3
|
-4
|
-5
|
-6
|
-7
|
-8
|
-9
|
-10
|
-11
|
…..
|
Tercero: Números
naturales y números primos
|
Números Naturales
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
…..
|
|
Números Pares
|
2
|
3
|
5
|
7
|
11
|
13
|
17
|
19
|
23
|
29
|
31
|
…..
|
En el caso
de los números racionales, la demostración fue más que ingeniosa
Se desdoblan
las fracciones siguiendo las flechas y considerando solo una de las que son
equivalentes (1/1; 2/2; 3/3; ….)
|
Números Naturales
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
…..
|
|
Números racionales
|
1/1
|
2/1
|
1/2
|
1/3
|
3/1
|
4/1
|
3/2
|
2/3
|
1/4
|
1/5
|
5/1
|
6/1
|
5/2
|
4/3
|
3/4
|
…..
|
Para
demostrar que los reales no son numerables Cantor uso un método muy ingenioso
para lo cual acotó la demostración en un intervalo <0> y ordeno en
forma aleatoria, es decir, al azar. Para hacerlo ejemplar tomaremos los
decimales sin orden estricto:
Cantor para
realizar su demostración formó un número decimal haciendo lo siguiente:
Tomó el
primer decimal del primer número decimal, luego el segundo decimal del segundo
número decimal, después el tercer decimal del tercer número decimal, y así
sucesivamente. Las cifras decimales consideradas para formar este nuevo número
decimal se encuentran encerradas en círculos en la tabla anterior.
Entonces el
número decimal formado sería: 0,20187631…. pero, como podemos asegurar que no
se encuentra en la lista, sería imposible. La solución que encontró Cantor a
este problema fue así: modificando cada cifra del número formado para que no
coincida con ninguno de los números anteriores y lo hizo muy sencillo aumentado
aumentó en uno el valor de cada cifra (en caso que sea 9 se cambiaría a 0)
aplicando se obtendría: 0,31298742…, con lo cual al compararlo con el primer
número de la lista no sería igual porque hemos modificado la primera cifra,
también no sería igual al segundo porque la segunda ha sido modificada, y así
con la tercera, con la cuarta, etc. Y se llegaría a demostrar que el número
obtenido no estaría en la lista.
